L’étude d’une application linéaire repose sur deux notions indissociables : noyau et image. Ces sous-espaces fondamentaux permettent de comprendre quels vecteurs sont « écrasés » sur zéro et lesquels sont atteints par la transformation.
Maîtriser le Ker(f) et l’Im(f) est indispensable pour résoudre des systèmes linéaires et appliquer le théorème du rang, un outil central du programme de licence et de prépa.
Dans ce cours, nous allons construire ces notions pas à pas, avec des définitions rigoureuses, des explications intuitives, des exemples guidés et une méthode de calcul claire. Chaque symbole sera expliqué à sa première apparition, et aucune étape ne sera laissée dans l’ombre.
Définitions du noyau et de l’image : poser les bases
Avant de définir le noyau et l’image, rappelons brièvement le cadre. On se place dans deux espaces vectoriels \(E\) et \(F\) définis sur un corps \(\mathbb{K}\) (typiquement \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)). Une application linéaire \(f : E \to F\) est une fonction qui respecte la structure vectorielle : elle distribue l’addition et la multiplication par un scalaire.
Définition du noyau
Le noyau de \(f\), noté \(\ker(f)\) (du mot allemand Kern, qui signifie littéralement « noyau »), est l’ensemble de tous les vecteurs de \(E\) dont \(f\) renvoie l’image sur le vecteur nul de \(F\). Formellement :
\ker(f) = \bigl\{\, x \in E \;\mid\; f(x) = 0_F \,\bigr\}
\]
Ici, \(0_F\) désigne le vecteur nul (ou élément neutre) de l’espace d’arrivée \(F\). Le symbole \(\in\) signifie « appartient à », et la barre verticale \(\mid\) se lit « tel que ». En clair : on cherche tous les \(x\) de \(E\) qui, une fois transformés par \(f\), donnent exactement zéro.
Définition de l’image
L’image de \(f\), notée \(\operatorname{Im}(f)\), est l’ensemble de tous les vecteurs de \(F\) qui sont effectivement atteints par \(f\) — c’est-à-dire qui sont l’image d’au moins un vecteur de \(E\). Formellement :
\operatorname{Im}(f) = \bigl\{\, y \in F \;\mid\; \exists\, x \in E,\; f(x) = y \,\bigr\}
\]
Le symbole \(\exists\) signifie « il existe ». Autrement dit, \(\operatorname{Im}(f)\) est la « portée » de \(f\) dans \(F\) : tout ce que \(f\) peut produire, mais pas nécessairement tout \(F\).
⚠️ Erreur fréquente : Confondre l’image de l’application \(\operatorname{Im}(f)\) avec l’image d’un vecteur \(f(x)\). L’image d’un vecteur \(x\) est un unique élément \(f(x) \in F\), tandis que \(\operatorname{Im}(f)\) est un sous-ensemble entier de \(F\), contenant tous les vecteurs atteignables. Ne pas les mélanger dans les raisonnements.
Quand ces notions s’appliquent-elles, et dans quel cadre ?
La définition du noyau et de l’image s’applique à toute application linéaire entre espaces vectoriels. Cependant, les résultats les plus puissants — notamment le théorème du rang — requièrent une hypothèse supplémentaire : les espaces \(E\) et \(F\) doivent être de dimension finie.
Un espace vectoriel de dimension finie est un espace que l’on peut décrire avec un nombre fini de vecteurs de base — par exemple \(\mathbb{R}^n\) possède \(n\) vecteurs de base canoniques. La dimension de \(E\), notée \(\dim(E)\), est le nombre de vecteurs dans toute base de \(E\).
Dans ce cours, on suppose toujours que \(E\) et \(F\) sont des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels de dimension finie, et que \(f : E \to F\) est linéaire. Les espaces fonctionnels de dimension infinie (comme les espaces de suites ou de fonctions continues) nécessitent des outils supplémentaires qui dépassent le programme de lycée et de première année de licence.
Propriétés fondamentales : le noyau et l’image sont des sous-espaces vectoriels
Ce qui rend le noyau et l’image si précieux, c’est leur structure algébrique : ce ne sont pas de simples ensembles de vecteurs, ce sont des sous-espaces vectoriels, c’est-à-dire des parties de \(E\) (ou de \(F\)) qui sont elles-mêmes stables par addition et par multiplication scalaire.
Propriété 1 : ker(f) est un sous-espace vectoriel de E
Justification succincte : Le vecteur nul \(0_E\) appartient à \(\ker(f)\) car \(f(0_E) = 0_F\) (propriété de toute application linéaire). Si \(x, y \in \ker(f)\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\), alors \(f(x + \lambda y) = f(x) + \lambda f(y) = 0_F + \lambda \cdot 0_F = 0_F\), donc \(x + \lambda y \in \ker(f)\). La stabilité est vérifiée.
Propriété 2 : Im(f) est un sous-espace vectoriel de F
Justification succincte : \(0_F = f(0_E) \in \operatorname{Im}(f)\). Si \(y_1 = f(x_1)\) et \(y_2 = f(x_2)\), alors \(y_1 + \lambda y_2 = f(x_1 + \lambda x_2)\), qui appartient bien à \(\operatorname{Im}(f)\).
Propriété 3 : Lien avec l’injectivité
Une application linéaire \(f : E \to F\) est injective (deux entrées distinctes donnent deux sorties distinctes) si et seulement si :
f \text{ est injective} \iff \ker(f) = \{0_E\}
\]
En pratique : pour montrer qu’une application linéaire est injective, on résout \(f(x) = 0\) — si la seule solution est \(x = 0\), l’application est injective. C’est souvent bien plus simple que de vérifier la définition directe de l’injectivité.
Propriété 4 : Lien avec la surjectivité
\(f\) est surjective (tout vecteur de \(F\) est atteint) si et seulement si \(\operatorname{Im}(f) = F\). Pour vérifier cela en dimension finie, il suffit de comparer \(\dim(\operatorname{Im}(f))\) à \(\dim(F)\).
⚠️ Erreur fréquente : Conclure qu’une application est injective parce que son noyau « semble petit » ou « ne contient que quelques vecteurs ». En algèbre linéaire, l’injectivité est caractérisée uniquement par \(\ker(f) = \{0\}\), pas par la taille de l’ensemble au sens courant. Un noyau de dimension 1 n’est jamais réduit à \(\{0\}\), quelle que soit la base choisie.
Le théorème du rang : la relation centrale entre noyau et image
Les propriétés précédentes montrent que le noyau et l’image existent et ont une belle structure. Mais jusqu’ici, elles semblent indépendantes l’une de l’autre. La révélation vient du théorème du rang, qui relie leurs dimensions de manière surprenante et élégante.
Théorème du rang (ou théorème des noyaux)
Soit \(f : E \to F\) une application linéaire avec \(E\) de dimension finie \(n\). Alors :
\dim(E) = \dim\bigl(\ker(f)\bigr) + \dim\bigl(\operatorname{Im}(f)\bigr)
\]
La dimension de \(\operatorname{Im}(f)\) s’appelle le rang de \(f\), noté \(\operatorname{rg}(f)\). Le théorème s’écrit donc aussi :
\dim(E) = \dim\bigl(\ker(f)\bigr) + \operatorname{rg}(f)
\]
Lecture pratique : Si l’on connaît \(\dim(E)\) et \(\dim(\ker(f))\), on obtient immédiatement \(\operatorname{rg}(f)\) par soustraction — et inversement. Ce théorème est la clef de voûte de nombreux calculs.
L’intuition derrière le noyau et l’image : comprendre avant de calculer
Les définitions formelles sont claires, mais une image mentale rend ces notions bien plus maniables. Voici trois façons d’y penser.
Le noyau comme « zone d’écrasement »
Imaginez une projection lumineuse sur un mur. Le projecteur transforme des objets tridimensionnels en ombres bidimensionnelles. Certains objets — ceux qui se trouvent exactement dans la direction du faisceau lumineux — donnent une ombre de taille zéro, c’est-à-dire un seul point. Ces objets forment exactement l’analogue du noyau : ils sont « écrasés » sur le point zéro par la transformation.
L’image comme « zone d’atterrissage »
L’image, c’est le mur dans cet exemple — l’ensemble de toutes les ombres possibles. Peu importe la variété des objets projetés, toutes leurs ombres tombent dans cet espace. Mais si le mur est plus grand que les ombres qu’on peut produire, certaines zones du mur resteront vierges : l’image ne couvre pas tout le mur, et \(f\) n’est pas surjective.
Le théorème du rang : un bilan d’information
Le théorème du rang dit quelque chose de très concret : la transformation \(f\) « consomme » \(\dim(E)\) dimensions d’information. Une partie de cette information est détruite — elle tombe dans le noyau (dimension \(\dim(\ker(f))\)). Le reste survit et structure l’image (dimension \(\operatorname{rg}(f)\)). Les deux parts doivent toujours s’additionner pour redonner \(\dim(E)\), sans exception.
C’est aussi pour cette raison que les espaces vectoriels sont si adaptés à l’étude des systèmes linéaires : chaque variable libre dans la résolution d’un système correspond à une dimension du noyau.
Visualiser le noyau et l’image : schémas et représentations géométriques
Un dessin vaut parfois mieux qu’une longue démonstration. Voici comment représenter concrètement ces deux notions.
Exemple canonique dans \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\)
Considérons une application linéaire \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\). L’espace de départ est de dimension 3, l’espace d’arrivée de dimension 2. Par le théorème du rang : \(\dim(\ker(f)) + \operatorname{rg}(f) = 3\). Comme \(\operatorname{rg}(f) \leq \min(3, 2) = 2\), le noyau est de dimension au moins 1 — c’est-à-dire une droite ou un plan entier qui s’écrase sur zéro.
Représentation matricielle
Lorsque \(f\) est représentée par une matrice \(A \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\) dans des bases données, le noyau de \(f\) correspond exactement aux solutions du système homogène \(Ax = 0\), et l’image de \(f\) est le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de \(A\). Le rang de \(f\) est alors le rang habituel de la matrice \(A\), que l’on calcule par la méthode du pivot de Gauss.
Méthode de calcul du noyau et de l’image : pas à pas sur un exemple complet
Passons maintenant à la pratique. La méthode est toujours la même, quel que soit l’exemple. Voici les étapes à suivre, illustrées sur un exemple typique de concours et d’examen de première année.
Énoncé de l’exemple
Soit l’application linéaire \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) définie par :
f(x, y, z) = (2x + y – z,\; x + y)
\]
Étape 1 : Calculer le noyau
On résout \(f(x, y, z) = (0, 0)\), c’est-à-dire le système homogène :
\begin{cases} 2x + y – z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}
\]
La deuxième équation donne \(y = -x\). On substitue dans la première :
\(2x + (-x) – z = 0\), soit \(x – z = 0\), donc \(z = x\).
On exprime tout en fonction du paramètre libre \(x = t\) :
(x, y, z) = t(1, -1, 1), \quad t \in \mathbb{R}
\]
Donc : \(\ker(f) = \operatorname{Vect}\{(1, -1, 1)\}\), de dimension 1. Le noyau est une droite vectorielle de \(\mathbb{R}^3\).
Étape 2 : Appliquer le théorème du rang
On a \(\dim(\mathbb{R}^3) = 3\) et \(\dim(\ker(f)) = 1\). Le théorème du rang donne :
\operatorname{rg}(f) = 3 – 1 = 2
\]
L’image est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\) de dimension 2, donc \(\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}^2\) entier.
Étape 3 : Conclure sur l’injectivité et la surjectivité
Puisque \(\ker(f) = \operatorname{Vect}\{(1,-1,1)\} \neq \{0\}\), l’application n’est pas injective. En revanche, puisque \(\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}^2 = F\), l’application est surjective.
⚠️ Erreur fréquente : Oublier de vérifier que les vecteurs trouvés dans l’image forment bien un sous-espace de la bonne dimension avant de conclure \(\operatorname{Im}(f) = F\). Si \(\operatorname{rg}(f) = \dim(F)\), la conclusion est correcte. Mais si \(\operatorname{rg}(f) < \dim(F)\), il faut décrire l'image avec une base explicite — jamais écrire \(\operatorname{Im}(f) = F\) dans ce cas.
Étape 4 : Donner une base de l’image (si nécessaire)
Pour trouver une base de \(\operatorname{Im}(f)\), on calcule les images de la base canonique :
f(e_1) = (2, 1),\quad f(e_2) = (1, 1),\quad f(e_3) = (-1, 0)
\]
\(\operatorname{Im}(f)\) est engendré par ces trois vecteurs. Puisque \(\operatorname{rg}(f) = 2\), on en extrait une famille libre de taille 2. On vérifie par exemple que \((2,1)\) et \((1,1)\) sont linéairement indépendants (leur déterminant vaut \(2 \cdot 1 – 1 \cdot 1 = 1 \neq 0\)), donc \(\{(2,1),\,(1,1)\}\) est une base de \(\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}^2\).
Tableau récapitulatif : noyau, image et leurs propriétés
| Notion | Définition | Sous-espace de | Lien avec |
|---|---|---|---|
| \(\ker(f)\) | \(\{x \in E \mid f(x) = 0_F\}\) | \(E\) (espace de départ) | Injectivité : \(f\) injective \(\iff\) \(\ker(f) = \{0\}\) |
| \(\operatorname{Im}(f)\) | \(\{y \in F \mid \exists x,\, f(x) = y\}\) | \(F\) (espace d’arrivée) | Surjectivité : \(f\) surjective \(\iff\) \(\operatorname{Im}(f) = F\) |
| \(\operatorname{rg}(f)\) | \(\dim(\operatorname{Im}(f))\) | — | Théorème du rang : \(\dim E = \dim\ker(f) + \operatorname{rg}(f)\) |
Conclusion : ce qu’il faut retenir sur le noyau et l’image
Le noyau et l’image d’une application linéaire sont bien plus que deux définitions techniques : ils révèlent la structure interne d’une transformation. Le noyau mesure ce que \(f\) anéantit, l’image décrit ce qu’elle peut atteindre, et le théorème du rang relie leurs dimensions à celle de l’espace de départ. Ces trois notions forment un socle indispensable pour tout ce qui suit en algèbre linéaire.
Retenez surtout la méthode : pour calculer \(\ker(f)\), on résout \(f(x) = 0\) ; pour trouver \(\operatorname{Im}(f)\), on calcule les images des vecteurs d’une base et on extrait une famille libre. Le théorème du rang permet ensuite de vérifier la cohérence de vos calculs.
Pour aller plus loin, ces notions s’articulent naturellement avec la réduction et diagonalisation des matrices, où le noyau d’une application \(f – \lambda \operatorname{id}\) donne exactement le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda\). Le parcours logique de l’algèbre linéaire se poursuit ainsi, brique après brique, et chaque concept s’appuie sur ceux qui précèdent.
Référence externe : Pour approfondir ces notions avec une présentation formelle supplémentaire, consultez l’article Application linéaire — Wikipédia, qui donne notamment la formulation dans le cadre des modules et des anneaux plus généraux.
Questions fréquentes sur le noyau et l’image
Comment calculer le noyau d’une application linéaire ?
Pour calculer le noyau de \(f : E \to F\), on résout l’équation \(f(x) = 0_F\) dans \(E\). Concrètement, si \(f\) est donnée par une matrice \(A\), cela revient à résoudre le système homogène \(Ax = 0\) en utilisant la méthode du pivot de Gauss. On exprime ensuite les solutions en fonction des variables libres pour obtenir une base du noyau.
Quelle est la différence entre le noyau et l’image d’une application linéaire ?
Le noyau (\(\ker(f)\)) est un sous-espace de l’espace de départ \(E\) : il contient les vecteurs que \(f\) envoie sur zéro. L’image (\(\operatorname{Im}(f)\)) est un sous-espace de l’espace d’arrivée \(F\) : il contient tous les vecteurs que \(f\) peut produire. L’un mesure « ce qu’on perd », l’autre « ce qu’on atteint ».
Comment démontrer qu’une application linéaire est injective grâce au noyau ?
Une application linéaire \(f\) est injective si et seulement si \(\ker(f) = \{0_E\}\). Pour le démontrer, on résout \(f(x) = 0\) et on montre que la seule solution est \(x = 0\). Si le système homogène associé n’a pas de variable libre, le noyau est trivial et \(f\) est injective.
Qu’est-ce que le théorème du rang et comment l’utilise-t-on ?
Le théorème du rang (aussi appelé théorème des noyaux) énonce que \(\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \operatorname{rg}(f)\), où \(\operatorname{rg}(f) = \dim(\operatorname{Im}(f))\). En pratique, si l’on a calculé le noyau, on en déduit le rang par simple soustraction. Inversement, si l’on connaît le rang (par exemple depuis la matrice associée), on connaît immédiatement la dimension du noyau — sans résoudre de système.