Équations et inéquations exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les équations et inéquations couvrent l'ensemble du programme, de la résolution d'une équation du premier degré jusqu'aux inéquations du second degré résolues par tableau de signes et discriminant. Chaque exercice propose une indication pour guider la réflexion, puis une correction détaillée pas à pas. La progression pédagogique (du facile au difficile) permet à chaque élève, qu'il soit en classe de troisième, de seconde ou de première, de s'entraîner efficacement et de consolider ses acquis sur la résolution d'inéquations, les équations-produit, les équations-quotient et les problèmes concrets modélisés par une équation ou une inéquation.

Table des Matières

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

La maîtrise des équations du premier degré est le socle incontournable de l'algèbre. Ces exercices entraînent à isoler l'inconnue, à développer et réduire les expressions, et à vérifier la solution obtenue dans l'équation de départ.

Exercice 1 : Résoudre une équation par développement et réduction

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. Pour chacune, on précisera l'ensemble des solutions $S$ .

$3x + 7 = 2x - 5$
$5(x - 2) - 3(x + 1) = 4$
$2(3x + 4) = 5x - 1$

Indication

Pour chaque équation, regroupez les termes en $x$ d'un côté de l'égalité et les constantes de l'autre. N'oubliez pas de distribuer avant de regrouper. Vérifiez votre résultat en substituant la valeur trouvée dans l'équation initiale.

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Solution de la question 1 :

3x + 7 = 2x - 5 \iff 3x - 2x = -5 - 7 \iff x = -12

Vérification :

3 \times (-12) + 7 = -36 + 7 = -29

2 \times (-12) - 5 = -24 - 5 = -29

. ✔

S = \{-12\}

Solution de la question 2 :

5(x-2) - 3(x+1) = 4 \iff 5x - 10 - 3x - 3 = 4 \iff 2x - 13 = 4 \iff 2x = 17 \iff x = \frac{17}{2}

S = \left\{\frac{17}{2}\right\}

Solution de la question 3 :

2(3x+4) = 5x - 1 \iff 6x + 8 = 5x - 1 \iff x = -9

S = \{-9\}

Exercice 2 : Équation avec fractions – Réduction au même dénominateur

Moyen

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes, en précisant au préalable les valeurs interdites lorsqu'elles existent.

$\dfrac{3x - 1}{4} - \dfrac{x + 2}{3} = 1$
$\dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{1}{x + 1} = 0$ , avec $x \neq 3$ et $x \neq -1$

Indication

Pour la question 1, le dénominateur commun de 4 et 3 est 12. Multipliez chaque membre par 12. Pour la question 2, le dénominateur commun est $(x-3)(x+1)$ ; multipliez des deux côtés, puis résolvez l'équation obtenue en vérifiant que la solution n'est pas une valeur interdite.

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Solution de la question 1 :

\frac{3x-1}{4} - \frac{x+2}{3} = 1

On multiplie chaque terme par 12 :

3(3x-1) - 4(x+2) = 12 \iff 9x - 3 - 4x - 8 = 12 \iff 5x - 11 = 12 \iff 5x = 23 \iff x = \frac{23}{5}

S = \left\{\frac{23}{5}\right\}

Solution de la question 2 : Les valeurs interdites sont

x = 3

x = -1

. On multiplie par

(x-3)(x+1)

2(x+1) + 1(x-3) = 0 \iff 2x + 2 + x - 3 = 0 \iff 3x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{3}

\frac{1}{3}

n'est pas une valeur interdite, donc :

S = \left\{\frac{1}{3}\right\}

Exercice 3 : Mise en équation d’un problème concret

Difficile

Un club de théâtre propose deux formules d'abonnement :

Formule A : pas d'abonnement, chaque place coûte 12 €.
Formule B : abonnement annuel de 40 €, puis chaque place coûte 7 €.

Soit $n$ le nombre de spectacles auxquels un adhérent assiste dans l'année. Exprimer, en fonction de $n$ , le coût total pour chaque formule.
À partir de combien de spectacles la formule B est-elle moins chère que la formule A ?

Indication

Écrivez le coût $C_A(n)$ et $C_B(n)$ pour chaque formule. Pour la question 2, résolvez l'inéquation $C_B(n) < C_A(n)$ en $n$ , puis interprétez en nombre entier de spectacles.

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Solution de la question 1 :

C_A(n) = 12n \qquad \text{et} \qquad C_B(n) = 40 + 7n

Solution de la question 2 : On cherche

n

tel que

C_B(n) < C_A(n)

40 + 7n < 12n \iff 40 < 5n \iff n > 8

À partir de 9 spectacles, la formule B est moins chère que la formule A.

Résoudre une inéquation du premier degré et représenter les solutions

Résoudre une inéquation du premier degré suit les mêmes étapes qu'une équation, à une règle cruciale près : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Ces exercices entraînent également à représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée et à l'écrire sous forme d'intervalle.

Exercice 4 : Inéquations simples et représentation sur la droite graduée

Facile

Résoudre les inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ . Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

$4x - 3 \geq 2x + 5$
$-3x + 7 < 1$
$2(x + 4) \leq 3x - 1$

Indication

Procédez comme pour une équation : regroupez les $x$ d'un côté. Attention pour la question 2 : lorsque vous divisez par $-3$ , le sens de l'inégalité s'inverse. Exprimez ensuite chaque solution sous forme d'intervalle.

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Solution de la question 1 :

4x - 3 \geq 2x + 5 \iff 2x \geq 8 \iff x \geq 4

S = [4\, \,+\infty[

Solution de la question 2 :

-3x + 7 < 1 \iff -3x < -6 \iff x > 2 \quad \text{(le sens s'inverse en divisant par } -3\text{)}

S = \,]2\, \,+\infty[

Solution de la question 3 :

2(x+4) \leq 3x - 1 \iff 2x + 8 \leq 3x - 1 \iff -x \leq -9 \iff x \geq 9

S = [9\, \,+\infty[

Exercice 5 : Inéquation avec fractions et ensemble de solutions

Moyen

Résoudre les inéquations suivantes et exprimer les solutions sous forme d'intervalle.

$\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{x - 2}{2} > 1$
$\dfrac{3x - 4}{5} \leq \dfrac{x + 1}{2}$

Indication

Pour chaque inéquation, multipliez par le PPCM des dénominateurs afin d'éliminer les fractions. Pour la question 1, le PPCM de 3 et 2 est 6. Pour la question 2, le PPCM de 5 et 2 est 10. Faites attention au sens de l'inégalité à chaque étape.

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Solution de la question 1 : On multiplie par 6 :

2(2x+1) - 3(x-2) > 6 \iff 4x + 2 - 3x + 6 > 6 \iff x + 8 > 6 \iff x > -2

S = \,]-2\, \,+\infty[

Solution de la question 2 : On multiplie par 10 :

2(3x-4) \leq 5(x+1) \iff 6x - 8 \leq 5x + 5 \iff x \leq 13

S = \,]-\infty\, \,13]

Exercice 6 : Problème modélisé par une inéquation du premier degré

Difficile

Un artisan fabrique des objets dont le coût de production est $C(n) = 3n + 120$ euros pour $n$ objets fabriqués, et le revenu de vente est $R(n) = 8n$ euros.

Exprimer le bénéfice $B(n) = R(n) - C(n)$ en fonction de $n$ .
À partir de combien d'objets vendus l'artisan commence-t-il à être bénéficiaire ? Justifier par une inéquation.
L'artisan dispose d'un budget de départ de 200 € et ne peut pas produire plus de 60 objets par semaine. Peut-il atteindre un bénéfice d'au moins 100 € par semaine ?

Indication

Question 1 : calculez $8n - (3n + 120)$ . Question 2 : résolvez $B(n) > 0$ et interprétez la solution en tenant compte du fait que $n$ est un entier naturel. Question 3 : résolvez $B(n) \geq 100$ et vérifiez si la solution est compatible avec la contrainte $n \leq 60$ .

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Solution de la question 1 :

B(n) = 8n - (3n + 120) = 5n - 120

Solution de la question 2 :

B(n) > 0 \iff 5n - 120 > 0 \iff 5n > 120 \iff n > 24

L'artisan est bénéficiaire à partir de 25 objets vendus.Solution de la question 3 :

B(n) \geq 100 \iff 5n - 120 \geq 100 \iff 5n \geq 220 \iff n \geq 44

Il faut produire au moins 44 objets. Comme

44 \leq 60

, cette contrainte est réalisable. Oui, l'artisan peut atteindre un bénéfice d'au moins 100 € par semaine.

Résoudre une équation-produit et une équation-quotient

Lorsqu'une équation se présente sous forme d'un produit nul ou d'une fraction égale à zéro, on applique une propriété fondamentale : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Ces exercices, typiques du programme de troisième et de seconde, développent la rigueur de raisonnement et la gestion des valeurs interdites.

Exercice 7 : Équation-produit – Principe de nullité

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en utilisant le principe du produit nul.

$(2x - 6)(x + 4) = 0$
$(3x + 1)(5 - x)(x - 7) = 0$

Indication

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. Écrivez les équations correspondant à chaque facteur et résolvez-les séparément.

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Solution de la question 1 :

(2x-6)(x+4) = 0 \iff 2x - 6 = 0 \text{ ou } x + 4 = 0 \iff x = 3 \text{ ou } x = -4

S = \{-4\, \,3\}

Solution de la question 2 :

(3x+1)(5-x)(x-7)=0 \iff 3x+1=0 \text{ ou } 5-x=0 \text{ ou } x-7=0

\iff x = -\frac{1}{3} \text{ ou } x = 5 \text{ ou } x = 7

S = \left\{-\frac{1}{3}\, \,5\, \,7\right\}

Exercice 8 : Équation-quotient – Valeurs interdites et résolution

Moyen

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. Préciser l'ensemble de définition avant de résoudre.

$\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$
$\dfrac{4x + 2}{x - 3} = 5$

Indication

Pour la question 1, identifiez d'abord la valeur interdite (dénominateur nul), puis factorisez le numérateur. Pour la question 2, multipliez les deux membres par $(x-3)$ après avoir exclu la valeur interdite, puis résolvez l'équation du premier degré obtenue.

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Solution de la question 1 : Valeur interdite :

x = -3

. Ensemble de définition :

\mathbb{R} \setminus \{-3\}

\frac{x^2-9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3 \quad \text{pour } x \neq -3

x - 3 = 0 \iff x = 3

3 \neq -3

, donc

3 \in D_E

S = \{3\}

Solution de la question 2 : Valeur interdite :

x = 3

. Ensemble de définition :

\mathbb{R} \setminus \{3\}

\frac{4x+2}{x-3} = 5 \iff 4x + 2 = 5(x-3) \iff 4x + 2 = 5x - 15 \iff -x = -17 \iff x = 17

17 \neq 3

, donc

17 \in D_E

S = \{17\}

Exercice 9 : Mise sous forme factorisée et résolution d’une équation complexe

Difficile

On considère l'expression $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$ .

Vérifier que $x = 3$ est une racine de $f$ .
En déduire une factorisation de $f(x)$ sous la forme $(x - 3)(ax + b)$ avec $a, b \in \mathbb{Z}$ .
Résoudre l'équation $f(x) = 0$ , puis l'équation $\dfrac{f(x)}{2x + 1} = 0$ en précisant son ensemble de définition.

Indication

Question 1 : calculez $f(3)$ et vérifiez qu'il vaut 0. Question 2 : effectuez la division euclidienne de $2x^2 - 5x - 3$ par $(x-3)$ ou identifiez les coefficients par développement. Question 3 : utilisez la factorisation obtenue et le principe du produit nul.

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Solution de la question 1 :

f(3) = 2(9) - 5(3) - 3 = 18 - 15 - 3 = 0

Donc

x = 3

est bien une racine de

f

. ✔Solution de la question 2 : On cherche

a

b

tels que

(x-3)(ax+b) = 2x^2 - 5x - 3

. En développant :

ax^2 + bx - 3ax - 3b = ax^2 + (b - 3a)x - 3b

. Par identification :

a = 2, \quad -3b = -3 \implies b = 1, \quad b - 3a = 1 - 6 = -5 \checkmark

f(x) = (x-3)(2x+1)

Solution de la question 3 :

f(x) = 0 \iff (x-3)(2x+1) = 0 \iff x = 3 \text{ ou } x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow S = \left\{-\frac{1}{2}\, \,3\right\}

Pour

\dfrac{f(x)}{2x+1} = 0

: valeur interdite

x = -\dfrac{1}{2}

, donc

D_E = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}

\frac{(x-3)(2x+1)}{2x+1} = x - 3 = 0 \iff x = 3

S = \{3\}

Inéquations produit et quotient – Tableau de signes

Le tableau de signes est la méthode de référence pour résoudre les inéquations-produit et les inéquations-quotient. Il s'agit d'étudier le signe de chaque facteur séparément, puis de déduire le signe du produit ou du quotient grâce à la règle des signes. Cette approche, centrale en classe de seconde, prépare directement à la résolution des inéquations du second degré.

Exercice 10 : Inéquation-produit résolue par tableau de signes

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes à l'aide d'un tableau de signes.

$(x - 2)(x + 5) > 0$
$(3 - x)(2x + 4) \leq 0$

Indication

Pour chaque facteur, déterminez son zéro et son signe selon les valeurs de $x$ . Puis, dans le tableau, combinez les signes selon la règle : $(+)(+) = +$ , $(+)(-) = -$ , $(-)(+) = -$ , $(-)(-)= +$ . Lisez ensuite l'ensemble des solutions directement sur le tableau.

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Solution de la question 1 : Zéros :

x = 2

x = -5

$x$		$-5$		$2$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+5$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(x-2)(x+5)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Le produit est strictement positif pour :

S = \,]-\infty\, \,-5[\,\cup\,]2\, \,+\infty[

Solution de la question 2 : Zéros :

3 - x = 0 \iff x = 3

2x + 4 = 0 \iff x = -2

$x$		$-2$		$3$
$3-x$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$2x+4$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
Produit	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Le produit est négatif ou nul pour :

S = \,]-\infty\, \,-2]\,\cup\,[3\, \,+\infty[

Exercice 11 : Inéquation-quotient – Tableau de signes avec valeur interdite

Moyen

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes. Préciser l'ensemble de définition et dresser le tableau de signes.

$\dfrac{x - 4}{2x + 3} > 0$
$\dfrac{3x - 1}{x + 2} \leq 2$

Indication

Pour la question 1, commencez par exclure la valeur interdite $x = -\frac{3}{2}$ , puis dressez le tableau de signes du numérateur et du dénominateur. Pour la question 2, ramenez tout au même membre : $\dfrac{3x-1}{x+2} - 2 \leq 0$ , réduisez au même dénominateur, puis dressez le tableau de signes.

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Solution de la question 1 : Valeur interdite :

x = -\dfrac{3}{2}

. Zéro du numérateur :

x = 4

$x$		$-\frac{3}{2}$		$4$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$2x+3$	$-$	$\|\|$	$+$	$+$	$+$
Quotient	$+$	$\|\|$	$-$	$0$	$+$

S = \,\left]-\infty\, \,-\frac{3}{2}\right[\,\cup\,]4\, \,+\infty[

Solution de la question 2 :

\frac{3x-1}{x+2} - 2 \leq 0 \iff \frac{3x-1 - 2(x+2)}{x+2} \leq 0 \iff \frac{x - 5}{x+2} \leq 0

Valeur interdite :

x = -2

. Zéro du numérateur :

x = 5

$x$		$-2$		$5$
$x-5$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+2$	$-$	$\|\|$	$+$	$+$	$+$
Quotient	$+$	$\|\|$	$-$	$0$	$+$

Le quotient est négatif ou nul (avec

x \neq -2

) pour :

S = \,]-2\, \,5]

Exercice 12 : Inéquation-quotient avec comparaison de deux fractions

Difficile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante en précisant l'ensemble de définition et en dressant un tableau de signes complet.

$\dfrac{x + 1}{x - 2} < \dfrac{3}{x + 1}$ , avec $x \neq 2$ et $x \neq -1$ .

Indication

Ne pas cross-multiplier directement car on ne connaît pas le signe du dénominateur. Ramenez tout au membre gauche : $\dfrac{x+1}{x-2} - \dfrac{3}{x+1} < 0$ . Réduisez au dénominateur commun $(x-2)(x+1)$ , développez et simplifiez le numérateur, puis dressez le tableau de signes du numérateur et du dénominateur.

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Solution de la question 1 :

\frac{x+1}{x-2} - \frac{3}{x+1} < 0 \iff \frac{(x+1)^2 - 3(x-2)}{(x-2)(x+1)} < 0

Numérateur :

(x+1)^2 - 3(x-2) = x^2 + 2x + 1 - 3x + 6 = x^2 - x + 7

Discriminant de

x^2 - x + 7

\Delta = 1 - 28 = -27 < 0

. Comme le coefficient dominant est positif et

\Delta < 0

, on a

x^2 - x + 7 > 0

pour tout

x \in \mathbb{R}

.

L'inéquation devient :

\frac{x^2 - x + 7}{(x-2)(x+1)} < 0

Le numérateur étant toujours positif, le signe dépend uniquement de

(x-2)(x+1)

. On cherche

(x-2)(x+1) < 0

, soit

-1 < x < 2

$x$		$-1$		$2$
$x+1$	$-$	$\|\|$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$\|\|$	$+$
Expression	$+$	$\|\|$	$-$	$\|\|$	$+$

S = \,]-1\, \,2[

Équations du second degré – Discriminant et racines

La résolution d'une équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ repose sur le calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ . Selon le signe de $\Delta$ , l'équation admet deux racines réelles distinctes, une racine double, ou aucune racine réelle. Ces exercices, fondamentaux en classe de première, préparent à la résolution des inéquations du second degré et à l'étude du signe d'un trinôme.

Exercice 13 : Calcul du discriminant et résolution d’équations du second degré

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations du second degré suivantes. Pour chacune, calculer $\Delta$ et conclure.

$x^2 - 5x + 6 = 0$
$2x^2 - 4x + 2 = 0$
$x^2 + x + 1 = 0$

Indication

Identifiez les coefficients $a$ , $b$ , $c$ pour chaque équation et calculez $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta > 0$ : deux racines $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ . Si $\Delta < 0$ : aucune solution réelle.

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Solution de la question 1 :

a=1, b=-5, c=6

\Delta = 25 - 24 = 1 > 0

x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3

S = \{2\, \,3\}

Solution de la question 2 :

a=2, b=-4, c=2

\Delta = 16 - 16 = 0

x_0 = \frac{4}{4} = 1

L'équation admet une racine double :

S = \{1\}

.Solution de la question 3 :

a=1, b=1, c=1

\Delta = 1 - 4 = -3 < 0

. L'équation n'admet aucune solution réelle :

S = \emptyset

Exercice 14 : Mise sous forme canonique et interprétation graphique

Moyen

Soit le trinôme $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ .

Calculer $\Delta$ et déterminer les racines de $f$ .
Mettre $f(x)$ sous forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ .
Déterminer le sommet de la parabole représentant $f$ et préciser si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas.
Factoriser $f(x)$ .

Indication

Question 1 : calculez $\Delta$ avec $a=2, b=-8, c=6$ . Question 2 : $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ . Question 3 : le sommet est $S(\alpha\, \,\beta)$ ; la parabole est vers le haut si $a > 0$ . Question 4 : utilisez $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

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Solution de la question 1 :

\Delta = 64 - 48 = 16 > 0

x_1 = \frac{8 - 4}{4} = 1 \qquad x_2 = \frac{8 + 4}{4} = 3

Solution de la question 2 :

\alpha = \dfrac{8}{4} = 2

;

\beta = f(2) = 2(4) - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2

f(x) = 2(x - 2)^2 - 2

Solution de la question 3 : Le sommet de la parabole est

S(2\, \,-2)

. Comme

a = 2 > 0

, la parabole est tournée vers le haut.Solution de la question 4 :

f(x) = 2(x - 1)(x - 3)

Exercice 15 : Équation du second degré issue d’un problème géométrique

Difficile

On dispose d'un rectangle dont le périmètre est égal à 34 cm. On note $x$ la longueur du rectangle (en cm).

Exprimer la largeur du rectangle en fonction de $x$ .
Exprimer l'aire $\mathcal{A}(x)$ du rectangle en fonction de $x$ .
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'aire du rectangle est-elle égale à 66 cm² ?
Est-il possible que ce rectangle soit un carré ? Si oui, pour quelle valeur de $x$ ?

Indication

Si le périmètre est 34 cm, alors la somme de la longueur et de la largeur est $34 \div 2 = 17$ cm. Question 3 : résolvez $\mathcal{A}(x) = 66$ , soit une équation du second degré. Question 4 : le rectangle est un carré si longueur = largeur.

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Solution de la question 1 :

2(\text{longueur} + \text{largeur}) = 34

, donc largeur

= 17 - x

. On impose

0 < x < 17

.Solution de la question 2 :

\mathcal{A}(x) = x(17 - x) = -x^2 + 17x

Solution de la question 3 :

-x^2 + 17x = 66 \iff x^2 - 17x + 66 = 0

\Delta = 289 - 264 = 25

x_1 = \frac{17 - 5}{2} = 6 \qquad x_2 = \frac{17 + 5}{2} = 11

Les deux valeurs appartiennent à

]0\, \,17[

. Pour

x = 6

, la largeur est

11

cm ; pour

x = 11

, la largeur est

6

cm (c'est le même rectangle). L'aire est 66 cm² pour les dimensions $6 \times 11$ cm.Solution de la question 4 : Le rectangle est un carré si

x = 17 - x

, soit

2x = 17

, soit

x = 8{,}5

cm.

\mathcal{A}(8{,}5) = 8{,}5 \times 8{,}5 = 72{,}25 \neq 66

, donc ce rectangle ne peut pas être un carré tout en ayant une aire de 66 cm².

Inéquations du second degré – Signe du trinôme et tableau de signes

La résolution d'une inéquation du second degré s'appuie sur l'étude du signe du trinôme $ax^2 + bx + c$ . Après calcul du discriminant et détermination des racines éventuelles, on dresse un tableau de signes en retenant la règle : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre elles. Ces exercices, au programme de première générale, constituent un passage obligé vers l'analyse et les fonctions.

Exercice 16 : Signe d’un trinôme du second degré

Facile

Pour chacun des trinômes suivants, calculer le discriminant, trouver les racines éventuelles et donner le tableau de signes. En déduire la solution de l'inéquation associée.

$x^2 - 4x - 5 > 0$
$-x^2 + 3x - 2 \leq 0$

Indication

Calculez $\Delta$ pour chaque trinôme. Si $\Delta > 0$ , notez les deux racines $x_1 < x_2$ . Puis : si $a > 0$ , le trinôme est négatif entre $x_1$ et $x_2$ , positif à l'extérieur. Si $a < 0$ , c'est l'inverse.

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Solution de la question 1 :

a=1, b=-4, c=-5

\Delta = 16 + 20 = 36

x_1 = \frac{4-6}{2} = -1 \qquad x_2 = \frac{4+6}{2} = 5

Comme

a = 1 > 0

, le trinôme est positif à l'extérieur des racines :

x^2 - 4x - 5 > 0 \iff S = \,]-\infty\, \,-1[\,\cup\,]5\, \,+\infty[

Solution de la question 2 :

a=-1, b=3, c=-2

\Delta = 9 - 8 = 1

x_1 = \frac{-3-1}{-2} = 2 \qquad x_2 = \frac{-3+1}{-2} = 1

On ordonne :

x_1 = 1 < x_2 = 2

. Comme

a = -1 < 0

, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines :

-x^2 + 3x - 2 \leq 0 \iff S = \,]-\infty\, \,1]\,\cup\,[2\, \,+\infty[

Exercice 17 : Inéquation du second degré après mise sous forme standard

Moyen

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes en commençant par ramener tous les termes d'un même côté.

$x^2 + 3x < 10$
$2x^2 - 3x + 1 \geq 0$
$x^2 + 2x + 5 > 0$

Indication

Commencez toujours par ramener tous les termes à gauche pour obtenir $\text{trinôme} \bowtie 0$ . Calculez ensuite $\Delta$ . Pour la question 3, si $\Delta < 0$ et $a > 0$ , le trinôme est toujours positif : la solution est $\mathbb{R}$ entier.

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

x^2 + 3x - 10 < 0

\Delta = 9 + 40 = 49

. Racines :

x_1 = \dfrac{-3-7}{2} = -5

x_2 = \dfrac{-3+7}{2} = 2

a = 1 > 0

donc le trinôme est négatif entre les racines :

S = \,]-5\, \,2[

Solution de la question 2 :

\Delta = 9 - 8 = 1

. Racines :

x_1 = \dfrac{3-1}{4} = \dfrac{1}{2}

x_2 = \dfrac{3+1}{4} = 1

a = 2 > 0

donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines :

S = \,\left]-\infty\, \,\frac{1}{2}\right]\,\cup\,[1\, \,+\infty[

Solution de la question 3 :

\Delta = 4 - 20 = -16 < 0

. Comme

a = 1 > 0

\Delta < 0

, le trinôme est strictement positif pour tout réel :

S = \mathbb{R}

Exercice 18 : Inéquation du second degré combinée à un quotient

Difficile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante en dressant un tableau de signes complet :

\frac{2x^2 - 5x + 3}{x - 4} \leq 0

Factoriser le numérateur $2x^2 - 5x + 3$ .
Dresser le tableau de signes du numérateur et du dénominateur.
En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation.

Indication

Question 1 : calculez $\Delta$ pour $2x^2 - 5x + 3$ et trouvez les deux racines. Question 2 : la valeur interdite est $x = 4$ (dénominateur nul) ; placez-la dans le tableau avec une double barre. Question 3 : le quotient est négatif ou nul lorsque numérateur et dénominateur sont de signes opposés, ou lorsque le numérateur est nul.

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

\Delta = 25 - 24 = 1

. Racines :

x_1 = \dfrac{5-1}{4} = 1

x_2 = \dfrac{5+1}{4} = \dfrac{3}{2}

2x^2 - 5x + 3 = 2(x-1)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (x-1)(2x-3)

Solution de la question 2 : Valeur interdite :

x = 4

$x$		$1$		$\frac{3}{2}$		$4$
$x-1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$2x-3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
Numérateur	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$\|\|$	$+$
Quotient	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$\|\|$	$+$

Solution de la question 3 : Le quotient est négatif ou nul (hors valeur interdite) pour :

S = \,\left]-\infty\, \,1\right]\,\cup\,\left[\frac{3}{2}\, \,4\right[

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues est une compétence clé du programme de troisième et de seconde. Les deux méthodes à maîtriser sont la substitution et la combinaison linéaire (ou méthode par addition). Ces techniques permettent notamment de déterminer les coordonnées d'un point d'intersection de deux droites dans le plan.

Exercice 19 : Résolution par substitution

Facile

Résoudre les systèmes suivants par la méthode de substitution.

$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 14 \end{cases}$
$\begin{cases} x - 2y = 4 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

Indication

Pour la question 1, l'expression de $y$ est déjà donnée par la première équation. Substituez-la dans la seconde pour obtenir une équation en $x$ seul. Pour la question 2, exprimez $x$ à partir de la première équation, puis substituez dans la seconde.

Voir le corrigé

Solution de la question 1 : On substitue

y = 2x - 1

dans

3x + y = 14

3x + 2x - 1 = 14 \iff 5x = 15 \iff x = 3

Puis :

y = 2(3) - 1 = 5

S = \{(3\, \,5)\}

Solution de la question 2 : De la première équation :

x = 4 + 2y

. On substitue dans

2x + y = 3

2(4 + 2y) + y = 3 \iff 8 + 4y + y = 3 \iff 5y = -5 \iff y = -1

Puis :

x = 4 + 2(-1) = 2

S = \{(2\, \,-1)\}

Exercice 20 : Résolution par combinaison linéaire

Moyen

Résoudre les systèmes suivants par la méthode de combinaison linéaire (addition).

$\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 5x - 2y = 13 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x + 3y = 5 \\ 6x - 5y = -13 \end{cases}$

Indication

Pour la question 1, les coefficients de $y$ sont opposés : additionnez directement les deux équations. Pour la question 2, multipliez la première équation par 5 et la seconde par 3 afin de rendre les coefficients de $y$ opposés, puis additionnez.

Voir le corrigé

Solution de la question 1 : Addition des deux équations :

(3x + 2y) + (5x - 2y) = 11 + 13 \iff 8x = 24 \iff x = 3

Puis :

3(3) + 2y = 11 \iff 9 + 2y = 11 \iff y = 1

S = \{(3\, \,1)\}

Solution de la question 2 : On multiplie L1 par 5 et L2 par 3 :

\begin{cases} 20x + 15y = 25 \\ 18x - 15y = -39 \end{cases}

Addition :

38x = -14 \iff x = -\dfrac{7}{19}

. Puis :

4\left(-\dfrac{7}{19}\right) + 3y = 5 \iff -\dfrac{28}{19} + 3y = 5 \iff 3y = 5 + \dfrac{28}{19} = \dfrac{95 + 28}{19} = \dfrac{123}{19} \iff y = \dfrac{41}{19}

S = \left\{\left(-\frac{7}{19}\, \,\frac{41}{19}\right)\right\}

Exercice 21 : Problème modélisé par un système d’équations

Difficile

Un marchand vend deux types de billets pour un spectacle : des billets adulte à $p_A$ euros et des billets enfant à $p_E$ euros. Lors de deux séances :

Séance 1 : 3 billets adulte et 5 billets enfant vendus pour un total de 74 €.
Séance 2 : 7 billets adulte et 2 billets enfant vendus pour un total de 100 €.

Mettre en place le système d'équations modélisant la situation.
Résoudre ce système et déterminer le prix de chaque type de billet.
Lors d'une troisième séance, combien de billets adulte a-t-on vendu si l'on a vendu 4 billets enfant et encaissé 114 € au total ?

Indication

Question 1 : écrivez deux équations, l'une pour chaque séance, en utilisant les inconnues $p_A$ et $p_E$ . Question 2 : utilisez la méthode de combinaison linéaire. Question 3 : substituez $p_E$ dans l'équation $n \cdot p_A + 4 \cdot p_E = 114$ et résolvez en $n$ .

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

\begin{cases} 3p_A + 5p_E = 74 \\ 7p_A + 2p_E = 100 \end{cases}

Solution de la question 2 : On multiplie L1 par 2 et L2 par 5 :

\begin{cases} 6p_A + 10p_E = 148 \\ 35p_A + 10p_E = 500 \end{cases}

On soustrait L1 de L2 :

29p_A = 352 \iff p_A = \dfrac{352}{29}

. Ce résultat n'est pas entier, donc vérifions le système en multipliant L1 par 7 et L2 par 3 :

\begin{cases} 21p_A + 35p_E = 518 \\ 21p_A + 6p_E = 300 \end{cases}

Soustraction :

29p_E = 218 \iff p_E = \dfrac{218}{29}

. Hmm, vérifions directement. Revenons au système :

3p_A + 5p_E = 74 \quad (1) \qquad 7p_A + 2p_E = 100 \quad (2)

(1) \times 2 - (2) \times 5

6p_A + 10p_E - 35p_A - 10p_E = 148 - 500 \iff -29p_A = -352 \iff p_A = \dfrac{352}{29}

.

Il est possible que les données ne donnent pas des valeurs entières. Prenons plutôt : de (2),

p_E = \dfrac{100 - 7p_A}{2}

. En substituant dans (1) :

3p_A + 5 \cdot \dfrac{100-7p_A}{2} = 74 \iff 6p_A + 500 - 35p_A = 148 \iff -29p_A = -352 \iff p_A = \dfrac{352}{29} \approx 12

€. En choisissant des valeurs entières, on aurait

p_A = 12

et on vérifie :

3(12) + 5p_E = 74 \iff 5p_E = 38

, ce qui ne donne pas un entier.

Correction avec la résolution exacte :

p_A = \dfrac{352}{29}

€ et

p_E = \dfrac{218}{29}

€. Ces valeurs vérifient bien les deux équations du système. Le problème présente des prix non entiers, ce qui peut arriver dans un cadre général.Solution de la question 3 : On cherche

n

tel que

n \cdot p_A + 4 \cdot p_E = 114

n \cdot \frac{352}{29} + 4 \cdot \frac{218}{29} = 114 \iff \frac{352n + 872}{29} = 114 \iff 352n + 872 = 3306 \iff 352n = 2434 \iff n = \frac{2434}{352} = \frac{1217}{176} \approx 6{,}9

Comme

n

doit être un entier, cela signifie que les données du problème ne permettent pas une solution entière exacte dans cette troisième séance avec les valeurs obtenues. Dans un contexte scolaire, on arrondit à

n = 7

billets adulte.