Variables aléatoires Première : 7 exercices corrigés

Construire la loi précède toujours le calcul de ses indicateurs. Les jeux équitables, la transformation affine d'un gain et le lien entre espérance et moyenne observée permettent d'interpréter les résultats au-delà d'une simple somme pondérée.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Variables aléatoires. Les lois et indicateurs sont approfondis dans le cours complet sur les variables aléatoires.

Bases de Variables aléatoires : Construire une loi

Exercice 1 : Construire une loi

Facile

On lance deux pièces équilibrées. X est le nombre de faces obtenues.

  1. Donner les valeurs de X.
  2. Construire la loi.
  3. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Indication
Lister les quatre couples d'issues équiprobables.
Voir le corrigé
  1. X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.
  2. La loi est P(X=0)=1/4P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2P(X=1)=1/2 et P(X=2)=1/4P(X=2)=1/4.
  3. 1/4+1/2+1/4=11/4+1/2+1/4=1. La loi est bien normalisée.

Exercice 2 : Espérance et variance

Moyen

Une variable X prend -1, 2 et 5 avec probabilités 0,2; 0,5; 0,3.

  1. Calculer E(X)E(X).
  2. Calculer E(X2)E(X^2).
  3. En déduire la variance et l'écart type.
Indication
Utiliser V(X)=E(X2)−E(X)2V(X)=E(X^2)-E(X)^2.
Voir le corrigé
  1. E(X)=(−1)×0,2+2×0,5+5×0,3=2,3E(X)=(-1)\times0{,}2+2\times0{,}5+5\times0{,}3=2{,}3.
  2. E(X2)=1×0,2+4×0,5+25×0,3=9,7E(X^2)=1\times0{,}2+4\times0{,}5+25\times0{,}3=9{,}7.
  3. V(X)=E(X2)−E(X)2=9,7−2,32=4,41V(X)=E(X^2)-E(X)^2=9{,}7-2{,}3^2=4{,}41, puis σ(X)=4,41=2,1\sigma(X)=\sqrt{4{,}41}=2{,}1.

Choisir une méthode : Jeu équitable

Exercice 3 : Jeu équitable

Difficile

Un jeu coûte c euros. On gagne 12 euros avec probabilité 0,15, 4 euros avec probabilité 0,35 et rien sinon. X est le gain algébrique net.

  1. Écrire la loi de X.
  2. Exprimer son espérance en fonction de c.
  3. Déterminer c pour un jeu équitable.
  4. Interpréter un prix de 4 euros.
Indication
Le gain net est lot reçu moins prix payé.
Voir le corrigé
  1. X prend 12−c12-c avec probabilité 0,15, 4−c4-c avec probabilité 0,35 et −c-c avec probabilité 0,50.
  2. E(X)=0,15(12−c)+0,35(4−c)+0,50(−c)=3,2−cE(X)=0{,}15(12-c)+0{,}35(4-c)+0{,}50(-c)=3{,}2-c.
  3. Le jeu est équitable lorsque E(X)=0E(X)=0, donc pour c=3,20c=3{,}20 euros.
  4. Pour un prix de 4 euros, E(X)=3,2−4=−0,80E(X)=3{,}2-4=-0{,}80 euro. À long terme, le joueur perd en moyenne 0,80 euro par partie.

Exercice 4 : Décider si un jeu est équitable

Moyen

Un dé équilibré coûte 2 euros à jouer. On reçoit 8 euros si le résultat est 6, 3 euros si le résultat est 5, et rien sinon. XX est le gain net.

  1. Établir la loi du gain net X.
  2. Calculer l'espérance de X.
  3. Conclure sur l'équité du jeu pour le joueur.
Indication
Décrire les issues et calculer le gain net associé à chacune.
Voir le corrigé
  1. Pour 6, le gain net est 6 euros avec probabilité 1/61/6. Pour 5, le gain net est 1 euro avec probabilité 1/61/6. Pour les quatre autres faces, le gain net est -2 euros avec probabilité 4/64/6.
  2. E(X)=66+16−86=−16E(X)=\frac66+\frac16-\frac86=-\frac16 euro.
  3. Le jeu n'est pas équitable pour le joueur, car l'espérance est négative.

Exercice 5 : Loi d’un gain et jeu équitable

Difficile

Un jeu coûte 2 euros. Un dé équilibré est lancé : le joueur reçoit 8 euros pour un 6, 3 euros pour un 5 et rien sinon. X désigne le gain algébrique.

  1. Donner les valeurs de X et leurs probabilités.
  2. Calculer l'espérance.
  3. Déterminer le prix d'entrée qui rendrait le jeu équitable.
Indication
Le gain algébrique est la somme reçue moins le prix payé.
Voir le corrigé
  1. X=6X=6 avec probabilité 16\frac16, X=1X=1 avec probabilité 16\frac16, et X=−2X=-2 avec probabilité 46\frac46.
  2. E(X)=6×16+1×16−2×46=−16E(X)=6\times\frac16+1\times\frac16-2\times\frac46=-\frac16 euro.
  3. La somme moyenne reçue vaut 8×16+3×16=1168\times\frac16+3\times\frac16=\frac{11}{6} euro. Ce prix rend l'espérance du gain nulle.

Approfondir Variables aléatoires : Relier espérance et moyenne observée

Exercice 6 : Effet d’une transformation affine

Moyen

Une variable X vérifie E(X)=4E(X)=4 et V(X)=9V(X)=9. On définit Y=3X−5Y=3X-5.

  1. Calculer E(Y)E(Y).
  2. Calculer V(Y)V(Y) puis son écart type.
  3. Expliquer pourquoi la translation n'affecte pas la variance.
Indication
Utiliser E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b et V(aX+b)=a2V(X)V(aX+b)=a^2V(X).
Voir le corrigé
  1. E(Y)=3×4−5=7E(Y)=3\times4-5=7.
  2. V(Y)=32×9=81V(Y)=3^2\times9=81, donc σ(Y)=9\sigma(Y)=9.
  3. Ajouter une constante déplace toutes les valeurs et leur moyenne de la même quantité ; les écarts à la moyenne restent donc inchangés.

Exercice 7 : Relier espérance et moyenne observée

Difficile

Une variable aléatoire prend les valeurs xix_i avec probabilités pip_i. On répète l'expérience un grand nombre de fois et l'on calcule la moyenne observée.

  1. Exprimer la moyenne observée à l'aide des fréquences fif_i.
  2. Expliquer pourquoi elle se rapproche de l'espérance E(X)E(X).
Indication
Relier chaque fréquence observée à la probabilité théorique correspondante.
Voir le corrigé
  1. La moyenne observée s'écrit ∑ixifi\sum_i x_i f_i, où fif_i est la fréquence de la valeur xix_i.
  2. Sur un grand nombre de répétitions indépendantes, les fréquences fif_i tendent à se rapprocher des probabilités pip_i. La moyenne se rapproche donc de ∑ixipi=E(X)\sum_i x_ip_i=E(X).
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