Triangles 5ème : 10 exercices corrigés sur angles et constructions

Ces exercices corrigés sur les triangles en 5ème entraînent à calculer un angle, reconnaître un triangle particulier, décider si une construction est possible et rédiger un programme. Le cours sur les triangles en 5ème présente les propriétés utilisées.

Les mesures sont toujours justifiées et les dessins ne sont jamais supposés exacts. Les relations d’angles réemploient le chapitre sur les angles et le parallélisme, dans le parcours de mathématiques de 5ème.

Calculer avec la somme des angles d’un triangle

Dans tout triangle, les trois angles ont une somme égale à 180∘180^\circ.

Exercice 1 : Un angle manquant

Facile

Dans ABCABC, A^=46∘\widehat{A}=46^\circ et B^=73∘\widehat{B}=73^\circ.

  1. Calculer C^\widehat{C}.
Indication

Retranchez à 180∘180^\circ les deux angles connus.

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C^=180∘−46∘−73∘=61∘\widehat{C}=180^\circ-46^\circ-73^\circ=61^\circ. Vérification : 46+73+61=18046+73+61=180.

Exercice 2 : Triangle isocèle et angle au sommet

Facile

Le triangle DEFDEF est isocèle en DD et D^=38∘\widehat{D}=38^\circ.

  1. Quels angles sont égaux ?
  2. Calculer E^\widehat{E} et F^\widehat{F}.
  3. Contrôler la somme.
Indication

Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.

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E^=F^\widehat{E}=\widehat{F}. Leur somme vaut 180∘−38∘=142∘180^\circ-38^\circ=142^\circ, donc chacun mesure 142∘÷2=71∘142^\circ\div2=71^\circ. On vérifie 38+71+71=18038+71+71=180.

Exercice 3 : Identifier la nature d’un triangle

Moyen

Un triangle possède deux angles de 45∘45^\circ.

  1. Calculer le troisième angle.
  2. Donner deux natures particulières du triangle.
  3. Justifier chaque qualification.
  4. Peut-il être équilatéral ?
Indication

Deux angles égaux donnent un triangle isocèle ; un angle de 90∘90^\circ donne un triangle rectangle.

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Le troisième angle vaut 180−45−45=90∘180-45-45=90^\circ. Le triangle est rectangle et isocèle. Il est isocèle car deux angles sont égaux, donc les côtés opposés le sont ; il est rectangle car il possède un angle droit. Il n’est pas équilatéral, car ses angles ne valent pas tous 60∘60^\circ.

Décider si un triangle est constructible

La longueur de chaque côté doit être strictement inférieure à la somme des deux autres ; l’égalité donne une figure aplatie.

Exercice 4 : Trois listes de longueurs

Facile

Étudier les triplets de longueurs : 4,6,74,6,7 cm ; 3,5,93,5,9 cm ; 2,5,72,5,7 cm.

  1. Indiquer le triplet constructible.
  2. Expliquer le refus pour chacun des deux autres.
Indication

Il suffit de comparer le plus grand côté à la somme des deux plus petits.

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7<4+67\lt 4+6, donc 4,6,74,6,7 est constructible. Pour 3,5,93,5,9, 9>3+59\gt 3+5 : les deux arcs ne se rencontrent pas. Pour 2,5,72,5,7, 7=2+57=2+5 : les points seraient alignés, donc on n’obtient pas un véritable triangle.

Exercice 5 : Longueur entière inconnue

Moyen

Un triangle a des côtés 55 cm, 88 cm et xx cm, où xx est un entier.

  1. Écrire les deux inégalités utiles.
  2. Donner toutes les valeurs possibles de xx inférieures à 1212.
  3. Tester x=3x=3 et x=13x=13.
Indication

La troisième longueur doit être plus grande que la différence et plus petite que la somme des deux autres.

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Il faut x>8−5=3x\gt 8-5=3 et x<8+5=13x\lt 8+5=13. Avec x<12x\lt 12, les valeurs entières sont 4,5,6,7,8,9,10,114,5,6,7,8,9,10,11. Pour x=3x=3, la figure est aplatie ; pour x=13x=13, elle l’est également. Les inégalités doivent être strictes.

Exercice 6 : Corriger une décision fondée sur le dessin

Moyen

Une esquisse montre un triangle de côtés annoncés 66, 88 et 1515 cm. Lina dit qu’il existe parce qu’elle le voit.

  1. Vérifier numériquement.
  2. Expliquer le statut d’une esquisse.
  3. Proposer une donnée corrigée minimale.
Indication

Comparez 1515 à 6+86+8.

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On a 15>6+8=1415\gt 6+8=14 : le triangle est impossible. Une esquisse illustre une situation, mais ne remplace pas une condition mathématique. En remplaçant 1515 par une longueur strictement inférieure à 1414, par exemple 13,913{,}9 cm, la construction devient possible.

Construire avec des données adaptées

Les données choisies déterminent l’ordre des instruments : règle graduée, compas puis rapporteur lorsque des angles sont imposés.

Exercice 7 : Construction par trois côtés

Moyen

Construire ABCABC tel que AB=7AB=7 cm, AC=5AC=5 cm et BC=6BC=6 cm.

  1. Donner le programme complet.
  2. Expliquer pourquoi deux positions de CC sont possibles.
  3. Nommer les instruments.
  4. Effectuer un contrôle final.
  5. Les deux triangles obtenus ont-ils les mêmes mesures ?
Indication

Après le segment de base, le troisième sommet appartient à deux cercles.

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  1. Tracer [AB][AB] de 77 cm ; tracer le cercle de centre AA, rayon 55 cm, puis celui de centre BB, rayon 66 cm ; choisir une intersection CC.
  2. Les cercles ont deux intersections symétriques par rapport à (AB)(AB).
  3. Règle graduée et compas suffisent.
  4. Vérifier les trois longueurs.
  5. Les deux triangles sont superposables : seules leurs orientations diffèrent.

Exercice 8 : Construction par deux côtés et un angle

Moyen

Construire MNPMNP avec MN=6MN=6 cm, MP=4MP=4 cm et NMP^=52∘\widehat{NMP}=52^\circ.

  1. Décrire les étapes dans l’ordre.
  2. Pourquoi l’angle doit-il être construit au point MM ?
Indication

L’angle donné est compris entre les deux côtés connus.

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Tracer [MN][MN] de 66 cm. Au point MM, construire une demi-droite faisant 52∘52^\circ avec [MN)[MN). Sur cette demi-droite, placer PP à 44 cm de MM, puis relier PP à NN. L’angle est construit en MM parce que ses côtés sont précisément [MN)[MN) et [MP)[MP).

Exercice 9 : Remettre un programme dans l’ordre

Difficile

Pour construire un triangle avec QR=8QR=8 cm, Q^=40∘\widehat{Q}=40^\circ et R^=65∘\widehat{R}=65^\circ, quatre étapes sont mélangées : placer SS à l’intersection ; tracer [QR][QR] ; construire la demi-droite d’origine RR ; construire celle d’origine QQ.

  1. Remettre les étapes dans l’ordre.
  2. Calculer le troisième angle.
  3. Expliquer pourquoi les deux demi-droites se rencontrent.
Indication

La base doit exister avant les angles ; le troisième sommet est défini par l’intersection.

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On trace d’abord [QR][QR], puis la demi-droite en QQ formant 40∘40^\circ, puis celle en RR formant 65∘65^\circ, enfin on nomme SS leur intersection. Le troisième angle vaut 180−40−65=75∘180-40-65=75^\circ. Les deux directions tournent vers le même demi-plan et la somme 40+65<18040+65\lt 180 laisse un angle positif au sommet.

Mobiliser plusieurs propriétés

La synthèse associe un calcul exact, une décision de constructibilité et un programme contrôlable.

Exercice 10 : Projet de fanion triangulaire

Difficile

Un fanion isocèle ABCABC a AB=AC=10AB=AC=10 cm et une base BC=12BC=12 cm.

  1. Vérifier que la construction est possible.
  2. Décrire une construction au compas.
  3. Expliquer pourquoi les angles en BB et CC sont égaux.
  4. Si A^=74∘\widehat{A}=74^\circ, calculer les deux autres angles.
Indication

Le sommet appartient aux deux cercles de rayon 1010 centrés aux extrémités de la base.

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12<10+1012\lt 10+10, donc le triangle existe. On trace [BC][BC] de 1212 cm, puis deux cercles de centres BB et CC, rayon 1010 cm ; une intersection donne AA. Comme AB=ACAB=AC, les angles à la base sont égaux. Leur somme vaut 180−74=106∘180-74=106^\circ, donc chacun mesure 53∘53^\circ.

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