Théorème de Rolle : Énoncé et Démonstration

Le théorème de Rolle est l'un des résultats fondateurs de l'analyse mathématique. Énoncé au XVII^e siècle par le mathématicien français Michel Rolle, il établit une propriété remarquable : si une fonction dérivable prend la même valeur en deux points d'un intervalle, alors il existe nécessairement au moins un point intérieur où sa dérivée s'annule. autrement dit, où la tangente à sa courbe est horizontale. Ce résultat, d'une élégance géométrique immédiate, constitue la pierre angulaire de la démonstration du théorème des accroissements finis, et par cascade, de l'ensemble de l'analyse différentielle.

Cette leçon s'adresse aux étudiants de licence de mathématiques et de classes préparatoires. Elle expose l'énoncé précis, les hypothèses indispensables, une démonstration complète, une interprétation géométrique intuitive, ainsi que des exercices corrigés détaillés.

Table des Matières

Michel Rolle et la naissance du théorème

Michel Rolle (1652–1719) publie en 1691 sa Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés. Il y introduit une méthode algébrique (la « cascade ») pour encadrer les racines d'un polynôme, en construisant un nouveau polynôme dont les racines séparent celles du polynôme initial. Ce polynôme construit par Rolle n'est autre que la dérivée du polynôme de départ (à un facteur près), même si Rolle lui-même se méfiait du calcul infinitésimal naissant de Leibniz et Newton.

L'extension analytique moderne (applicable à toute fonction dérivable et pas seulement aux polynômes) est due à Pierre-Ossian Bonnet (1868), dans le cadre du cours de Joseph-Alfred Serret. C'est sous cette forme que le résultat est désormais enseigné et utilisé.

Rappels : continuité, dérivabilité et extremum local

Fonction continue sur un segment

Une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est dite continue sur $[a,b]$ si elle l'est en tout point de cet intervalle fermé. Le théorème des bornes atteintes garantit qu'une telle fonction est bornée et atteint ses bornes : il existe $\alpha, \beta \in [a, b]$ tels que $f(\alpha)$ est le minimum et $f(\beta)$ est le maximum de $f$ sur $[a,b]$ .

Fonction dérivable sur un intervalle ouvert

Une fonction est dérivable en un point $x_0$ si le taux d'accroissement admet une limite finie lorsque $h \to 0$ :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de $f$ admet une tangente non verticale au point d'abscisse $x_0$ .

Extremum local et annulation de la dérivée (théorème de Fermat)

Propriété (Fermat) : Si $f$ est dérivable en $c$ et si $c$ est un extremum local de $f$ , alors $f'(c) = 0$ .

Idée de la preuve : Si $c$ est un maximum local, le taux d'accroissement $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ est positif pour $h < 0$ et négatif pour $h > 0$ . En faisant tendre $h$ vers $0$ par les deux côtés et en utilisant l'unicité de la limite, on obtient $f'(c) \geq 0$ et $f'(c) \leq 0$ , donc $f'(c) = 0$ .

⚠ Attention : La réciproque est fausse. L'annulation de la dérivée en un point ne garantit pas que ce point est un extremum (exemple : $f(x) = x^3$ en $x = 0$ ).

Énoncé du théorème de Rolle

Les trois hypothèses

Pour appliquer le théorème de Rolle, trois conditions doivent être simultanément vérifiées :

Continuité sur le fermé : $f$ est continue sur $[a, b]$ .
Dérivabilité sur l'ouvert : $f$ est dérivable sur $]a, b[$ . (On n'exige pas la dérivabilité aux bornes $a$ et $b$ .)
Égalité aux bornes : $f(a) = f(b)$ .

Énoncé formel

Théorème de Rolle. Soient $a < b$ deux réels et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction. On suppose que :

$f$ est continue sur $[a, b]$ ,
$f$ est dérivable sur $]a, b[$ ,
$f(a) = f(b)$ .

Alors il existe au moins un réel $c \in \, ]a, b[$ tel que

f'(c) = 0.

En termes simples : sous ces trois hypothèses, la courbe de $f$ admet au moins un point à tangente horizontale à l'intérieur de l'intervalle.

Deux précisions importantes : le point $c$ est à l'intérieur strict de $]a, b[$ (jamais en $a$ ou $b$ ) et il n'est pas nécessairement unique. La fonction $\sin$ sur $[0, 2\pi]$ , par exemple, vérifie les hypothèses et possède deux points $c$ distincts ( $\pi/2$ et $3\pi/2$ ) où la dérivée s'annule.

Interprétation géométrique du théorème de Rolle

Visualisons la situation. On trace une courbe qui part d'un point $A = (a, f(a))$ , se déplace sans discontinuité ni point anguleux (dérivabilité sur l'ouvert), et revient au même niveau en $B = (b, f(b))$ .

Pour relier $A$ à $B$ en restant au même niveau, la courbe doit inévitablement monter puis redescendre (ou descendre puis remonter). Il existe donc un sommet (ou un creux) quelque part entre $a$ et $b$ . En ce point extrême, la pente est nulle : la tangente y est parfaitement horizontale.

Intuition physique : imaginez une route qui part d'un village de montagne et y revient après un circuit. Si la route est lisse (pas de falaises abruptes), il existe forcément au moins un point où la route est parfaitement horizontale ; au sommet d'un col ou au fond d'un vallon.

Démonstration complète du théorème de Rolle

Cas 1 : f est constante

Si $f$ est constante sur $[a, b]$ , alors $f'(x) = 0$ pour tout $x \in \, ]a, b[$ . N'importe quel point de l'intervalle ouvert convient pour $c$ . Le théorème est trivialement vérifié.

Cas 2 : f est non constante

Puisque $f$ est continue sur le segment $[a, b]$ , le théorème des bornes atteintes garantit l'existence d'un minimum $m$ et d'un maximum $M$ atteints sur $[a, b]$ :

\exists\, \alpha \in [a, b],\; f(\alpha) = m = \min_{[a,b]} f \qquad \text{et} \qquad \exists\, \beta \in [a, b],\; f(\beta) = M = \max_{[a,b]} f.

Puisque $f$ est non constante, on a $m < M$ . Comme $f(a) = f(b)$ , cette valeur commune ne peut être égale à la fois à $m$ et à $M$ . Donc au moins l'un des deux extrema est atteint en un point intérieur à $]a, b[$ . Notons $c$ un tel point (qu'il soit minimum ou maximum).

Ainsi $c \in \, ]a, b[$ et $c$ est un extremum local (et même global sur $[a,b]$ ) de $f$ . Puisque $f$ est dérivable sur $]a, b[$ , la propriété de Fermat (voir rappelée ci-dessus) donne :

f'(c) = 0.

Ce point $c$ répond bien à la conclusion du théorème. $\blacksquare$

Pourquoi chaque hypothèse est-elle indispensable ?

Chacune des trois conditions est nécessaire. Voici trois contre-exemples classiques :

Hypothèse manquante	Contre-exemple	Ce qui se passe
Continuité sur $[a,b]$	$f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ sur $[0,1]$	$f(0)=f(1)=0$ , mais $f'(x)=1$ ne s'annule jamais sur $]0,1[$
Dérivabilité sur $]a,b[$	$f(x) = \|x\|$ sur $[-1,1]$	$f(-1)=f(1)=1$ , non dérivable en 0, et $f'(x) = \pm 1$ ne s'annule pas
Égalité aux bornes	$f(x) = x$ sur $[0,1]$	$f(0) \neq f(1)$ , et $f'(x) = 1$ ne s'annule pas

Propriétés déduites du théorème de Rolle

Séparation des racines d’un polynôme

Propriété. Si $P$ est un polynôme réel admettant au moins $p$ racines réelles distinctes, alors son polynôme dérivé $P'$ admet au moins $p - 1$ racines réelles distinctes.

Preuve : Soient $x_1 < x_2 < \cdots < x_p$ les racines de $P$ . Sur chaque intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ , $P$ est continu, dérivable, et $P(x_i) = P(x_{i+1}) = 0$ . On applique le théorème de Rolle : il existe $c_i \in \, ]x_i, x_{i+1}[$ tel que $P'(c_i) = 0$ . Les $p - 1$ points $c_1, c_2, \ldots, c_{p-1}$ sont deux à deux distincts (ils appartiennent à des intervalles disjoints). $\blacksquare$

Ce résultat a une conséquence pratique directe : si vous connaissez les racines d'un polynôme, vous pouvez encadrer les racines de sa dérivée.

Lien avec le théorème des accroissements finis

Le théorème des accroissements finis (TAF) est une généralisation directe du théorème de Rolle. Il affirme que pour $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ (sans nécessairement $f(a) = f(b)$ ), il existe $c \in \, ]a,b[$ tel que :

f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a).

La démonstration consiste à appliquer le théorème de Rolle à la fonction auxiliaire $\varphi(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ , qui vérifie $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$ .

Application itérée : annulation de la dérivée n-ième

Propriété. Si $f$ est $n$ fois dérivable sur $]a,b[$ et s'annule en $n+1$ points distincts de $[a, b]$ , alors $f^{(n)}$ s'annule au moins une fois sur $]a,b[$ .

On applique le théorème de Rolle successivement : d'abord à $f$ (pour obtenir $n$ zéros de $f'$ ), puis à $f'$ (pour obtenir $n-1$ zéros de $f^{\prime\prime}$ ), et ainsi de suite jusqu'à $f^{(n)}$ .

Questions fréquentes sur le théorème de Rolle

Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ?

Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème des accroissements finis (TAF). Le TAF s'applique à toute fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ , sans exiger que $f(a) = f(b)$ . Il conclut à l'existence d'un $c$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$ . Lorsque $f(a) = f(b)$ ، cette formule donne bien $f'(c) = 0$ , ce qui correspond exactement au théorème de Rolle.

Le point c du théorème de Rolle est-il unique ?

Non. Le théorème affirme l'existence d'au moins un point $c \in \, ]a,b[$ où $f'(c) = 0$ , mais ce point n'est pas nécessairement unique. Par exemple, la fonction $f(x) = \sin x$ sur $[0, 2\pi]$ vérifie $f(0) = f(2\pi) = 0$ et admet deux points à dérivée nulle : $c = \pi/2$ et $c = 3\pi/2$ .

Conclusion

Le théorème de Rolle est bien plus qu'un résultat isolé : il constitue la clé de voûte de tout un édifice théorique. À partir de ce lemme apparemment simple (entre deux points de même ordonnée, la tangente est horizontale quelque part) on démontre le théorème des accroissements finis, puis les règles de croissance des fonctions, puis les développements limités et la formule de Taylor. Maîtriser le théorème de Rolle, c'est donc comprendre le fondement géométrique de tout le calcul différentiel.

Retenez les trois hypothèses ( $f$ continue sur $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b[$ , $f(a) = f(b)$ ), la conclusion ( $\exists c \in \, ]a,b[,\; f'(c) = 0$ ) et entraînez-vous à l'appliquer pour démontrer l'unicité ou borner le nombre de racines ; c'est l'usage le plus courant en concours et en examens.