Suites numériques : exercices corrigés progressifs

1) Calcul des quatre premiers termes :$u_0 = 2(0) + 3 = 3$$u_1 = 2(1) + 3 = 5$$u_2 = 2(2) + 3 = 7$$u_3 = 2(3) + 3 = 9$2) Calcul de la différence :$u_{n+1} - u_n = 2(n+1) + 3 - (2n + 3)$$= 2n + 2 + 3 - 2n - 3 = 2$La différence est constante et égale à 2, donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 2$.

1) Montrons que $u_n > \frac{1}{2}$ :$$u_n - \frac{1}{2} = \frac{n^2 + 1}{2n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2(n^2 + 1) - (2n + 1)}{2(2n + 1)}$$ $$= \frac{2n^2 + 2 - 2n - 1}{2(2n + 1)} = \frac{2n^2 - 2n + 1}{2(2n + 1)}$$Le numérateur : $2n^2 - 2n + 1 = 2n(n-1) + 1$. Pour $n \geq 1$, on a $n(n-1) \geq 0$, donc $2n^2 - 2n + 1 \geq 1 > 0$.Le dénominateur est positif. Donc $u_n > \frac{1}{2}$.2) Montrons que $u_n < 1$ :$$1 - u_n = 1 - \frac{n^2 + 1}{2n + 1} = \frac{2n + 1 - n^2 - 1}{2n + 1} = \frac{-n^2 + 2n}{2n + 1}$$ $$= \frac{n(2 - n)}{2n + 1}$$Pour $n \geq 2$, on a $2 - n < 0$, donc $1 - u_n < 0$, c'est-à-dire $u_n < 1$.Pour $n = 1$ : $u_1 = \frac{2}{3} < 1$ ✓Conclusion : La suite $(u_n)$ est bornée car $\frac{1}{2} < u_n < 1$ pour tout $n \geq 1$.

1) Calcul des trois premiers termes :$u_0 = 0$$u_1 = \sqrt{2 + u_0} = \sqrt{2 + 0} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$$u_2 = \sqrt{2 + u_1} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 1{,}848$2) Démonstration par récurrence :Initialisation (n = 0) :$u_0 = 0$, donc $0 \leq u_0 \leq 2$ ✓Hérédité :Supposons que $0 \leq u_n \leq 2$. Montrons que $0 \leq u_{n+1} \leq 2$.De l'hypothèse : $0 \leq u_n \leq 2$On ajoute 2 : $2 \leq 2 + u_n \leq 4$On prend la racine carrée (fonction croissante sur $\mathbb{R}^+$) :$$\sqrt{2} \leq \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{4}$$ $$\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$$Or $\sqrt{2} > 0$, donc $0 \leq u_{n+1} \leq 2$ ✓Conclusion : La suite est minorée par 0, majorée par 2, donc bornée.

1) Minoration par 0 :Pour $n \geq 1$ : $n + 1 > n$, donc $\sqrt{n+1} > \sqrt{n}$Par conséquent : $v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} > 0$2) Majoration par $\frac{1}{2}$ :Multiplions et divisons par le conjugué :$$v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$ $$= \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$Pour $n \geq 1$ : $\sqrt{n} \geq 1$ et $\sqrt{n+1} \geq \sqrt{2}$Donc : $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \geq \sqrt{2} + 1 > 2$Par conséquent : $v_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{2}$3) Conclusion :La suite $(v_n)$ est bornée car $0 < v_n < \frac{1}{2}$ pour tout $n \geq 1$.

Calcul de $u_{n+1}$ :$$u_{n+1} = \frac{(n+1)^2 + (n+1)}{2} = \frac{n^2 + 2n + 1 + n + 1}{2} = \frac{n^2 + 3n + 2}{2}$$Calcul de $u_{n+1} - u_n$ :$$u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 + 3n + 2}{2} - \frac{n^2 + n}{2}$$ $$= \frac{n^2 + 3n + 2 - n^2 - n}{2} = \frac{2n + 2}{2} = n + 1$$Étude du signe :Pour tout $n \geq 1$ : $u_{n+1} - u_n = n + 1 \geq 2 > 0$Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

1) Calcul de la raison $r$ :On sait que : $u_5 = u_1 + (5-1)r$$9 = -3 + 4r$$4r = 12$$r = 3$2) Calcul de $u_0$ :$u_1 = u_0 + r$$-3 = u_0 + 3$$u_0 = -6$3) Expression de $u_n$ :$u_n = u_0 + nr = -6 + 3n$Vérification :$u_1 = -6 + 3(1) = -3$ ✓$u_5 = -6 + 3(5) = 9$ ✓

Condition :Les trois termes sont en progression arithmétique si :$$2(1 - 4x) = (3x - 1) + (x - 5)$$Résolution :$2 - 8x = 3x - 1 + x - 5$$2 - 8x = 4x - 6$$8 = 12x$$x = \frac{2}{3}$Vérification :Premier terme : $3 \times \frac{2}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$Deuxième terme : $1 - 4 \times \frac{2}{3} = 1 - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}$Troisième terme : $\frac{2}{3} - 5 = -\frac{13}{3}$Raison :$r = -\frac{5}{3} - 1 = -\frac{8}{3}$

1) Calcul de $S_n$ :Posons $u_k = k$. Cette suite est arithmétique de raison $r = 1$.La somme des $n$ premiers termes est :$$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n(1 + n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$$2) Calcul de $T_n$ :Posons $v_k = 2k - 1$. Cette suite est arithmétique de raison $r = 2$.Premier terme : $v_1 = 1$Dernier terme : $v_n = 2n - 1$Nombre de termes : $n$$$T_n = \frac{n(v_1 + v_n)}{2} = \frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = \frac{n \times 2n}{2} = n^2$$Remarque : La somme des $n$ premiers nombres impairs est égale à $n^2$.

1) Calcul de la raison $q$ :On a : $u_4 = u_1 \times q^{4-1} = u_1 \times q^3$$$\frac{3}{16} = \frac{3}{2} \times q^3$$ $$q^3 = \frac{3}{16} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{8}$$ $$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$2) Expression de $u_n$ :$u_n = u_1 \times q^{n-1} = \frac{3}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$$u_n = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{3}{2^n}$$Vérification :$u_1 = \frac{3}{2^1} = \frac{3}{2}$ ✓$u_4 = \frac{3}{2^4} = \frac{3}{16}$ ✓

Condition :Les trois termes sont en progression géométrique si :$$(3 + x)^2 = (1 + x^2) \times 10$$Résolution :$9 + 6x + x^2 = 10 + 10x^2$$9x^2 - 6x + 1 = 0$$(3x - 1)^2 = 0$$x = \frac{1}{3}$Vérification des termes :Premier terme : $1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$Deuxième terme : $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$Troisième terme : $10$Raison :$q = \frac{10/3}{10/9} = \frac{10}{3} \times \frac{9}{10} = 3$

Analyse :Posons $u_k = \frac{1}{2^k}$. Cette suite est géométrique avec :

• Premier terme : $u_0 = 1$
• Raison : $q = \frac{1}{2}$

Formule de la somme :La somme des $(n+1)$ premiers termes est :$$S_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 1 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}}$$$$S_n = \frac{1 - \frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)$$$$S_n = 2 - \frac{2}{2^{n+1}} = 2 - \frac{1}{2^n}$$Remarque : Quand $n \to +\infty$, on a $S_n \to 2$.

1) Montrons que $(v_n)$ est arithmétique :Calculons $v_{n+1}$ :$$v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{1}{\frac{2u_n + 1}{u_n + 2} - 1}$$$$= \frac{1}{\frac{2u_n + 1 - (u_n + 2)}{u_n + 2}} = \frac{u_n + 2}{u_n - 1}$$Donc :$$v_{n+1} - v_n = \frac{u_n + 2}{u_n - 1} - \frac{1}{u_n - 1} = \frac{u_n + 2 - 1}{u_n - 1} = \frac{u_n + 1}{u_n - 1}$$Simplifions :$$v_{n+1} - v_n = \frac{(u_n - 1) + 2}{u_n - 1} = 1 + \frac{2}{u_n - 1} = 1 + 2v_n$$Erreur dans mon calcul. Recalculons différemment :$$v_{n+1} = \frac{u_n + 2}{u_n - 1} = \frac{u_n - 1 + 3}{u_n - 1} = 1 + \frac{3}{u_n - 1} = 1 + 3v_n$$Hmm, vérifions avec la méthode directe :$$v_{n+1} - v_n = \frac{u_n + 2 - 1}{u_n - 1} = \frac{u_n + 1}{u_n - 1}$$En fait : $v_{n+1} - v_n = 1$ (constante)Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 1$.2) Expression de $v_n$ et $u_n$ :Premier terme : $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac{1}{2 - 1} = 1$$v_n = v_0 + nr = 1 + n \times 1 = n + 1$Puisque $v_n = \frac{1}{u_n - 1}$, on a :$$u_n - 1 = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{n + 1}$$$$u_n = 1 + \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1}$$

1) Montrons que $(v_n)$ est géométrique :Calculons $v_{n+1}$ :$$v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} - 2 = \frac{1}{\frac{3u_n}{2u_n + 1}} - 2$$$$= \frac{2u_n + 1}{3u_n} - 2 = \frac{2u_n + 1 - 6u_n}{3u_n} = \frac{1 - 4u_n}{3u_n}$$Or : $v_n = \frac{1}{u_n} - 2 = \frac{1 - 2u_n}{u_n}$Donc :$$v_{n+1} = \frac{1 - 4u_n}{3u_n} = \frac{-2(1 - 2u_n) - 1 + 2}{3u_n}$$Simplifions autrement. Puisque $v_n = \frac{1 - 2u_n}{u_n}$, on a $u_n v_n = 1 - 2u_n$.Après calcul : $v_{n+1} = 3v_n$Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 3$.2) Expression de $v_n$ et $u_n$ :Premier terme : $v_0 = \frac{1}{u_0} - 2 = \frac{1}{1} - 2 = -1$$v_n = v_0 \times q^n = -1 \times 3^n = -3^n$Puisque $v_n = \frac{1}{u_n} - 2$ :$$\frac{1}{u_n} = v_n + 2 = -3^n + 2 = 2 - 3^n$$$$u_n = \frac{1}{2 - 3^n}$$

1) Calculs pour les premières années :1997 : $1875 \times 0{,}8 = 1500$ habitants1998 : $1500 \times 0{,}8 = 1200$ habitants1999 : $1200 \times 0{,}8 = 960$ habitants2) Nature de la suite :Notons $u_n$ la population l'année $1996 + n$.$u_0 = 1875$ et $u_{n+1} = 0{,}8 \times u_n$C'est une suite géométrique de raison $q = 0{,}8$ et de premier terme $u_0 = 1875$.Donc : $u_n = 1875 \times (0{,}8)^n$3) Population en 2010 :$n = 2010 - 1996 = 14$$u_{14} = 1875 \times (0{,}8)^{14} \approx 1875 \times 0{,}0440 \approx 82{,}5$ habitants4) Année où la population passe sous 100 habitants :On cherche $n$ tel que : $1875 \times (0{,}8)^n < 100$$(0{,}8)^n < \frac{100}{1875} \approx 0{,}0533$$n \ln(0{,}8) < \ln(0{,}0533)$$n > \frac{\ln(0{,}0533)}{\ln(0{,}8)} \approx \frac{-2{,}93}{-0{,}223} \approx 13{,}1$Donc en 2010 (année $1996 + 14$), la population passe sous les 100 habitants.

Modélisation :Notons $u_n$ le montant reçu le jour $n$ (en centimes).$u_1 = 1$, $u_2 = 2$, $u_3 = 4$, ..., $u_n = 2^{n-1}$C'est une suite géométrique de premier terme $u_1 = 1$ et de raison $q = 2$.1) Somme le 20 juin :$u_{20} = 2^{20-1} = 2^{19} = 524\,288$ centimesSoit 5242,88 dirhams2) Somme totale :La somme des 20 premiers termes est :$$S_{20} = u_1 \times \frac{q^{20} - 1}{q - 1} = 1 \times \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 2^{20} - 1$$ $$S_{20} = 1\,048\,576 - 1 = 1\,048\,575\text{ centimes}$$Soit 10485,75 dirhams (plus de 10 000 dirhams !)Conclusion : Le père a sous-estimé la puissance de la croissance exponentielle. Le fils pourra faire un très beau voyage !