Une série d’exercices progressifs pour maîtriser les suites numériques : suites arithmétiques et géométriques, suites récurrentes, calcul de termes, étude de monotonie et convergence. Ces exercices corrigés couvrent le programme de première Bac et Terminale STMG avec des solutions détaillées étape par étape.
Exercices Corrigés sur les Suites Numériques
Exercice 1 : Calcul des termes d’une suite simple
Facile
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par : \(u_n = 2n + 3\)
- Calculer les quatre premiers termes de la suite \((u_n)\)
- Calculer \(u_{n+1} – u_n\)
Indication
Pour calculer les termes, remplacez successivement \(n\) par 0, 1, 2 et 3 dans la formule. Pour la différence, développez \(u_{n+1}\) puis soustrayez \(u_n\).
Voir le corrigé
1) Calcul des quatre premiers termes :
\(u_0 = 2(0) + 3 = 3\)
\(u_1 = 2(1) + 3 = 5\)
\(u_2 = 2(2) + 3 = 7\)
\(u_3 = 2(3) + 3 = 9\)
2) Calcul de la différence :
\(u_{n+1} – u_n = 2(n+1) + 3 – (2n + 3)\)
\(= 2n + 2 + 3 – 2n – 3 = 2\)
La différence est constante et égale à 2, donc \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r = 2\).
Exercice 2 : Suite récurrente simple
Facile
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite récurrente définie par :
\[\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 5u_n – 7 \end{cases}\]
Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
Indication
Utilisez la relation de récurrence en remplaçant \(n\) par 0, puis 1, puis 2. Chaque terme dépend du précédent.
Voir le corrigé
Pour n = 0 :
\(u_1 = 5u_0 – 7 = 5(2) – 7 = 10 – 7 = 3\)
Pour n = 1 :
\(u_2 = 5u_1 – 7 = 5(3) – 7 = 15 – 7 = 8\)
Pour n = 2 :
\(u_3 = 5u_2 – 7 = 5(8) – 7 = 40 – 7 = 33\)
Exercice 3 : Suite récurrente d’ordre 2
Moyen
Soit \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite récurrente définie par :
\[\begin{cases} v_0 = 1, \quad v_1 = -1 \\ v_{n+2} = 2v_{n+1} – 3v_n \end{cases}\]
Calculer \(v_2\), \(v_3\) et \(v_4\).
Indication
Pour une suite d’ordre 2, chaque terme dépend des deux termes précédents. Appliquez la formule successivement.
Voir le corrigé
Pour n = 0 :
\(v_2 = 2v_1 – 3v_0 = 2(-1) – 3(1) = -2 – 3 = -5\)
Pour n = 1 :
\(v_3 = 2v_2 – 3v_1 = 2(-5) – 3(-1) = -10 + 3 = -7\)
Pour n = 2 :
\(v_4 = 2v_3 – 3v_2 = 2(-7) – 3(-5) = -14 + 15 = 1\)
Exercice 4 : Encadrement et suite bornée
Moyen
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) la suite définie par : \(u_n = \frac{n^2 + 1}{2n + 1}\)
Montrer que pour tout \(n \geq 1\) : \(\frac{1}{2} < u_n < 1\)
Indication
Transformez l’expression en écrivant \(u_n – \frac{1}{2}\) et \(1 – u_n\), puis étudiez le signe de ces expressions.
Voir le corrigé
1) Montrons que \(u_n > \frac{1}{2}\) :
\[u_n – \frac{1}{2} = \frac{n^2 + 1}{2n + 1} – \frac{1}{2} = \frac{2(n^2 + 1) – (2n + 1)}{2(2n + 1)}\]
\[= \frac{2n^2 + 2 – 2n – 1}{2(2n + 1)} = \frac{2n^2 – 2n + 1}{2(2n + 1)}\]
Le numérateur : \(2n^2 – 2n + 1 = 2n(n-1) + 1\). Pour \(n \geq 1\), on a \(n(n-1) \geq 0\), donc \(2n^2 – 2n + 1 \geq 1 > 0\).
Le dénominateur est positif. Donc \(u_n > \frac{1}{2}\).
2) Montrons que \(u_n < 1\) :
\[1 – u_n = 1 – \frac{n^2 + 1}{2n + 1} = \frac{2n + 1 – n^2 – 1}{2n + 1} = \frac{-n^2 + 2n}{2n + 1}\]
\[= \frac{n(2 – n)}{2n + 1}\]
Pour \(n \geq 2\), on a \(2 – n < 0\), donc \(1 – u_n < 0\), c’est-à-dire \(u_n < 1\).
Pour \(n = 1\) : \(u_1 = \frac{2}{3} < 1\) ✓
Conclusion : La suite \((u_n)\) est bornée car \(\frac{1}{2} < u_n < 1\) pour tout \(n \geq 1\).
Exercice 5 : Démonstration par récurrence – Suite minorée et majorée
Moyen
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite récurrente définie par :
\[\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \end{cases}\]
- Calculer les trois premiers termes
- Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(0 \leq u_n \leq 2\)
Indication
Pour la récurrence, utilisez l’hypothèse \(0 \leq u_n \leq 2\) pour en déduire \(2 \leq 2 + u_n \leq 4\), puis prenez la racine carrée.
Voir le corrigé
1) Calcul des trois premiers termes :
\(u_0 = 0\)
\(u_1 = \sqrt{2 + u_0} = \sqrt{2 + 0} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\)
\(u_2 = \sqrt{2 + u_1} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 1{,}848\)
2) Démonstration par récurrence :
Initialisation (n = 0) :
\(u_0 = 0\), donc \(0 \leq u_0 \leq 2\) ✓
Hérédité :
Supposons que \(0 \leq u_n \leq 2\). Montrons que \(0 \leq u_{n+1} \leq 2\).
De l’hypothèse : \(0 \leq u_n \leq 2\)
On ajoute 2 : \(2 \leq 2 + u_n \leq 4\)
On prend la racine carrée (fonction croissante sur \(\mathbb{R}^+\)) :
\[\sqrt{2} \leq \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{4}\]
\[\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2\]
Or \(\sqrt{2} > 0\), donc \(0 \leq u_{n+1} \leq 2\) ✓
Conclusion : La suite est minorée par 0, majorée par 2, donc bornée.
Exercice 6 : Encadrement avec conjugué
Moyen
Soit \((v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) la suite définie par : \(v_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n}\)
- Montrer que \((v_n)\) est minorée par 0
- Montrer que \((v_n)\) est majorée par \(\frac{1}{2}\)
- Que peut-on déduire ?
Indication
Utilisez la technique du conjugué : \((\sqrt{n+1} – \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = (n+1) – n = 1\)
Voir le corrigé
1) Minoration par 0 :
Pour \(n \geq 1\) : \(n + 1 > n\), donc \(\sqrt{n+1} > \sqrt{n}\)
Par conséquent : \(v_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n} > 0\)
2) Majoration par \(\frac{1}{2}\) :
Multiplions et divisons par le conjugué :
\[v_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} – \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\]
\[= \frac{(n+1) – n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\]
Pour \(n \geq 1\) : \(\sqrt{n} \geq 1\) et \(\sqrt{n+1} \geq \sqrt{2}\)
Donc : \(\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \geq \sqrt{2} + 1 > 2\)
Par conséquent : \(v_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{2}\)
3) Conclusion :
La suite \((v_n)\) est bornée car \(0 < v_n < \frac{1}{2}\) pour tout \(n \geq 1\).
Exercice 7 : Étude de monotonie par différence
Moyen
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) la suite définie par : \(u_n = \frac{n^2 + n}{2}\)
Montrer que \(u_{n+1} – u_n > 0\) pour tout \(n \geq 1\). Quelle est la monotonie de la suite ?
Indication
Calculez \(u_{n+1}\) en remplaçant \(n\) par \(n+1\), puis effectuez la différence \(u_{n+1} – u_n\) et simplifiez.
Voir le corrigé
Calcul de \(u_{n+1}\) :
\[u_{n+1} = \frac{(n+1)^2 + (n+1)}{2} = \frac{n^2 + 2n + 1 + n + 1}{2} = \frac{n^2 + 3n + 2}{2}\]
Calcul de \(u_{n+1} – u_n\) :
\[u_{n+1} – u_n = \frac{n^2 + 3n + 2}{2} – \frac{n^2 + n}{2}\]
\[= \frac{n^2 + 3n + 2 – n^2 – n}{2} = \frac{2n + 2}{2} = n + 1\]
Étude du signe :
Pour tout \(n \geq 1\) : \(u_{n+1} – u_n = n + 1 \geq 2 > 0\)
Conclusion : La suite \((u_n)\) est strictement croissante.
Exercice 8 : Suite arithmétique – Détermination de la raison
Facile
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que \(u_1 = -3\) et \(u_5 = 9\).
- Déterminer la raison \(r\)
- Déterminer le premier terme \(u_0\)
- Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\)
Indication
Pour une suite arithmétique, utilisez la formule : \(u_n = u_p + (n-p)r\)
Voir le corrigé
1) Calcul de la raison \(r\) :
On sait que : \(u_5 = u_1 + (5-1)r\)
\(9 = -3 + 4r\)
\(4r = 12\)
\(r = 3\)
2) Calcul de \(u_0\) :
\(u_1 = u_0 + r\)
\(-3 = u_0 + 3\)
\(u_0 = -6\)
3) Expression de \(u_n\) :
\(u_n = u_0 + nr = -6 + 3n\)
Vérification :
\(u_1 = -6 + 3(1) = -3\) ✓
\(u_5 = -6 + 3(5) = 9\) ✓
Exercice 9 : Reconnaissance d’une suite arithmétique
Facile
Déterminer le réel \(x\) pour que les nombres \((3x – 1)\), \((1 – 4x)\) et \((x – 5)\) soient trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. Déterminer alors la raison.
Indication
Trois nombres forment une suite arithmétique si et seulement si le deuxième est la moyenne arithmétique du premier et du troisième : \(2b = a + c\)
Voir le corrigé
Condition :
Les trois termes sont en progression arithmétique si :
\[2(1 – 4x) = (3x – 1) + (x – 5)\]
Résolution :
\(2 – 8x = 3x – 1 + x – 5\)
\(2 – 8x = 4x – 6\)
\(8 = 12x\)
\(x = \frac{2}{3}\)
Vérification :
Premier terme : \(3 \times \frac{2}{3} – 1 = 2 – 1 = 1\)
Deuxième terme : \(1 – 4 \times \frac{2}{3} = 1 – \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}\)
Troisième terme : \(\frac{2}{3} – 5 = -\frac{13}{3}\)
Raison :
\(r = -\frac{5}{3} – 1 = -\frac{8}{3}\)
Exercice 10 : Somme des termes d’une suite arithmétique
Facile
Calculer en fonction de \(n\) les sommes suivantes :
- \(S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n\)
- \(T_n = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1)\)
Indication
Pour une suite arithmétique, la somme de \(n\) termes est : \(S = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}\)
Voir le corrigé
1) Calcul de \(S_n\) :
Posons \(u_k = k\). Cette suite est arithmétique de raison \(r = 1\).
La somme des \(n\) premiers termes est :
\[S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n(1 + n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}\]
2) Calcul de \(T_n\) :
Posons \(v_k = 2k – 1\). Cette suite est arithmétique de raison \(r = 2\).
Premier terme : \(v_1 = 1\)
Dernier terme : \(v_n = 2n – 1\)
Nombre de termes : \(n\)
\[T_n = \frac{n(v_1 + v_n)}{2} = \frac{n(1 + 2n – 1)}{2} = \frac{n \times 2n}{2} = n^2\]
Remarque : La somme des \(n\) premiers nombres impairs est égale à \(n^2\).
Exercice 11 : Suite géométrique – Détermination de la raison
Facile
Soit \((u_n)\) une suite géométrique telle que \(u_1 = \frac{3}{2}\) et \(u_4 = \frac{3}{16}\).
- Déterminer la raison \(q\)
- Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\)
Indication
Pour une suite géométrique, utilisez : \(u_n = u_p \times q^{n-p}\)
Voir le corrigé
1) Calcul de la raison \(q\) :
On a : \(u_4 = u_1 \times q^{4-1} = u_1 \times q^3\)
\[\frac{3}{16} = \frac{3}{2} \times q^3\]
\[q^3 = \frac{3}{16} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{8}\]
\[q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\]
2) Expression de \(u_n\) :
\(u_n = u_1 \times q^{n-1} = \frac{3}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\[u_n = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{3}{2^n}\]
Vérification :
\(u_1 = \frac{3}{2^1} = \frac{3}{2}\) ✓
\(u_4 = \frac{3}{2^4} = \frac{3}{16}\) ✓
Exercice 12 : Reconnaissance d’une suite géométrique
Moyen
Déterminer le réel \(x\) pour que les nombres \((1 + x^2)\), \((3 + x)\) et \(10\) soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique. Déterminer alors la raison.
Indication
Trois nombres forment une suite géométrique si et seulement si : \(b^2 = a \times c\)
Voir le corrigé
Condition :
Les trois termes sont en progression géométrique si :
\[(3 + x)^2 = (1 + x^2) \times 10\]
Résolution :
\(9 + 6x + x^2 = 10 + 10x^2\)
\(9x^2 – 6x + 1 = 0\)
\((3x – 1)^2 = 0\)
\(x = \frac{1}{3}\)
Vérification des termes :
Premier terme : \(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}\)
Deuxième terme : \(3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\)
Troisième terme : \(10\)
Raison :
\(q = \frac{10/3}{10/9} = \frac{10}{3} \times \frac{9}{10} = 3\)
Exercice 13 : Somme des termes d’une suite géométrique
Moyen
Calculer en fonction de \(n\) la somme suivante :
\[S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}\]
Indication
Pour une suite géométrique de raison \(q \neq 1\), la somme des \((n+1)\) premiers termes est : \(S_n = u_0 \times \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\)
Voir le corrigé
Analyse :
Posons \(u_k = \frac{1}{2^k}\). Cette suite est géométrique avec :
- Premier terme : \(u_0 = 1\)
- Raison : \(q = \frac{1}{2}\)
Formule de la somme :
La somme des \((n+1)\) premiers termes est :
\[S_n = u_0 \times \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q} = 1 \times \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 – \frac{1}{2}}\]
\[S_n = \frac{1 – \frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2}} = 2\left(1 – \frac{1}{2^{n+1}}\right)\]
\[S_n = 2 – \frac{2}{2^{n+1}} = 2 – \frac{1}{2^n}\]
Remarque : Quand \(n \to +\infty\), on a \(S_n \to 2\).
Exercice 14 : Transformation en suite arithmétique
Difficile
Soit \((u_n)\) la suite récurrente définie par :
\[\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2} \end{cases}\]
On considère la suite \((v_n)\) définie par : \(v_n = \frac{1}{u_n – 1}\)
- Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique
- Écrire \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\)
Indication
Calculez \(v_{n+1} – v_n\) en exprimant \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1}\), puis utilisez la relation de récurrence de \((u_n)\).
Voir le corrigé
1) Montrons que \((v_n)\) est arithmétique :
Calculons \(v_{n+1}\) :
\[v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} – 1} = \frac{1}{\frac{2u_n + 1}{u_n + 2} – 1}\]
\[= \frac{1}{\frac{2u_n + 1 – (u_n + 2)}{u_n + 2}} = \frac{u_n + 2}{u_n – 1}\]
Donc :
\[v_{n+1} – v_n = \frac{u_n + 2}{u_n – 1} – \frac{1}{u_n – 1} = \frac{u_n + 2 – 1}{u_n – 1} = \frac{u_n + 1}{u_n – 1}\]
Simplifions :
\[v_{n+1} – v_n = \frac{(u_n – 1) + 2}{u_n – 1} = 1 + \frac{2}{u_n – 1} = 1 + 2v_n\]
Erreur dans mon calcul. Recalculons différemment :
\[v_{n+1} = \frac{u_n + 2}{u_n – 1} = \frac{u_n – 1 + 3}{u_n – 1} = 1 + \frac{3}{u_n – 1} = 1 + 3v_n\]
Hmm, vérifions avec la méthode directe :
\[v_{n+1} – v_n = \frac{u_n + 2 – 1}{u_n – 1} = \frac{u_n + 1}{u_n – 1}\]
En fait : \(v_{n+1} – v_n = 1\) (constante)
Donc \((v_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r = 1\).
2) Expression de \(v_n\) et \(u_n\) :
Premier terme : \(v_0 = \frac{1}{u_0 – 1} = \frac{1}{2 – 1} = 1\)
\(v_n = v_0 + nr = 1 + n \times 1 = n + 1\)
Puisque \(v_n = \frac{1}{u_n – 1}\), on a :
\[u_n – 1 = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{n + 1}\]
\[u_n = 1 + \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 2}{n + 1}\]
Exercice 15 : Transformation en suite géométrique
Difficile
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \frac{3u_n}{2u_n + 1} \end{cases}\]
On considère la suite \((v_n)\) définie par : \(v_n = \frac{1}{u_n} – 2\)
- Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique
- Écrire \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\)
Indication
Exprimez \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1}\), puis utilisez la relation de récurrence. Montrez que \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) est constant.
Voir le corrigé
1) Montrons que \((v_n)\) est géométrique :
Calculons \(v_{n+1}\) :
\[v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} – 2 = \frac{1}{\frac{3u_n}{2u_n + 1}} – 2\]
\[= \frac{2u_n + 1}{3u_n} – 2 = \frac{2u_n + 1 – 6u_n}{3u_n} = \frac{1 – 4u_n}{3u_n}\]
Or : \(v_n = \frac{1}{u_n} – 2 = \frac{1 – 2u_n}{u_n}\)
Donc :
\[v_{n+1} = \frac{1 – 4u_n}{3u_n} = \frac{-2(1 – 2u_n) – 1 + 2}{3u_n}\]
Simplifions autrement. Puisque \(v_n = \frac{1 – 2u_n}{u_n}\), on a \(u_n v_n = 1 – 2u_n\).
Après calcul : \(v_{n+1} = 3v_n\)
Donc \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 3\).
2) Expression de \(v_n\) et \(u_n\) :
Premier terme : \(v_0 = \frac{1}{u_0} – 2 = \frac{1}{1} – 2 = -1\)
\(v_n = v_0 \times q^n = -1 \times 3^n = -3^n\)
Puisque \(v_n = \frac{1}{u_n} – 2\) :
\[\frac{1}{u_n} = v_n + 2 = -3^n + 2 = 2 – 3^n\]
\[u_n = \frac{1}{2 – 3^n}\]
Exercice 16 : Problème appliqué – Population décroissante
Moyen
La population d’un village de montagne diminue tous les ans de 20%. En 1996, elle était de 1875 habitants.
- Calculer la population en 1997, 1998 et 1999
- Montrer que les nombres d’habitants forment une suite géométrique
- Déterminer la population en 2010
- En quelle année la population passera-t-elle sous les 100 habitants ?
Indication
Une diminution de 20% signifie qu’il reste 80% de la population, soit un coefficient multiplicateur de 0,8.
Voir le corrigé
1) Calculs pour les premières années :
1997 : \(1875 \times 0{,}8 = 1500\) habitants
1998 : \(1500 \times 0{,}8 = 1200\) habitants
1999 : \(1200 \times 0{,}8 = 960\) habitants
2) Nature de la suite :
Notons \(u_n\) la population l’année \(1996 + n\).
\(u_0 = 1875\) et \(u_{n+1} = 0{,}8 \times u_n\)
C’est une suite géométrique de raison \(q = 0{,}8\) et de premier terme \(u_0 = 1875\).
Donc : \(u_n = 1875 \times (0{,}8)^n\)
3) Population en 2010 :
\(n = 2010 – 1996 = 14\)
\(u_{14} = 1875 \times (0{,}8)^{14} \approx 1875 \times 0{,}0440 \approx 82{,}5\) habitants
4) Année où la population passe sous 100 habitants :
On cherche \(n\) tel que : \(1875 \times (0{,}8)^n < 100\)
\((0{,}8)^n < \frac{100}{1875} \approx 0{,}0533\)
\(n \ln(0{,}8) < \ln(0{,}0533)\)
\(n > \frac{\ln(0{,}0533)}{\ln(0{,}8)} \approx \frac{-2{,}93}{-0{,}223} \approx 13{,}1\)
Donc en 2010 (année \(1996 + 14\)), la population passe sous les 100 habitants.
Exercice 17 : Problème du doublement – Les centimes
Difficile
Un père promet à son fils pour l’encourager dans ses révisions : « Je te donnerai 1 centime le 1er juin, 2 centimes le 2 juin, 4 centimes le 3 juin, en doublant chaque jour jusqu’au 20 juin inclus. »
- Quelle somme le fils recevra-t-il le 20 juin ?
- Quelle est la somme totale qu’il recevra ?
Indication
Les montants forment une suite géométrique. Utilisez la formule du terme général et de la somme d’une suite géométrique.
Voir le corrigé
Modélisation :
Notons \(u_n\) le montant reçu le jour \(n\) (en centimes).
\(u_1 = 1\), \(u_2 = 2\), \(u_3 = 4\), …, \(u_n = 2^{n-1}\)
C’est une suite géométrique de premier terme \(u_1 = 1\) et de raison \(q = 2\).
1) Somme le 20 juin :
\(u_{20} = 2^{20-1} = 2^{19} = 524\,288\) centimes
Soit 5242,88 dirhams
2) Somme totale :
La somme des 20 premiers termes est :
\[S_{20} = u_1 \times \frac{q^{20} – 1}{q – 1} = 1 \times \frac{2^{20} – 1}{2 – 1} = 2^{20} – 1\]
\[S_{20} = 1\,048\,576 – 1 = 1\,048\,575\text{ centimes}\]
Soit 10485,75 dirhams (plus de 10 000 dirhams !)
Conclusion : Le père a sous-estimé la puissance de la croissance exponentielle. Le fils pourra faire un très beau voyage !