Ces exercices corrigés de statistiques en 5ème apprennent à organiser une liste de données, calculer des effectifs, des fréquences et une moyenne, puis choisir une représentation adaptée. Le cours de statistiques en 5ème rappelle le vocabulaire et les méthodes avant chaque mise en pratique.
Les corrections ne se limitent pas à un résultat : elles expliquent ce que le nombre obtenu signifie et signalent les graphiques trompeurs. La médiane et les quartiles ne sont volontairement pas introduits. Cette série s’inscrit dans le programme de mathématiques de 5ème.
Organiser des données et calculer des effectifs
Une série brute devient lisible lorsqu’on identifie ses valeurs, qu’on compte soigneusement chaque occurrence et qu’on vérifie l’effectif total.
Exercice 1 : Construire un tableau d’effectifs
Facile
Les nombres de livres lus par quinze élèves sont : \(2,1,3,2,4,0,2,3,1,2,5,3,2,4,1\).
- Donner les valeurs différentes observées.
- Construire le tableau des effectifs.
- Vérifier l’effectif total.
Indication
Rangez les valeurs dans l’ordre, puis barrez chaque donnée dès qu’elle est comptée.
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Les valeurs sont \(0,1,2,3,4,5\). Leurs effectifs sont respectivement \(1,3,5,3,2,1\). La somme \(1+3+5+3+2+1=15\) retrouve le nombre d’élèves. Cette vérification est indispensable : un total différent de quinze signalerait un oubli ou un double comptage. La valeur la plus fréquente est \(2\), observée cinq fois.
Exercice 2 : Compléter un effectif manquant
Facile
Dans une enquête auprès de \(80\) personnes, \(18\) préfèrent le cinéma, \(25\) la musique, \(12\) la lecture et les autres le sport.
- Calculer l’effectif associé au sport.
- Contrôler que les catégories forment bien l’ensemble interrogé.
Indication
Additionnez les effectifs connus, puis retranchez cette somme à l’effectif total.
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Les catégories connues regroupent \(18+25+12=55\) personnes. L’effectif du sport vaut donc \(80-55=25\). Le contrôle donne \(18+25+12+25=80\). Comme chaque personne ne choisit qu’une seule activité et que la somme retrouve l’effectif total, les catégories couvrent bien toute la population étudiée.
Exercice 3 : Corriger un dépouillement
Moyen
Pour la série \(A,A,B,C,A,B,B,C,C,A\), un élève annonce les effectifs \(A:4\), \(B:2\), \(C:4\).
- Repérer l’erreur.
- Donner les effectifs corrects.
- Proposer une méthode de dépouillement qui limite ce risque.
Indication
Comptez chaque lettre et comparez la somme des effectifs au nombre total de données.
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La lettre \(A\) apparaît quatre fois, \(B\) trois fois et \(C\) trois fois. L’élève a transféré une occurrence de \(B\) vers \(C\). Sa somme vaut bien dix, donc le contrôle du total seul ne suffit pas toujours. Une méthode fiable consiste à tracer un bâton pour chaque occurrence en parcourant la liste une seule fois, puis à regrouper les bâtons par cinq. On peut aussi surligner chaque donnée déjà comptée.
Calculer et interpréter fréquences et moyenne
Une fréquence compare un effectif au total. Une moyenne répartit fictivement la somme des valeurs de manière égale entre tous les individus.
Exercice 4 : Exprimer des fréquences de trois façons
Facile
Dans une classe de \(25\) élèves, \(10\) viennent en bus, \(8\) à pied, \(5\) à vélo et \(2\) en voiture.
- Calculer chaque fréquence sous forme de fraction.
- Donner les écritures décimales et les pourcentages.
- Vérifier la somme des fréquences.
Indication
Divisez chaque effectif par \(25\). Pour obtenir un pourcentage, ramenez le dénominateur à \(100\).
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Bus : \(\frac{10}{25}=0{,}4=40\) %. À pied : \(\frac8{25}=0{,}32=32\) %. Vélo : \(\frac5{25}=0{,}2=20\) %. Voiture : \(\frac2{25}=0{,}08=8\) %. La somme vaut \(0{,}4+0{,}32+0{,}2+0{,}08=1\), soit \(100\) %. Ce contrôle confirme que tous les élèves ont été classés une seule fois.
Exercice 5 : Retrouver un effectif grâce à une fréquence
Moyen
Dans un club de \(120\) membres, la fréquence des moins de 18 ans est \(0{,}35\).
- Calculer leur effectif.
- Donner la fréquence et l’effectif des membres de 18 ans ou plus.
- Interpréter les deux résultats par une phrase.
Indication
Un effectif s’obtient en multipliant la fréquence par l’effectif total.
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L’effectif des moins de 18 ans est \(120\times0{,}35=42\). La fréquence complémentaire vaut \(1-0{,}35=0{,}65\), soit \(65\) %, et l’effectif correspondant est \(120-42=78\). Ainsi, 42 membres sur 120 ont moins de 18 ans, tandis que 78 membres, soit près des deux tiers du club, ont 18 ans ou plus.
Exercice 6 : Calculer une moyenne simple
Facile
Les durées, en minutes, de cinq trajets sont \(18,22,17,25,23\).
- Calculer la durée totale.
- Calculer la durée moyenne.
- Expliquer ce que représente cette moyenne.
Indication
Additionnez toutes les durées, puis divisez par le nombre de trajets.
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La durée totale vaut \(18+22+17+25+23=105\) minutes. La moyenne est \(105\div5=21\) minutes. Elle ne signifie pas qu’un trajet de 21 minutes a nécessairement été observé. Elle représente la durée que chaque trajet aurait si les 105 minutes étaient réparties également entre les cinq trajets.
Exercice 7 : Calculer une moyenne avec effectifs
Moyen
Une boutique vend des carnets à \(2\), \(3\), \(4\) ou \(5\) €. Les quantités vendues sont respectivement \(6\), \(10\), \(8\) et \(4\).
- Calculer le nombre total de carnets.
- Calculer la recette totale.
- Déterminer le prix moyen d’un carnet vendu.
- Expliquer pourquoi la moyenne simple de \(2,3,4,5\) ne convient pas.
Indication
Chaque prix doit être multiplié par son effectif avant d’additionner les recettes.
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L’effectif total est \(6+10+8+4=28\). La recette vaut \(2\times6+3\times10+4\times8+5\times4=12+30+32+20=94\) €. Le prix moyen est donc \(94\div28\approx3{,}36\) €. La moyenne simple des quatre prix vaudrait \(3{,}50\) €, mais elle supposerait que chaque prix apparaît aussi souvent. Ici, les carnets à \(3\) € sont plus nombreux : les effectifs doivent pondérer le calcul.
Exercice 8 : Retrouver une valeur manquante
Difficile
La moyenne de six scores est \(14\). Cinq scores sont \(11,13,15,16,18\).
- Calculer la somme que doivent avoir les six scores.
- Déterminer le score manquant.
- Vérifier la moyenne obtenue.
Indication
Remontez la formule de la moyenne : somme = moyenne multipliée par effectif.
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Une moyenne de \(14\) pour six scores correspond à une somme totale de \(14\times6=84\). Les cinq scores connus totalisent \(11+13+15+16+18=73\). Le score manquant vaut donc \(84-73=11\). La vérification donne \((73+11)\div6=84\div6=14\). Le calcul utilise la définition de la moyenne, sans essayer des valeurs au hasard.
Lire, construire et critiquer des graphiques
Une représentation doit correspondre à la nature des données. Son titre, ses axes, ses unités et son échelle sont nécessaires à une lecture honnête.
Exercice 9 : Lire un diagramme en bâtons
Facile
Un diagramme donne les visiteurs d’une exposition : lundi \(120\), mardi \(180\), mercredi \(260\), jeudi \(210\), vendredi \(330\).
- Quel jour a l’effectif maximal ?
- Calculer l’écart entre mercredi et lundi.
- Calculer le total de la semaine.
Indication
Lisez les hauteurs avec l’échelle annoncée, puis effectuez les calculs sur les valeurs.
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Le maximum est atteint vendredi avec \(330\) visiteurs. L’écart entre mercredi et lundi vaut \(260-120=140\). Le total est \(120+180+260+210+330=1\,100\) visiteurs. Le diagramme facilite la comparaison visuelle, mais la somme nécessite de revenir aux valeurs numériques exactes.
Exercice 10 : Construire un diagramme circulaire
Moyen
Dans une enquête de \(40\) réponses, \(20\) choisissent A, \(10\) choisissent B, \(6\) choisissent C et \(4\) choisissent D.
- Calculer les fréquences en pourcentage.
- Calculer les angles des quatre secteurs.
- Vérifier que les angles totalisent un tour.
- Décrire la construction du diagramme.
Indication
Un cercle complet représente \(100\) % et mesure \(360^\circ\). Multipliez chaque fréquence par \(360^\circ\).
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Les fréquences sont \(50\) %, \(25\) %, \(15\) % et \(10\) %. Les angles sont donc \(180^\circ\), \(90^\circ\), \(54^\circ\) et \(36^\circ\). Leur somme vaut \(360^\circ\). Pour construire le diagramme, on trace un cercle et un premier rayon, puis on reporte successivement les angles au rapporteur. Une légende associe chaque secteur à sa catégorie ; les pourcentages peuvent être inscrits pour éviter une lecture approximative.
Exercice 11 : Choisir une représentation pertinente
Moyen
On dispose de trois séries : les couleurs préférées de 30 élèves ; la température relevée chaque heure ; la répartition d’un budget annuel entre cinq postes.
- Choisir entre diagramme en bâtons, courbe et diagramme circulaire pour chaque série.
- Justifier chaque choix.
- Proposer une autre représentation acceptable pour l’une des séries.
Indication
Demandez-vous s’il faut comparer des catégories, suivre une évolution dans le temps ou montrer les parts d’un total.
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Les couleurs sont des catégories distinctes : un diagramme en bâtons compare clairement leurs effectifs. La température évolue dans le temps : une courbe met en évidence les hausses et les baisses entre deux heures. Le budget est partagé en parts d’un même total : un diagramme circulaire convient. Un diagramme en bâtons resterait acceptable pour le budget si l’objectif principal était de comparer précisément les montants plutôt que de visualiser leur part dans l’ensemble.
Exercice 12 : Repérer un graphique trompeur
Difficile
Deux magasins ont vendu \(98\) et \(102\) appareils. Un graphique commence l’axe vertical à \(95\) et fait paraître la seconde barre presque deux fois plus haute.
- Calculer l’écart absolu des ventes.
- Calculer l’écart relatif par rapport à \(98\).
- Expliquer l’effet de l’axe tronqué.
- Proposer une présentation plus honnête.
Indication
Comparez la différence réelle aux hauteurs visibles lorsque la base du graphique n’est pas zéro.
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L’écart absolu vaut \(102-98=4\) appareils. Rapporté à \(98\), il vaut \(\frac4{98}\approx0{,}0408\), soit environ \(4{,}1\) %. Comme l’axe commence à \(95\), les hauteurs visibles sont seulement \(3\) et \(7\) unités : la seconde paraît plus de deux fois plus grande, alors que les ventes réelles sont proches. Un graphique plus honnête ferait commencer l’axe à zéro ou signalerait très clairement la rupture d’échelle, tout en affichant les valeurs.
Exercice 13 : Préparer une feuille de calcul
Difficile
Dans un tableur, les valeurs \(8,12,12,15,18,18,18,20\) sont saisies de A2 à A9. On veut afficher l’effectif total, la somme et la moyenne, puis vérifier manuellement les résultats.
- Donner les formules de tableur adaptées.
- Calculer manuellement l’effectif et la somme.
- Calculer la moyenne.
- Expliquer l’intérêt du tableur si une nouvelle valeur est ajoutée.
- Indiquer une erreur possible lors de la sélection de la plage.
Indication
Les fonctions usuelles sont NB, SOMME et MOYENNE. Elles doivent viser exactement la même plage.
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On peut saisir =NB(A2:A9), =SOMME(A2:A9) et =MOYENNE(A2:A9). L’effectif vaut \(8\). La somme est \(8+12+12+15+18+18+18+20=121\), donc la moyenne vaut \(121\div8=15{,}125\). Si une valeur est ajoutée et que la plage est étendue, le tableur recalcule immédiatement les indicateurs. Une erreur classique consiste à oublier A9 ou à inclure la cellule du titre ; le contrôle manuel aide à la détecter.