Les statistiques en 5ème transforment une liste de données en information lisible. Relever les temps de trajet d’une classe ne suffit pas : il faut définir la population, compter les effectifs, calculer les fréquences et choisir un résumé ou un graphique adapté.
Cette leçon suit une enquête de bout en bout. La moyenne ne sera pas présentée comme une formule isolée, mais comme une valeur d’équilibre dont l’interprétation dépend de la série.
Avant les calculs : définir ce qui est observé
Population, caractère et valeur
La population est l’ensemble des individus étudiés. Le caractère est l’information observée sur chaque individu. Les résultats possibles sont les valeurs du caractère.
Dans une enquête sur le temps de trajet des \(28\) élèves d’une classe, la population est la classe, un individu est un élève et le caractère est le temps de trajet, mesuré en minutes. Les unités et les conditions de collecte doivent être identiques pour rendre les valeurs comparables.
Un caractère peut être numérique, comme une taille, ou non numérique, comme le mode de transport. Une moyenne n’a de sens que pour des valeurs numériques auxquelles l’addition et la division donnent une interprétation.
Passer d’une liste brute à un tableau d’effectifs
Effectif
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît. L’effectif total est la somme de tous les effectifs ; il doit être égal au nombre d’individus de la population.
| Temps en minutes | \(5\) | \(10\) | \(15\) | \(20\) | \(25\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(3\) | \(7\) | \(9\) | \(6\) | \(3\) |
Ce total est un contrôle indispensable. S’il ne vaut pas \(28\), une donnée a été oubliée ou comptée deux fois. Trier d’abord la liste puis utiliser des bâtons de comptage limite ces erreurs.
Calculer une fréquence et la lire
Fréquence
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total. Elle peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
On peut donc dire qu’environ \(32,1\,\%\) des élèves ont un trajet de \(15\) minutes. L’arrondi est annoncé car \(\frac{9}{28}\) n’a pas une écriture décimale finie.
Somme des fréquences
La somme des fréquences de toutes les valeurs vaut \(1\), ou \(100\,\%\). Un petit écart peut apparaître si chaque fréquence a été arrondie séparément.
Erreur fréquente : une fréquence n’est pas un effectif. Dire « fréquence 9 » n’a pas de sens ici ; \(9\) est l’effectif et \(\frac{9}{28}\) la fréquence.
Représenter les données sans déformer leur lecture
Un diagramme en bâtons convient à des valeurs distinctes : chaque barre a la même largeur et sa hauteur est proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence. Les axes doivent porter un titre, une unité et une graduation régulière.
Un diagramme circulaire montre des parts d’un tout. L’angle d’un secteur est proportionnel à la fréquence : \(25\,\%\) correspond à un quart de tour, soit \(90^\circ\). Pour comparer précisément des valeurs proches, le diagramme en bâtons est souvent plus lisible.
La lecture des tableaux et graphiques prolonge le cours d’organisation et gestion de données en 6ème.
La moyenne comme partage équitable
Moyenne d’une série
La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. On peut l’interpréter comme la valeur que chacun recevrait si le total était réparti équitablement.
Pour \(8,10,12,14\), le total vaut \(44\). Réparti entre quatre valeurs, il donne \(11\).
La moyenne n’est pas nécessairement une valeur observée. Aucun élève n’est obligé d’avoir exactement \(11\), mais \(11\) résume le niveau global de la série.
Calculer une moyenne avec des effectifs
Quand une valeur apparaît plusieurs fois, on la multiplie par son effectif au lieu de la recopier. Pour le tableau des temps de trajet :
Le dénominateur est l’effectif total \(28\), pas le nombre de valeurs distinctes \(5\). Chaque temps pèse selon le nombre d’élèves qui le possède.
Erreur fréquente : faire \((5+10+15+20+25)\div5\) calcule la moyenne des valeurs distinctes, pas celle des \(28\) élèves.
Interpréter plutôt que recopier un nombre
Dire « la moyenne vaut \(14,8\) minutes » doit être suivi d’une lecture : si le temps total de trajet était réparti également, chaque élève aurait environ \(14,8\) minutes. Cela ne signifie pas que la majorité met exactement ce temps.
Une valeur très élevée peut tirer la moyenne vers le haut. Dans \(10,11,12,13,54\), la moyenne vaut \(20\), bien que quatre valeurs soient inférieures ou égales à \(13\). Il faut donc observer la distribution et pas seulement un indicateur.
Astuce : vérifier que la moyenne se situe entre la plus petite et la plus grande valeur. Sinon, le calcul est nécessairement faux.
Comparer deux groupes avec des grandeurs cohérentes
Comparer seulement les effectifs peut être trompeur lorsque deux groupes n’ont pas la même taille. \(12\) réponses favorables sur \(20\) représentent \(60\,\%\), tandis que \(15\) sur \(30\) représentent \(50\,\%\). Le second effectif est plus grand, mais la fréquence est plus faible.
Les pourcentages nécessaires à cette comparaison sont développés dans Pourcentages et échelles 5ème. Choisir entre effectif, fréquence et moyenne dépend toujours de la question posée.
Enquête complète : temps d’écran d’un groupe
Douze élèves indiquent leur temps d’écran quotidien en minutes : \(45,60,60,75,75,75,90,90,90,90,120,150\). La liste est déjà ordonnée, ce qui facilite le comptage.
| Temps | \(45\) | \(60\) | \(75\) | \(90\) | \(120\) | \(150\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(1\) | \(1\) |
La valeur \(90\) minutes est la plus fréquente, mais la moyenne vaut \(85\) minutes. Les deux indicateurs répondent à des questions différentes : la valeur la plus représentée et le partage équitable du total.
La fréquence de \(90\) minutes est \(\frac4{12}=\frac13\), soit environ \(33,3\,\%\). Effectif, fréquence et moyenne peuvent donc être extraits du même tableau sans être confondus.
Effet d’une valeur extrême sur la moyenne
Si le temps \(150\) minutes était une erreur de saisie et devait être \(50\) minutes, le total diminuerait de \(100\) minutes. La moyenne diminuerait alors de \(\frac{100}{12}\), soit environ \(8,3\) minutes.
Ce calcul montre qu’une valeur extrême peut influencer fortement la moyenne. Avant de supprimer une donnée, il faut pourtant vérifier sa validité : une valeur rare n’est pas nécessairement fausse.
La qualité d’une étude statistique dépend donc autant de la collecte et du contrôle des données que de la formule finale. Une moyenne calculée parfaitement sur des données mal relevées reste trompeuse.
Statistiques 5ème : l’essentiel à retenir
Les statistiques en 5ème suivent une chaîne logique : définir la population, compter les effectifs, calculer les fréquences, représenter puis interpréter. La moyenne résume le total par un partage équitable, mais elle ne remplace pas l’observation de la série.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 met l’accent sur ces changements de représentation et sur une lecture critique des données.