Les séries entières constituent un pilier fondamental de l’analyse en classes préparatoires (MP, PC, PSI) et en licence de mathématiques. Cette page propose 14 exercices corrigés sur les séries entières, organisés de manière progressive, du calcul de rayon de convergence par les règles de d’Alembert et de Cauchy-Hadamard, jusqu’à la résolution d’équations différentielles par développement en série entière. Chaque exercice est accompagné d’une indication guidée et d’un corrigé détaillé étape par étape, couvrant également le développement en série entière (DSE) de fonctions classiques, le calcul de la somme par dérivation ou intégration terme à terme, et le produit de Cauchy. Cette progression complète le cours sur les séries entières et s’appuie sur les bases des séries numériques.
Rayon de convergence d’une série entière : méthodes et règles de calcul
Le rayon de convergence \( R \) caractérise le disque ouvert dans lequel la série entière converge absolument. Les trois critères principaux — règle de d’Alembert, formule de Cauchy-Hadamard et encadrements asymptotiques — sont mis en pratique ici de manière progressive, dans la continuité du cours sur les séries numériques.
Exercice 1 : Rayon de convergence par la règle de d’Alembert
Facile
On considère les deux séries entières réelles suivantes :
- Déterminer le rayon de convergence de \( \displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{n^2}{3^n} x^n \).
- Déterminer le rayon de convergence de \( \displaystyle\sum_{n \geq 0} \frac{(2n)!}{(n!)^2} x^n \).
Indication
Pour chaque série, former le quotient \( \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \) et calculer sa limite quand \( n \to +\infty \). Le rayon de convergence est l’inverse de cette limite (si elle est non nulle et finie). Pour 2., utiliser l’équivalent \( \binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} \).
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On pose \( a_n = \frac{n^2}{3^n} \). Alors :
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{1}{3}. \]
La règle de d’Alembert donne \( R = 3 \).
Solution de la question 2 :
On pose \( a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \). Alors :
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = \frac{2(2n+1)}{n+1} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 4. \]
Donc \( R = \dfrac{1}{4} \).
Exercice 2 : Rayon de convergence par la formule de Cauchy-Hadamard
Facile
On considère les séries entières suivantes :
- Déterminer le rayon de convergence de \( \displaystyle\sum_{n \geq 0} n^{\sqrt{n}} x^n \).
- Déterminer le rayon de convergence de \( \displaystyle\sum_{n \geq 1} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} x^n \).
Indication
Utiliser la formule de Cauchy-Hadamard : \( \frac{1}{R} = \limsup_{n\to+\infty} |a_n|^{1/n} \). Pour 1., calculer \( (n^{\sqrt{n}})^{1/n} = n^{1/\sqrt{n}} \) et étudier sa limite. Pour 2., reconnaître la limite de \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \).
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On a \( |a_n|^{1/n} = n^{1/\sqrt{n}} = e^{\frac{\ln n}{\sqrt{n}}} \). Or \( \frac{\ln n}{\sqrt{n}} \to 0 \) quand \( n \to +\infty \), donc \( |a_n|^{1/n} \to e^0 = 1 \). Ainsi \( \frac{1}{R} = 1 \), soit \( R = 1 \).
Solution de la question 2 :
On a \( |a_n|^{1/n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e \) quand \( n\to+\infty \). Donc \( \frac{1}{R} = e \), soit
\[ R = \frac{1}{e}. \]
Exercice 3 : Rayon de convergence avec indices pairs et impairs séparés
Moyen
Déterminer le rayon de convergence de la série entière \( \displaystyle\sum_{n \geq 0} a_n x^n \) dont les coefficients sont définis par :
\[ a_n = \begin{cases} \dfrac{1}{2^n} & \text{si } n \text{ est pair,} \\[6pt] \dfrac{1}{3^n} & \text{si } n \text{ est impair.} \end{cases} \]
- Calculer \( \limsup_{n\to+\infty} |a_n|^{1/n} \) en distinguant les sous-suites paires et impaires.
- En déduire le rayon de convergence.
Indication
La règle de d’Alembert est inapplicable car le rapport \( a_{n+1}/a_n \) n’a pas de limite. En revanche, calculer séparément \( |a_{2k}|^{1/(2k)} \) et \( |a_{2k+1}|^{1/(2k+1)} \) puis prendre le maximum des deux limites pour obtenir la limsup.
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Pour \( n = 2k \) (pair) : \( |a_{2k}|^{1/(2k)} = \left(\frac{1}{2^{2k}}\right)^{1/(2k)} = \frac{1}{2} \).
Pour \( n = 2k+1 \) (impair) : \( |a_{2k+1}|^{1/(2k+1)} = \left(\frac{1}{3^{2k+1}}\right)^{1/(2k+1)} = \frac{1}{3} \).
Les deux sous-suites convergent respectivement vers \( \frac{1}{2} \) et \( \frac{1}{3} \). La limsup est le maximum :
\[ \limsup_{n\to+\infty} |a_n|^{1/n} = \frac{1}{2}. \]
Solution de la question 2 :
Par la formule de Cauchy-Hadamard, \( \frac{1}{R} = \frac{1}{2} \), donc \( R = 2 \).
Exercice 4 : Rayon de convergence d’une série entière composée
Difficile
Soit \( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \) une série entière de rayon de convergence \( R = 3 \).
- Déterminer le rayon de convergence de \( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{2n} \).
- Déterminer le rayon de convergence de \( h(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (x-1)^n \) en précisant le domaine de convergence absolue.
- La série \( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} n\, a_n x^{n-1} \) a-t-elle le même rayon de convergence que \( f \) ?
Indication
Pour 1., poser \( t = x^2 \) et utiliser le fait que \( \sum a_n t^n \) converge pour \( |t| < 3 \). Pour 2., il s'agit d'une série entière en \( (x-1) \), de même rayon 3 mais centrée en 1. Pour 3., rappeler le théorème de dérivation terme à terme.
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La série \( g(x) = \sum a_n (x^2)^n \) converge absolument si et seulement si \( |x^2| < 3 \), c'est-à-dire \( |x| < \sqrt{3} \). Le rayon de convergence de \( g \) est \( R_g = \sqrt{3} \).
Solution de la question 2 :
La série \( h(x) = \sum a_n (x-1)^n \) est une série entière en la variable \( u = x-1 \), de même suite de coefficients \( (a_n) \), donc de même rayon \( R_h = 3 \). Elle converge absolument pour \( |x-1| < 3 \), c'est-à-dire \( x \in (-2, 4) \).
Solution de la question 3 :
Par le théorème de dérivation terme à terme des séries entières, la série dérivée \( \sum n\, a_n x^{n-1} \) a le même rayon de convergence que \( \sum a_n x^n \). Donc \( R = 3 \).
Développement en série entière (DSE) : techniques et fonctions usuelles
Développer une fonction en série entière au voisinage de 0 est une compétence centrale en analyse. Cette section couvre les DSE des fonctions classiques, les changements de variable, et la décomposition en éléments simples comme outil intermédiaire.
Exercice 5 : DSE par substitution et composition
Facile
Donner le développement en série entière au voisinage de 0 de chacune des fonctions suivantes, en précisant le rayon de convergence :
- \( f(x) = \dfrac{1}{1 + 4x^2} \)
- \( g(x) = \ln(1 – 3x) \)
- \( h(x) = e^{-x^2} \)
Indication
Partir des DSE classiques : \( \frac{1}{1-u} = \sum u^n \) pour \( |u|<1 \), \( \ln(1+u) = \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}u^n \) pour \( |u|<1 \), et \( e^u = \sum \frac{u^n}{n!} \). Effectuer ensuite la substitution appropriée (\( u = -4x^2 \), \( u = -3x \), \( u = -x^2 \)).
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\[ f(x) = \frac{1}{1-(-4x^2)} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-4x^2)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n 4^n x^{2n}, \quad |x| < \frac{1}{2}. \] Solution de la question 2 :
On utilise \( \ln(1+u) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} u^n \) avec \( u = -3x \) :
\[ g(x) = \ln(1-3x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}(-3x)^n = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^n}{n} x^n, \quad |x| < \frac{1}{3}. \]
Solution de la question 3 :
\[ h(x) = e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n}, \quad x \in \mathbb{R}. \]
Exercice 6 : DSE par décomposition en éléments simples
Moyen
On cherche à développer en série entière au voisinage de 0 la fonction :
\[ f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 – x – 2}. \]
- Factoriser le dénominateur et écrire la décomposition en éléments simples de \( f \).
- En déduire le développement en série entière de \( f \) au voisinage de 0, en précisant le rayon de convergence.
Indication
Les racines du dénominateur sont \( x = 2 \) et \( x = -1 \). Écrire \( f(x) = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \), puis ramener chaque terme à la forme \( \frac{c}{1 – u} \) pour appliquer le DSE de la série géométrique. Le rayon de convergence est déterminé par la singularité la plus proche de 0.
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On a \( x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1) \). La décomposition donne :
\[ f(x) = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}. \]
En multipliant par \( (x-2) \) et en posant \( x=2 \) : \( A = \frac{5}{3} \). En multipliant par \( (x+1) \) et en posant \( x=-1 \) : \( B = \frac{1}{3} \). Donc :
\[ f(x) = \frac{5/3}{x-2} + \frac{1/3}{x+1}. \]
Solution de la question 2 :
On écrit :
\[ \frac{5/3}{x-2} = \frac{5/3}{-2(1-x/2)} = -\frac{5}{6}\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n \quad \text{pour } |x|<2, \] \[ \frac{1/3}{x+1} = \frac{1/3}{1+x} = \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{+\infty}(-x)^n \quad \text{pour } |x|<1. \]
La singularité la plus proche de 0 est en \( x = -1 \), donc \( R = 1 \). On obtient :
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\left(-\frac{5}{6 \cdot 2^n} + \frac{(-1)^n}{3}\right)x^n, \quad |x|<1. \]
Exercice 7 : DSE de arctan et intégration terme à terme
Moyen
On souhaite établir le développement en série entière de \( \arctan(x) \) à partir de celui de sa dérivée.
- Montrer que \( \arctan'(x) = \dfrac{1}{1+x^2} \) et en donner le DSE au voisinage de 0.
- En intégrant terme à terme, établir le DSE de \( \arctan(x) \) et préciser son rayon de convergence.
- En déduire la valeur exacte de \( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \).
Indication
Pour 1., substituer \( u = -x^2 \) dans le DSE de \( \frac{1}{1-u} \). Pour 2., le théorème d’intégration terme à terme assure que le rayon est conservé. Pour 3., évaluer la somme en \( x = 1 \) et reconnaître une valeur connue de \( \arctan \).
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\[ \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n x^{2n}, \quad |x|<1. \] Solution de la question 2 :
Par intégration terme à terme entre 0 et \( x \) (avec \( \arctan(0)=0 \)) :
\[ \arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, \quad |x| \leq 1. \]
Le rayon est \( R=1 \), et on peut montrer que la convergence a lieu aussi en \( x = \pm 1 \) (critère de Leibniz).
Solution de la question 3 :
En posant \( x = 1 \) :
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}. \]
Somme d’une série entière : dérivation et intégration terme à terme
Calculer la somme d’une série entière explicitement est l’objectif le plus fréquemment évalué en examens. Les techniques reposent sur la reconnaissance de DSE classiques après dérivation ou intégration terme à terme, parfois combinées à une équation différentielle vérifiée par la somme.
Exercice 8 : Somme d’une série entière par dérivation
Facile
On considère la série entière \( S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n \).
- Déterminer le rayon de convergence de \( S \).
- En reconnaissant \( S \) comme la dérivée d’une série entière classique, calculer \( S(x) \) pour tout \( x \in (-1, 1) \).
Indication
Observer que \( nx^n = x \cdot (x^n)’ \). Écrire \( S(x) = x \cdot \left(\sum_{n=1}^{+\infty} x^n\right)’ \) et utiliser le DSE de la série géométrique.
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La règle de d’Alembert donne \( \frac{(n+1)|x|^{n+1}}{n|x|^n} = \frac{n+1}{n}|x| \to |x| \). Donc \( R = 1 \).
Solution de la question 2 :
On sait que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \) pour \( |x|<1 \). En dérivant terme à terme :
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}. \]
En multipliant par \( x \) :
\[ S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad x \in (-1,1). \]
Exercice 9 : Somme d’une série entière par intégration terme à terme
Moyen
On considère la série entière \( F(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \).
- Déterminer le rayon de convergence de \( F \).
- Calculer \( F'(x) \) et en déduire la somme \( F(x) \) sur son intervalle de convergence.
- En utilisant le résultat, retrouver le DSE de \( \ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) \).
Indication
Dériver \( F \) terme à terme pour obtenir une série géométrique classique. Reconnaître \( F'(x) = \frac{1}{1-x^2} \). Intégrer ensuite en utilisant la décomposition \( \frac{1}{1-x^2} = \frac{1/2}{1-x} + \frac{1/2}{1+x} \).
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Par la règle de d’Alembert sur \( a_n = \frac{1}{2n+1} \), on obtient \( R = 1 \).
Solution de la question 2 :
En dérivant terme à terme :
\[ F'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}, \quad |x|<1. \]
Comme \( F(0) = 0 \), on intègre :
\[ F(x) = \int_0^x \frac{dt}{1-t^2} = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right). \]
Solution de la question 3 :
On en déduit directement :
\[ \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2}{2n+1} x^{2n+1}, \quad |x|<1. \]
Exercice 10 : Somme par équation différentielle vérifiée par la série
Difficile
Soit \( S(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n! \,(n+1)!} x^{2n+1} \).
- Déterminer le rayon de convergence de \( S \).
- Montrer que \( S \) vérifie l’équation différentielle \( x^2 S »(x) + x S'(x) + (4x^2-1)S(x) = 0 \).
- En déduire, par identification, que \( S(x) = J_1(2x) \), où \(J_1\) désigne la fonction de Bessel d’ordre 1, et vérifier que \( S'(0) = 1 \).
Indication
Pour 2., calculer \( S’ \) et \( S » \) terme à terme, puis regrouper les coefficients d’une même puissance de \(x\). Pour 3., comparer avec la définition standard \( J_1(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!\,(n+1)!}\left(\frac{t}{2}\right)^{2n+1} \).
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On a \( a_n = \dfrac{(-1)^n}{n!\,(n+1)!} \). La règle de d’Alembert donne \( \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \to 0 \). Donc \( R = +\infty \).
Solution de la question 2 :
Écrivons \(S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{2n+1}\), avec \(a_n=\dfrac{(-1)^n}{n!(n+1)!}\). Alors :
\[ S'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+1)a_nx^{2n}, \qquad S »(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}2n(2n+1)a_nx^{2n-1}. \]
Le coefficient de \(x^{2n+1}\), pour \(n\geq 0\), dans \(x^2S »+xS’+(4x^2-1)S\) vaut :
\[ \bigl((2n+1)^2-1\bigr)a_n+4a_{n-1}=4n(n+1)a_n+4a_{n-1}, \]
avec la convention \(a_{-1}=0\) pour le premier terme. Pour \(n\geq 1\), comme \(a_n=-\dfrac{a_{n-1}}{n(n+1)}\), ce coefficient est nul. Le coefficient de \(x\) est également nul. Donc :
\[ x^2 S »(x)+xS'(x)+(4x^2-1)S(x)=0. \]
Solution de la question 3 :
La définition standard donne :
\[ J_1(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(n+1)!}\left(\frac{t}{2}\right)^{2n+1}. \]
En prenant \(t=2x\), on obtient exactement \(S(x)=J_1(2x)\). Enfin, le premier terme de \(S\) est \(x\), donc \(S'(0)=1\).
Produit de Cauchy de deux séries entières
Le produit de Cauchy permet de multiplier deux séries entières terme à terme selon la formule de convolution des coefficients. C’est un outil indispensable pour établir certains DSE et pour calculer des sommes de séries numériques.
Exercice 11 : Produit de Cauchy de deux séries géométriques
Moyen
On considère les deux séries entières \( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n \) et \( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n \), toutes deux de rayon \( R=1 \).
- Calculer les coefficients \( c_n \) du produit de Cauchy \( h = f \cdot g \), défini par \( h(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n \) avec \( c_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} \).
- En déduire le DSE de \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) et vérifier ce résultat par dérivation.
Indication
Ici \( a_k = b_k = 1 \) pour tout \( k \). Le coefficient \( c_n \) est donc \( \sum_{k=0}^{n} 1 = n+1 \). Comparer ensuite avec la dérivée de la série géométrique.
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\[ c_n = \sum_{k=0}^{n} 1 \cdot 1 = n+1. \]
Donc \( h(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n \).
Solution de la question 2 :
Par le théorème sur les produits de Cauchy, sur \( |x|<1 \) :
\[ h(x) = f(x) \cdot g(x) = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x} = \frac{1}{(1-x)^2}. \]
On obtient ainsi le DSE :
\[ \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n, \quad |x|<1. \]
On retrouve ce résultat en dérivant terme à terme \( \sum x^n = \frac{1}{1-x} \), ce qui donne bien \( \sum (n+1)x^n \).
Exercice 12 : Produit de Cauchy et somme de série numérique
Difficile
Soit \( H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \) la \( n \)-ième somme harmonique, avec \( H_0 = 0 \).
- En reconnaissant \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} H_n x^n \) comme un produit de Cauchy de \( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n \) et de \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} \), montrer que :
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} H_n x^n = \frac{-\ln(1-x)}{1-x}, \quad |x|<1. \]
- En déduire la somme \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{H_n}{2^n} \).
Indication
Pour 1., identifier les coefficients du produit de Cauchy : \( (1 * (1/n)) \) donne \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = H_n \). Pour 2., substituer \( x = 1/2 \) dans la formule obtenue.
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On pose \( f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \) et \( g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x) \), toutes deux de rayon \( R=1 \). Le coefficient de rang \( n \) (\( n \geq 1 \)) du produit de Cauchy \( f \cdot g \) est :
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} = \sum_{k=1}^{n} 1 \cdot \frac{1}{k} = H_n. \]
On en conclut, sur \( |x|<1 \) :
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} H_n x^n = \frac{-\ln(1-x)}{1-x}. \]
Solution de la question 2 :
En posant \( x = \frac{1}{2} \) :
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{H_n}{2^n} = \frac{-\ln(1/2)}{1 – 1/2} = \frac{\ln 2}{1/2} = 2\ln 2. \]
Équations différentielles résolues par séries entières
Chercher une solution développable en série entière (DSE) à une équation différentielle est une méthode puissante, notamment lorsque les méthodes élémentaires ne s’appliquent pas. La stratégie consiste à supposer \( y = \sum a_n x^n \), à substituer dans l’équation, puis à identifier les coefficients par unicité du développement en série entière.
Exercice 13 : Solution DSE d’une équation différentielle du premier ordre
Moyen
On cherche les solutions développables en série entière au voisinage de 0 de l’équation différentielle :
\[ y'(x) – 2xy(x) = 0. \]
- Écrire \( y(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \), substituer dans l’équation et établir une relation de récurrence sur les coefficients \( a_n \).
- Résoudre la relation de récurrence et exprimer \( y(x) \) en fonction de \( a_0 \).
- Identifier la somme et vérifier que la solution trouvée coïncide avec celle obtenue par séparation des variables.
Indication
Après substitution, identifier les coefficients de \( x^n \) pour tout \( n \geq 0 \). On trouvera que les coefficients impairs sont nuls, et une relation de récurrence simple lie \( a_{n+2} \) à \( a_n \). La solution est de la forme \( a_0 \cdot e^{x^2} \).
Voir le corrigé
On a \( y'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)a_{n+1}x^n \) et \( 2xy(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} 2a_n x^{n+1} = \sum_{n=1}^{+\infty} 2a_{n-1}x^n \). En identifiant les coefficients de \( x^n \) pour \( n \geq 1 \) :
\[ (n+1)a_{n+1} = 2a_{n-1}, \quad \text{soit} \quad a_{n+1} = \frac{2}{n+1}a_{n-1}. \]
Pour \( n=0 \) : \( a_1 = 0 \).
Solution de la question 2 :
Puisque \( a_1 = 0 \), tous les coefficients impairs sont nuls. Pour les pairs, avec \( n = 2k \) :
\[ a_{2k} = \frac{2^k}{(2k)(2k-2)\cdots 2} a_0 = \frac{1}{k!}a_0. \]
Donc : \( y(x) = a_0 \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{2k}}{k!} \).
Solution de la question 3 :
On reconnaît le DSE de l’exponentielle :
\[ y(x) = a_0\, e^{x^2}, \]
ce qui coïncide bien avec la solution générale obtenue par séparation des variables : \( y = C\,e^{x^2} \).
Exercice 14 : Solution DSE d’une équation différentielle du second ordre
Difficile
On considère l’équation différentielle :
\[ (1-x^2)y »(x) – 2x\,y'(x) + 6\,y(x) = 0. \]
- En supposant \( y(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \), établir une relation de récurrence liant \( a_{n+2} \) à \( a_n \).
- Montrer que si l’on impose \( a_0 = 1 \) et \( a_1 = 0 \), la série obtenue est un polynôme. Le calculer explicitement.
- Quel théorème classique justifie l’existence d’une telle solution polynomiale pour certaines valeurs du paramètre ?
Indication
Calculer \( y » \) et \( xy’ \) et \( x^2 y » \) terme à terme. Regrouper sous une seule somme en \( x^n \) et identifier le coefficient de \( x^n \) pour tout \( n \geq 0 \). La relation de récurrence sera de la forme \( a_{n+2}(n+2)(n+1) = a_n \cdot [\ldots] \). Vérifier que pour \( n=2 \), on a \( a_4 = 0 \) lorsque \( a_1=0 \), ce qui amorce la terminaison de la série en polynôme.
Voir le corrigé
On calcule :
\[ y »= \sum_{n=0}^{+\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n, \quad x^2y »= \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^n, \quad 2xy’= \sum_{n=1}^{+\infty}2na_n x^n. \]
En substituant dans l’équation et en identifiant le coefficient de \( x^n \) pour \( n \geq 2 \) :
\[ (n+2)(n+1)a_{n+2} – n(n-1)a_n – 2na_n + 6a_n = 0, \]
\[ (n+2)(n+1)a_{n+2} = \bigl[n(n+1) – 6\bigr]a_n = (n-2)(n+3)a_n. \]
D’où la relation de récurrence :
\[ a_{n+2} = \frac{(n-2)(n+3)}{(n+1)(n+2)} a_n. \]
Solution de la question 2 :
Avec \( a_1 = 0 \), tous les coefficients impairs sont nuls. Avec \( a_0 = 1 \) :
\[ a_2 = \frac{(0-2)(0+3)}{1 \cdot 2}a_0 = \frac{-6}{2} = -3, \quad a_4 = \frac{(2-2)(2+3)}{3 \cdot 4}a_2 = 0. \]
Puisque \( a_4 = 0 \), tous les coefficients \( a_{2k} \) pour \( k \geq 2 \) sont également nuls. La solution est donc le polynôme :
\[ y(x) = 1 – 3x^2. \]
Solution de la question 3 :
Cette équation est l’équation de Legendre avec paramètre \( \ell(\ell+1) = 6 \), soit \( \ell = 2 \). Le théorème de Legendre garantit l’existence d’une solution polynomiale (le polynôme de Legendre \( P_2 \)) pour chaque entier \( \ell \in \mathbb{N} \).