Second degré Première : 7 exercices corrigés

Développée, factorisée ou canonique, chaque forme du trinôme répond à une question différente. Les exercices font choisir entre lecture du sommet, discriminant, tableau de signe et étude d'un paramètre au lieu d'imposer la même procédure partout.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Second degré. Les trois cas du discriminant sont détaillés dans la résolution complète des équations du second degré.

Bases de Second degré : Passer entre trois formes

Exercice 1 : Passer entre trois formes

Facile

On considère f(x)=2x2−12x+10f(x)=2x^2-12x+10.

  1. Mettre f sous forme canonique.
  2. Factoriser f.
  3. Donner les racines.
  4. Contrôler en développant.
Indication
Factoriser 2 puis compléter le carré.
Voir le corrigé
  1. f(x)=2(x2−6x+5)=2[(x−3)2−4]=2(x−3)2−8f(x)=2(x^2-6x+5)=2[(x-3)^2-4]=2(x-3)^2-8.
  2. Comme (x−3)2−4=(x−1)(x−5)(x-3)^2-4=(x-1)(x-5), f(x)=2(x−1)(x−5)f(x)=2(x-1)(x-5).
  3. Les racines sont x=1x=1 et x=5x=5.
  4. Le développement de 2(x−1)(x−5)2(x-1)(x-5) donne 2x2−12x+102x^2-12x+10, identique à l'expression initiale.

Exercice 2 : Discriminant et nombre de racines

Moyen

Résoudre 3x2+2x+5=03x^2+2x+5=0 puis 2x2−7x+3=02x^2-7x+3=0.

  1. Calculer les deux discriminants.
  2. Conclure sur les racines réelles.
  3. Donner les racines du second trinôme.
Indication
Comparer chaque discriminant à zéro.
Voir le corrigé
  1. Pour 3x2+2x+53x^2+2x+5, Δ=22−4×3×5=−56\Delta=2^2-4\times3\times5=-56. Pour 2x2−7x+32x^2-7x+3, Δ=(−7)2−4×2×3=25\Delta=(-7)^2-4\times2\times3=25.
  2. Le premier trinôme n'a aucune racine réelle. Le second possède deux racines réelles distinctes.
  3. Les racines du second sont x=7−54=12x=\frac{7-5}{4}=\frac12 et x=7+54=3x=\frac{7+5}{4}=3.

Choisir une méthode : Obtenir la forme canonique par complétion du carré

Exercice 3 : Obtenir la forme canonique par complétion du carré

Difficile

On part du trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a≠0a\neq0, et l'on veut faire apparaître sa forme canonique.

  1. Factoriser aa dans les deux termes contenant xx.
  2. Compléter le carré à l'intérieur des parenthèses.
  3. Identifier α\alpha et β\beta dans a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta.
Indication
Ajouter puis retrancher (b2a)2\left(\frac{b}{2a}\right)^2.
Voir le corrigé
  1. On écrit f(x)=a(x2+bax)+cf(x)=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c.
  2. Comme x2+bax=(x+b2a)2−b24a2x^2+\frac ba x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}, on obtient f(x)=a(x+b2a)2+c−b24af(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.
  3. Ainsi α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=c−b24a=−Δ4a\beta=c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{\Delta}{4a}.

Exercice 4 : Paramètre et tangence

Difficile

La droite y=my=m coupe la parabole y=x2−4x+7y=x^2-4x+7.

  1. Écrire l'équation d'intersection.
  2. Déterminer m pour une intersection unique.
  3. Donner le point de tangence.
  4. Interpréter avec la forme canonique.
Indication
Une intersection unique correspond à un discriminant nul.
Voir le corrigé
  1. Les intersections vérifient x2−4x+7=mx^2-4x+7=m, soit x2−4x+7−m=0x^2-4x+7-m=0.
  2. Il y a une intersection unique lorsque le discriminant Δ=16−4(7−m)=4m−12\Delta=16-4(7-m)=4m-12 est nul. On obtient m=3m=3.
  3. Pour m=3m=3, la racine double est x=2x=2. Le point de tangence est (2;3)(2;3).
  4. La forme canonique x2−4x+7=(x−2)2+3x^2-4x+7=(x-2)^2+3 montre directement que 3 est la valeur minimale, atteinte une seule fois en 2.

Exercice 5 : Résoudre puis étudier f(x)=2x2−5x−3f(x)=2x^2-5x-3

Moyen

On veut trouver les racines, factoriser et déterminer le signe de f sur R.

  1. Calculer le discriminant du trinôme.
  2. En déduire ses deux racines.
  3. Écrire une factorisation de f.
  4. Dresser le signe de f et contrôler la factorisation.
Indication
Chercher d'abord un facteur commun, une identité ou des racines apparentes.
Voir le corrigé
  1. a=2a=2, b=−5b=-5, c=−3c=-3 et Δ=25+24=49\Delta=25+24=49.
  2. Les racines sont 5−74=−12\frac{5-7}{4}=-\frac12 et 5+74=3\frac{5+7}{4}=3.
  3. La factorisation est f(x)=2(x+12)(x−3)=(2x+1)(x−3)f(x)=2\left(x+\frac12\right)(x-3)=(2x+1)(x-3).
  4. Comme a>0a\gt 0, ff est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles. Le produit développé redonne 2x2−5x−32x^2-5x-3.

Approfondir Second degré : Choisir entre forme canonique et discriminant

Exercice 6 : Tableau de signe à partir des racines

Moyen

Étudier le signe de p(x)=−3(x+2)(x−5)p(x)=-3(x+2)(x-5).

  1. Donner les racines.
  2. Déterminer le signe sur chaque intervalle.
  3. Résoudre p(x)≥0p(x)\geq0.
Indication
Le coefficient dominant est négatif : le signe extérieur est négatif.
Voir le corrigé
  1. Les racines sont −2-2 et 5.
  2. Le trinôme est négatif sur ]−∞;−2[]-\infty;-2[, positif sur ]−2;5[]-2;5[, puis négatif sur ]5;+∞[]5;+\infty[.
  3. En incluant les zéros, p(x)≥0p(x)\geq0 pour x∈[−2;5]x\in[-2;5].

Exercice 7 : Choisir entre forme canonique et discriminant

Difficile

On considère f(x)=2(x−3)2−8f(x)=2(x-3)^2-8.

  1. Lire l'extremum et son abscisse.
  2. Résoudre f(x)=0f(x)=0 sans développer.
  3. Développer ensuite et vérifier les racines avec le discriminant.
Indication
La forme canonique répond directement aux deux premières questions.
Voir le corrigé
  1. Le minimum vaut −8-8, atteint pour x=3x=3.
  2. 2(x−3)2−8=02(x-3)^2-8=0 donne (x−3)2=4(x-3)^2=4, donc x=1x=1 ou x=5x=5.
  3. La forme développée est 2x2−12x+102x^2-12x+10. Son discriminant vaut 64 et les racines obtenues sont bien 1 et 5.
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