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Second degré Première : 13 exercices corrigés et automatismes

Niveau
Première
Thème
Algèbre
Type
Exercices corrigés
Exercices
13

Ces 13 exercices corrigés couvrent le second degré de Première, du premier calcul de Δ\Delta jusqu'à un problème type bac, avec en ouverture 8 questions d'automatismes au format de l'épreuve anticipée. Les corrigés sont rédigés comme on les attend sur une copie : chaque étape est justifiée, pas seulement le résultat.

Le cours complet est dans Second degré Première : formes, discriminant et signe. Pour vérifier un calcul, la calculatrice d'équation du second degré donne le discriminant et chaque étape. Si vous cherchez surtout des équations à résoudre, voyez aussi les 18 exercices corrigés sur l'équation du second degré.

Sommaire6 parties

Automatismes : 8 questions flash

Ces questions reprennent la partie automatismes de l'épreuve anticipée de mathématiques : sans calculatrice, une seule bonne réponse, une minute environ par question.

Question 1 : Signe d’un produit

Automatisme
Sur l'intervalle ]−3 ;2[\mathopen{]}-3\,;2\mathclose{[}, l'expression (x−2)(x+3)(x-2)(x+3) est :
  1. positive
  2. négative
  3. nulle
  4. de signe variable
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Réponse B. On teste une valeur de l'intervalle : pour x=0x=0, (0−2)(0+3)=−6<0(0-2)(0+3)=-6\lt 0. Entre les racines −3-3 et 22, le trinôme a le signe contraire de a=1a=1, donc il est négatif.

Question 2 : Calcul du discriminant

Automatisme
Le discriminant de 2x2−3x+12x^2-3x+1 vaut :
  1. 11
  2. 1717
  3. −1-1
  4. 99
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Réponse A : Δ=(−3)2−4×2×1=9−8=1\Delta=(-3)^2-4\times2\times1=9-8=1. La réponse 17 vient d'un signe oublié (9+89+8), la réponse 9 d'un 4ac4ac oublié.

Question 3 : Lire le sommet

Automatisme
La parabole d'équation y=−(x−1)2+4y=-(x-1)^2+4 a pour sommet :
  1. S(1 ;4)S(1\,;4)
  2. S(−1 ;4)S(-1\,;4)
  3. S(4 ;1)S(4\,;1)
  4. S(1 ;−4)S(1\,;-4)
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Réponse A. Sous la forme a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, le sommet est S(α ;β)S(\alpha\,;\beta). Ici x−1x-1 donne α=1\alpha=1 (et non −1-1), et β=4\beta=4.

Question 4 : Équation produit nul

Automatisme
L'ensemble des solutions de (2x−1)(x+5)=0(2x-1)(x+5)=0 est :
  1. {1 ;−5}\{1\,;-5\}
  2. {12 ;5}\{\tfrac12\,;5\}
  3. {12 ;−5}\{\tfrac12\,;-5\}
  4. {2 ;−5}\{2\,;-5\}
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Réponse C. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : 2x−1=02x-1=0 donne x=12x=\frac12, et x+5=0x+5=0 donne x=−5x=-5. Inutile de développer.

Question 5 : Développer un carré

Automatisme
(x−3)2(x-3)^2 est égal à :
  1. x2−9x^2-9
  2. x2−6x+9x^2-6x+9
  3. x2+9x^2+9
  4. x2−3x+9x^2-3x+9
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Réponse B, avec (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 : x2−2×x×3+9=x2−6x+9x^2-2\times x\times3+9=x^2-6x+9. Le double produit −6x-6x est le terme qu'on oublie le plus souvent.

Question 6 : Allure de la parabole

Automatisme
La courbe de f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c est tournée vers le bas et coupe l'axe des abscisses en deux points. Alors :
  1. a>0a\gt 0 et Δ>0\Delta\gt 0
  2. a<0a\lt 0 et Δ<0\Delta\lt 0
  3. a<0a\lt 0 et Δ>0\Delta\gt 0
  4. a>0a\gt 0 et Δ=0\Delta=0
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Réponse C. Tournée vers le bas signifie a<0a\lt 0. Deux points d'intersection avec l'axe des abscisses signifient deux racines, donc Δ>0\Delta\gt 0.

Question 7 : Factoriser une différence de carrés

Automatisme
x2−9x^2-9 se factorise en :
  1. (x−3)2(x-3)^2
  2. (x−9)(x+1)(x-9)(x+1)
  3. (x−3)(x+3)(x-3)(x+3)
  4. x(x−9)x(x-9)
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Réponse C, avec a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) et 9=329=3^2. On peut contrôler en développant : (x−3)(x+3)=x2+3x−3x−9=x2−9(x-3)(x+3)=x^2+3x-3x-9=x^2-9.

Question 8 : Un trinôme sans racine

Automatisme
Pour tout réel xx, le trinôme x2+x+1x^2+x+1 est :
  1. strictement positif
  2. strictement négatif
  3. positif puis négatif
  4. nul en x=−1x=-1
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Réponse A. Δ=1−4=−3<0\Delta=1-4=-3\lt 0 : pas de racine, donc le trinôme garde le signe de a=1a=1 partout. La réponse D se vérifie vite : (−1)2−1+1=1≠0(-1)^2-1+1=1\neq0.

Niveau 1 : les bases du second degré

Exercice 1 : Résoudre avec le discriminant

Facile
Résoudre dans R\mathbb R les trois équations suivantes.
  1. x2−7x+12=0x^2-7x+12=0
  2. 4x2−4x+1=04x^2-4x+1=0
  3. 2x2+x+3=02x^2+x+3=0
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  1. a=1a=1, b=−7b=-7, c=12c=12. Δ=(−7)2−4×1×12=49−48=1>0\Delta=(-7)^2-4\times1\times12=49-48=1\gt 0, donc deux solutions : x1=7−12=3x2=7+12=4.x_1=\frac{7-1}{2}=3\qquad x_2=\frac{7+1}{2}=4. S={3 ;4}S=\{3\,;4\}.
  2. a=4a=4, b=−4b=-4, c=1c=1. Δ=16−16=0\Delta=16-16=0, donc une seule solution : x0=−b2a=48=12x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{8}=\dfrac12. S={12}S=\{\tfrac12\}. On reconnaissait aussi (2x−1)2(2x-1)^2.
  3. a=2a=2, b=1b=1, c=3c=3. Δ=1−24=−23<0\Delta=1-24=-23\lt 0, donc aucune solution réelle : S=∅S=\varnothing.

Exercice 2 : Forme canonique par complétion du carré

Facile
On considère f(x)=x2+8x+7f(x)=x^2+8x+7.
  1. Écrire f(x)f(x) sous forme canonique en complétant le carré.
  2. En déduire le sommet de la parabole et le tableau de variations de ff.
  3. Factoriser f(x)f(x) à partir de la forme canonique.
Indication
x2+8xx^2+8x est le début de (x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2=x^2+8x+16.
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  1. On fait apparaître (x+4)2(x+4)^2, qui contient x2+8xx^2+8x, puis on retire le 16 ajouté : f(x)=x2+8x+16⏟(x+4)2−16+7=(x+4)2−9.f(x)=\underbrace{x^2+8x+16}_{(x+4)^2}-16+7=(x+4)^2-9.
  2. Forme a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta avec a=1a=1, α=−4\alpha=-4, β=−9\beta=-9 : le sommet est S(−4 ;−9)S(-4\,;-9). Comme a>0a\gt 0, ff est décroissante sur ]−∞ ;−4]\mathopen{]}-\infty\,;-4] et croissante sur [−4 ;+∞[[-4\,;+\infty\mathclose{[}, avec un minimum −9-9 atteint en −4-4.
    xx−∞-\infty−4-4+∞+\infty
    f(x)f(x)↘\searrow−9-9↗\nearrow
  3. On reconnaît A2−B2A^2-B^2 avec A=x+4A=x+4 et B=3B=3 : f(x)=(x+4−3)(x+4+3)=(x+1)(x+7).f(x)=(x+4-3)(x+4+3)=(x+1)(x+7). Contrôle : (x+1)(x+7)=x2+8x+7(x+1)(x+7)=x^2+8x+7.

Exercice 3 : Résoudre sans calculer Δ

Facile
Résoudre chaque équation par la méthode la plus courte. Le discriminant est interdit.
  1. 3x2−12x=03x^2-12x=0
  2. x2−16=0x^2-16=0
  3. (x−2)2=9(x-2)^2=9
  4. 9x2−6x+1=09x^2-6x+1=0
Voir le corrigé
  1. Facteur commun 3x3x : 3x(x−4)=03x(x-4)=0, donc x=0x=0 ou x=4x=4. S={0 ;4}S=\{0\,;4\}.
  2. x2=16x^2=16, donc x=4x=4 ou x=−4x=-4. S={−4 ;4}S=\{-4\,;4\}. Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente.
  3. x−2=3x-2=3 ou x−2=−3x-2=-3, donc x=5x=5 ou x=−1x=-1. S={−1 ;5}S=\{-1\,;5\}.
  4. On reconnaît (3x−1)2=9x2−6x+1(3x-1)^2=9x^2-6x+1. L'équation devient (3x−1)2=0(3x-1)^2=0, donc x=13x=\frac13. S={13}S=\{\tfrac13\}.
Dans ces quatre cas, le discriminant aurait marché, mais en trois fois plus de lignes et avec plus de risques d'erreur de signe.

Exercice 4 : Choisir la bonne forme

Facile
On admet que, pour tout réel xx :
f(x)=2x2−8x+6=2(x−2)2−2=2(x−1)(x−3).f(x)=2x^2-8x+6=2(x-2)^2-2=2(x-1)(x-3).
  1. Vérifier les deux égalités en développant.
  2. Calculer f(0)f(0) en choisissant la forme la plus adaptée.
  3. Donner l'extremum de ff et la valeur où il est atteint.
  4. Résoudre f(x)=0f(x)=0, puis f(x)=6f(x)=6.
Voir le corrigé
  1. 2(x−2)2−2=2(x2−4x+4)−2=2x2−8x+62(x-2)^2-2=2(x^2-4x+4)-2=2x^2-8x+6 et 2(x−1)(x−3)=2(x2−4x+3)=2x2−8x+62(x-1)(x-3)=2(x^2-4x+3)=2x^2-8x+6.
  2. Avec la forme développée, f(0)=6f(0)=6 se lit directement : c'est le coefficient cc.
  3. Avec la forme canonique : a=2>0a=2\gt 0, donc ff admet un minimum β=−2\beta=-2, atteint en α=2\alpha=2.
  4. Avec la forme factorisée, f(x)=0f(x)=0 donne x=1x=1 ou x=3x=3. Pour f(x)=6f(x)=6, on reprend la forme développée : 2x2−8x=02x^2-8x=0, soit 2x(x−4)=02x(x-4)=0, donc x=0x=0 ou x=4x=4.

Niveau 2 : choisir la bonne méthode

Exercice 5 : Racine évidente, somme et produit des racines

Moyen
  1. Vérifier que 11 est racine de 2x2+3x−52x^2+3x-5, puis trouver l'autre racine sans calculer Δ\Delta.
  2. Trouver de tête deux nombres dont la somme vaut 7 et le produit 10. En déduire la factorisation de x2−7x+10x^2-7x+10.
Voir le corrigé
  1. 2×12+3×1−5=02\times1^2+3\times1-5=0, donc x1=1x_1=1 est racine. Le produit des racines vaut ca=−52\dfrac ca=-\dfrac52, donc 1×x2=−521\times x_2=-\dfrac52 et x2=−52x_2=-\dfrac52. Contrôle avec la somme : 1−52=−32=−ba1-\frac52=-\frac32=-\frac ba. Ainsi 2x2+3x−5=2(x−1)(x+52)=(x−1)(2x+5)2x^2+3x-5=2(x-1)\left(x+\frac52\right)=(x-1)(2x+5).
  2. 2+5=72+5=7 et 2×5=102\times5=10. Les racines de x2−7x+10x^2-7x+10 sont donc 2 et 5, d'où x2−7x+10=(x−2)(x−5)x^2-7x+10=(x-2)(x-5).

Exercice 6 : Trouver l’erreur dans une inéquation

Moyen
Pour résoudre −2x2+x+3≥0-2x^2+x+3\geq0, un élève a écrit :
Δ=1+24=25\Delta=1+24=25, donc x1=−1−5−4=32x_1=\dfrac{-1-5}{-4}=\dfrac32 et x2=−1+5−4=−1x_2=\dfrac{-1+5}{-4}=-1. Un trinôme est positif à l'extérieur de ses racines, donc S=]−∞ ;−1]∪[32 ;+∞[S=\mathopen{]}-\infty\,;-1]\cup[\tfrac32\,;+\infty\mathclose{[}.
  1. Vérifier le discriminant et les racines.
  2. Tester la valeur x=0x=0 dans l'inéquation. Que montre ce test ?
  3. Identifier l'erreur de raisonnement et donner l'ensemble des solutions correct.
Voir le corrigé
  1. Avec a=−2a=-2, b=1b=1, c=3c=3 : Δ=12−4×(−2)×3=25\Delta=1^2-4\times(-2)\times3=25, et les racines 32\frac32 et −1-1 sont justes. Les calculs ne sont pas en cause.
  2. Pour x=0x=0 : −2×02+0+3=3≥0-2\times0^2+0+3=3\geq0. Donc 0 est solution, alors qu'il n'appartient pas à l'ensemble proposé. La réponse est forcément fausse.
  3. La règle est « le trinôme a le signe de aa à l'extérieur des racines ». L'élève l'a appliquée comme si aa était positif. Ici a=−2<0a=-2\lt 0 : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.
    xx−∞-\infty−1-132\frac32+∞+\infty
    −2x2+x+3-2x^2+x+3−-00++00−-
    L'inégalité est large, les racines sont incluses : S=[−1 ;32]S=\left[-1\,;\tfrac32\right].
Le test d'une valeur simple, comme x=0x=0, prend dix secondes et détecte ce genre d'erreur à coup sûr.

Exercice 7 : Tableau de signes d’un quotient

Moyen
Résoudre dans R\mathbb R l'inéquation x2−2x−3x−4≤0\dfrac{x^2-2x-3}{x-4}\leq0.
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Valeur interdite : x=4x=4. Numérateur : Δ=4+12=16\Delta=4+12=16, racines 2−42=−1\frac{2-4}{2}=-1 et 2+42=3\frac{2+4}{2}=3, avec a=1>0a=1\gt 0. Dénominateur : x−4x-4 s'annule en 4 et est positif après 4.
xx−∞-\infty−1-13344+∞+\infty
x2−2x−3x^2-2x-3++00−-00++++
x−4x-4−-−-−-00++
quotient−-00++00−-∥\Vert++
Le quotient est négatif ou nul sur ]−∞ ;−1]\mathopen{]}-\infty\,;-1] et sur [3 ;4[[3\,;4\mathclose{[} : S=]−∞ ;−1]∪[3 ;4[S=\mathopen{]}-\infty\,;-1]\cup[3\,;4\mathclose{[}. Le crochet est ouvert en 4 parce que le quotient n'y existe pas.

Exercice 8 : Équation avec paramètre

Moyen
Soit mm un réel. On considère l'équation (Em):x2−2mx+m+2=0(E_m) : x^2-2mx+m+2=0.
  1. Montrer que le discriminant de (Em)(E_m) vaut 4(m−2)(m+1)4(m-2)(m+1).
  2. Selon les valeurs de mm, donner le nombre de solutions de (Em)(E_m).
  3. Pour les valeurs de mm où (Em)(E_m) a une seule solution, la calculer.
Indication
Ici a=1a=1, b=−2mb=-2m, c=m+2c=m+2. Le discriminant est lui-même un trinôme en mm : on étudie son signe.
Voir le corrigé
  1. Δ=(−2m)2−4(m+2)=4m2−4m−8=4(m2−m−2)\Delta=(-2m)^2-4(m+2)=4m^2-4m-8=4(m^2-m-2). Le trinôme m2−m−2m^2-m-2 a pour racine évidente −1-1 et pour produit des racines −2-2, donc l'autre racine est 2 : m2−m−2=(m+1)(m−2)m^2-m-2=(m+1)(m-2). Ainsi Δ=4(m−2)(m+1)\Delta=4(m-2)(m+1).
  2. Δ\Delta est un trinôme en mm de coefficient positif, de racines −1-1 et 22 :
    • si m<−1m\lt -1 ou m>2m\gt 2, Δ>0\Delta\gt 0 : deux solutions ;
    • si m=−1m=-1 ou m=2m=2, Δ=0\Delta=0 : une solution ;
    • si −1<m<2-1\lt m\lt 2, Δ<0\Delta\lt 0 : aucune solution.
  3. La solution unique vaut −b2a=m-\dfrac{b}{2a}=m. Pour m=−1m=-1 : x2+2x+1=(x+1)2=0x^2+2x+1=(x+1)^2=0, solution −1-1. Pour m=2m=2 : x2−4x+4=(x−2)2=0x^2-4x+4=(x-2)^2=0, solution 22.

Exercice 9 : Retrouver un trinôme

Moyen
Déterminer la fonction polynôme du second degré ff qui s'annule en −1-1 et en 33, et telle que f(0)=6f(0)=6. Donner ensuite son sommet.
Indication
Une fonction qui s'annule en x1x_1 et x2x_2 s'écrit a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2). Il ne reste qu'à trouver aa.
Voir le corrigé
ff s'annule en −1-1 et 33, donc f(x)=a(x+1)(x−3)f(x)=a(x+1)(x-3) avec a≠0a\neq0. La condition f(0)=6f(0)=6 donne a×1×(−3)=6a\times1\times(-3)=6, donc a=−2a=-2 :
f(x)=−2(x+1)(x−3)=−2x2+4x+6.f(x)=-2(x+1)(x-3)=-2x^2+4x+6.
Par symétrie, l'abscisse du sommet est la moyenne des racines : α=−1+32=1\alpha=\frac{-1+3}{2}=1, et f(1)=−2×2×(−2)=8f(1)=-2\times2\times(-2)=8. Le sommet est S(1 ;8)S(1\,;8), c'est un maximum puisque a<0a\lt 0.

Niveau 3 : exercices difficiles

Exercice 10 : Changement de variable

Difficile
  1. Résoudre x4−5x2+4=0x^4-5x^2+4=0 en posant X=x2X=x^2.
  2. Résoudre x−5x+6=0x-5\sqrt x+6=0 sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty\mathclose{[} en posant X=xX=\sqrt x.
Voir le corrigé
  1. Avec X=x2X=x^2, l'équation devient X2−5X+4=0X^2-5X+4=0. X=1X=1 est racine évidente et le produit des racines vaut 4, donc X=1X=1 ou X=4X=4. On revient à xx : x2=1x^2=1 donne x=±1x=\pm1, et x2=4x^2=4 donne x=±2x=\pm2. S={−2 ;−1 ;1 ;2}S=\{-2\,;-1\,;1\,;2\}.
  2. Pour x≥0x\geq0, x=(x)2=X2x=(\sqrt x)^2=X^2. L'équation devient X2−5X+6=0X^2-5X+6=0, de racines X=2X=2 et X=3X=3 (somme 5, produit 6). Ces deux valeurs sont positives, donc acceptables : x=2\sqrt x=2 donne x=4x=4 et x=3\sqrt x=3 donne x=9x=9. S={4 ;9}S=\{4\,;9\}.
Si l'on avait trouvé une valeur de XX négative, elle aurait été rejetée : ni x2x^2 ni x\sqrt x ne peuvent être négatifs.

Exercice 11 : Polynôme de degré 3 avec une racine connue

Difficile
Soit P(x)=x3−2x2−5x+6P(x)=x^3-2x^2-5x+6.
  1. Calculer P(1)P(1).
  2. Déterminer les réels bb et cc tels que P(x)=(x−1)(x2+bx+c)P(x)=(x-1)(x^2+bx+c) pour tout xx.
  3. Résoudre P(x)=0P(x)=0, puis P(x)>0P(x)\gt 0.
Indication
Développer (x−1)(x2+bx+c)(x-1)(x^2+bx+c) et identifier les coefficients avec ceux de PP.
Voir le corrigé
  1. P(1)=1−2−5+6=0P(1)=1-2-5+6=0, donc 1 est racine de PP.
  2. (x−1)(x2+bx+c)=x3+(b−1)x2+(c−b)x−c(x-1)(x^2+bx+c)=x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c. Par identification avec x3−2x2−5x+6x^3-2x^2-5x+6 : b−1=−2b-1=-2, c−b=−5c-b=-5, −c=6-c=6. Donc b=−1b=-1 et c=−6c=-6, et la deuxième équation est vérifiée : −6+1=−5-6+1=-5. Ainsi P(x)=(x−1)(x2−x−6)P(x)=(x-1)(x^2-x-6).
  3. x2−x−6x^2-x-6 a pour racines 33 et −2-2 (somme 1, produit −6-6), donc P(x)=(x−1)(x−3)(x+2)P(x)=(x-1)(x-3)(x+2). P(x)=0P(x)=0 pour x∈{−2 ;1 ;3}x\in\{-2\,;1\,;3\}.
    xx−∞-\infty−2-21133+∞+\infty
    x−1x-1−-−-00++++
    x2−x−6x^2-x-6++00−-−-00++
    P(x)P(x)−-00++00−-00++
    P(x)>0P(x)\gt 0 pour x∈]−2 ;1[∪]3 ;+∞[x\in\mathopen{]}-2\,;1\mathclose{[}\cup\mathopen{]}3\,;+\infty\mathclose{[}.

Exercice 12 : Parabole et droite

Difficile
Dans un repère, on considère la parabole P:y=x2−3x+1\mathcal P : y=x^2-3x+1.
  1. Déterminer les points d'intersection de P\mathcal P avec la droite D:y=x−2D : y=x-2.
  2. Pour quelle valeur de kk la droite Dk:y=x+kD_k : y=x+k a-t-elle un seul point commun avec P\mathcal P ? Donner ce point.
Indication
Un point commun vérifie les deux équations : on égalise les deux expressions de yy. « Un seul point commun » se traduit par Δ=0\Delta=0.
Voir le corrigé
  1. x2−3x+1=x−2x^2-3x+1=x-2 équivaut à x2−4x+3=0x^2-4x+3=0. Racine évidente 1, produit 3, donc x=1x=1 ou x=3x=3. Les ordonnées se calculent avec la droite, plus simple : y=1−2=−1y=1-2=-1 et y=3−2=1y=3-2=1. Les points d'intersection sont A(1 ;−1)A(1\,;-1) et B(3 ;1)B(3\,;1).
  2. x2−3x+1=x+kx^2-3x+1=x+k équivaut à x2−4x+1−k=0x^2-4x+1-k=0. Un seul point commun quand Δ=16−4(1−k)=12+4k=0\Delta=16-4(1-k)=12+4k=0, soit k=−3k=-3. La solution double vaut −b2a=2-\frac{b}{2a}=2, et y=2−3=−1y=2-3=-1. Le point commun est T(2 ;−1)T(2\,;-1) : la droite y=x−3y=x-3 est tangente à la parabole en TT.

Exercice 13 : L’enclos le plus grand

Difficile
Un éleveur dispose de 40 m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire adossé à un mur : le grillage ne couvre que trois côtés. On note xx la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.
  1. Exprimer l'aire A(x)A(x) de l'enclos en fonction de xx, et préciser les valeurs possibles de xx.
  2. Pour quelle valeur de xx l'aire est-elle maximale ? Quelle est cette aire ?
  3. Pour quelles valeurs de xx l'aire est-elle au moins égale à 150 m² ?
Indication
Le côté parallèle au mur mesure 40−2x40-2x. Pour le maximum, la forme canonique ou la symétrie des racines suffit.
Voir le corrigé
  1. Le côté parallèle au mur mesure 40−2x40-2x, donc A(x)=x(40−2x)=−2x2+40xA(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x. Les longueurs doivent être strictement positives : x>0x\gt 0 et 40−2x>040-2x\gt 0, soit x∈]0 ;20[x\in\mathopen{]}0\,;20\mathclose{[}.
  2. Les racines de AA sont 0 et 20, et a=−2<0a=-2\lt 0 : le maximum est atteint au milieu des racines, en x=10x=10. A(10)=10×20=200A(10)=10\times20=200. L'aire maximale est 200 m², pour un enclos de 10 m sur 20 m.
  3. A(x)≥150A(x)\geq150 équivaut à −2x2+40x−150≥0-2x^2+40x-150\geq0, soit, en divisant par −2-2 (ce qui change le sens), x2−20x+75≤0x^2-20x+75\leq0. Les racines sont 5 et 15 (somme 20, produit 75), et ce trinôme est négatif entre ses racines. Donc x∈[5 ;15]x\in[5\,;15], qui est bien inclus dans ]0 ;20[\mathopen{]}0\,;20\mathclose{[}.

Problème type bac : le bénéfice d’une entreprise

Problème : produire combien pour gagner le plus ?

Type bac
Une entreprise fabrique et vend qq centaines d'objets par jour, avec q∈[0 ;10]q\in[0\,;10]. Le coût de production, en milliers d'euros, est C(q)=q2+2q+9C(q)=q^2+2q+9 et la recette vaut R(q)=10qR(q)=10q.
  1. Montrer que le bénéfice est B(q)=−q2+8q−9B(q)=-q^2+8q-9. Calculer B(1)B(1) et B(4)B(4), et interpréter.
  2. Écrire B(q)B(q) sous forme canonique.
  3. En déduire la production qui donne le bénéfice maximal, et ce bénéfice.
  4. Déterminer les productions pour lesquelles l'entreprise est rentable (B(q)≥0B(q)\geq0). Donner des valeurs approchées au centième.
  5. Retrouver le résultat de la question 3 à l'aide de la dérivée de BB.
Indication
Bénéfice = recette − coût. Pour la forme canonique, factoriser par −1-1 avant de compléter le carré.
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  1. B(q)=R(q)−C(q)=10q−q2−2q−9=−q2+8q−9B(q)=R(q)-C(q)=10q-q^2-2q-9=-q^2+8q-9. B(1)=−1+8−9=−2B(1)=-1+8-9=-2 : avec 100 objets, l'entreprise perd 2 000 €. B(4)=−16+32−9=7B(4)=-16+32-9=7 : avec 400 objets, elle gagne 7 000 €.
  2. B(q)=−(q2−8q)−9=−[(q−4)2−16]−9=−(q−4)2+7B(q)=-(q^2-8q)-9=-\left[(q-4)^2-16\right]-9=-(q-4)^2+7.
  3. Pour tout qq, −(q−4)2≤0-(q-4)^2\leq0, donc B(q)≤7B(q)\leq7, avec égalité pour q=4q=4. Le bénéfice maximal est 7 000 €, obtenu pour 400 objets par jour.
  4. Δ=64−36=28\Delta=64-36=28 et 28=27\sqrt{28}=2\sqrt7. Les racines sont q1=−8+27−2=4−7≈1,35q2=−8−27−2=4+7≈6,65.\begin{aligned}q_1&=\frac{-8+2\sqrt7}{-2}=4-\sqrt7\approx1{,}35\\ q_2&=\frac{-8-2\sqrt7}{-2}=4+\sqrt7\approx6{,}65.\end{aligned} Comme a=−1<0a=-1\lt 0, BB est positif entre les racines. L'entreprise est rentable pour q∈[4−7 ;4+7]q\in\left[4-\sqrt7\,;4+\sqrt7\right], soit entre 135 et 665 objets environ.
  5. B′(q)=−2q+8B^{\prime}(q)=-2q+8, qui s'annule en q=4q=4, est positive avant et négative après. BB est donc croissante sur [0 ;4][0\,;4] puis décroissante sur [4 ;10][4\,;10] : le maximum est bien B(4)=7B(4)=7.

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