Puissances et racines carrées Seconde : 10 exercices corrigés

Ces dix exercices corrigés distinguent les situations qui se ressemblent à tort : signe d'une puissance, exposant négatif, produit de puissances, notation scientifique, simplification d'une racine et somme sous un radical. Les solutions détaillent les transformations utiles sans remplacer les calculs par un rappel de cours.

Les conditions de chaque formule sont réunies dans le cours de puissances et racines carrées en Seconde. Le classement des résultats rationnels ou irrationnels peut être revu dans le cours sur les nombres réels.

Table des Matières

Maîtriser les puissances et leurs signes

Exercice 1 : calculer sans confondre les parenthèses

Facile

Calculer exactement :

$(-4)^2$ et $-4^2$ .
$(-2)^5$ et $-(-2)^4$ .
$\left(\frac32\right)^3$ et $\left(-\frac12\right)^4$ .

Indication

Repérer la base complète avant d'utiliser la parité de l'exposant.

Voir le corrigé

$(-4)^2=16$ , tandis que $-4^2=-(4^2)=-16$ .
$(-2)^5=-32$ , et $-(-2)^4=-16$ .
$\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{8}$ , et $\left(-\frac12\right)^4=\frac1{16}$ .

Exercice 2 : réduire trois expressions de même base

Facile

Écrire sous la forme $a^n$ , puis calculer lorsque c'est raisonnable.

$A=3^4\times3^7$ .
$B=\frac{5^9}{5^6}$ .
$C=\frac{2^7\times2^{-3}}{2^2}$ .

Indication

Dans un produit, additionner les exposants. Dans un quotient, soustraire l'exposant du dénominateur.

Voir le corrigé

1. $A=3^{4+7}=3^{11}$ .

2. $B=5^{9-6}=5^3=125$ .

3. $C=2^{7-3-2}=2^2=4$ .

Exercice 3 : éliminer les exposants négatifs

Moyen

On suppose $x\ne0$ et $y\ne0$ . Réécrire sans exposant négatif :

$2^{-5}$ .
$\frac{x^{-3}}{x^2}$ .
$(3x^{-2}y)^2$ .

Indication

Une puissance négative passe au dénominateur. Développer d'abord la puissance du produit dans la troisième expression.

Voir le corrigé

$2^{-5}=\frac1{2^5}=\frac1{32}$ .
$\frac{x^{-3}}{x^2}=x^{-5}=\frac1{x^5}$ .
$(3x^{-2}y)^2=9x^{-4}y^2=\frac{9y^2}{x^4}$ .

Exercice 4 : estimer une quantité microscopique

Moyen

Une particule a une masse de $6{,}4\times10^{-18}$ g. Un échantillon contient $2{,}5\times10^7$ particules.

Calculer la masse totale en grammes.
Écrire le résultat en notation scientifique.
Convertir cette masse en kilogrammes.

Indication

Multiplier

6{,}4

par

2{,}5

, additionner les exposants, puis remettre le coefficient entre

1

10

Voir le corrigé

1. $6{,}4\times2{,}5=16$ et $10^{-18}\times10^7=10^{-11}$ . La masse vaut donc $16\times10^{-11}$ g.

2. $16\times10^{-11}=1{,}6\times10^{-10}$ g.

3. Un gramme vaut $10^{-3}$ kg, donc la masse est $1{,}6\times10^{-13}$ kg.

Simplifier et calculer avec des racines

Exercice 5 : extraire les carrés parfaits

Facile

Simplifier :

$\sqrt{72}$ .
$\sqrt{180}$ .
$\sqrt{147}$ .

Indication

Chercher respectivement les facteurs carrés

36

36

49

Voir le corrigé

$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$ .
$\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=6\sqrt5$ .
$\sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=7\sqrt3$ .

Exercice 6 : regrouper des radicaux semblables

Moyen

Calculer sous forme exacte :

$A=\sqrt{50}+3\sqrt8-\sqrt{18}$ .
$B=(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)$ .
$C=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}$ .

Indication

Réduire chaque racine avant d'additionner. Pour

B

, reconnaître un produit de deux conjugués.

Voir le corrigé

1. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ , $3\sqrt8=6\sqrt2$ et $\sqrt{18}=3\sqrt2$ . Ainsi $A=8\sqrt2$ .

2. $B=(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1$ .

3. $C=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$ .

Exercice 7 : traiter √((x - 4)²) selon x

Moyen

Simplifier $\sqrt{(x-4)^2}$ pour tout réel $x$ .
Donner une expression sans valeur absolue lorsque $x\ge4$ .
Donner une expression sans valeur absolue lorsque $x<4$ .
Calculer pour $x=-1$ et pour $x=7$ .

Indication

\sqrt{u^2}=|u|

. Ensuite, le signe de

x-4

dépend de la position de

x

par rapport à

4

Voir le corrigé

1. $\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|$ .

2. Si $x\ge4$ , alors $x-4\ge0$ , donc $|x-4|=x-4$ .

3. Si $x<4$ , alors $x-4<0$ , donc $|x-4|=4-x$ .

4. Pour $x=-1$ , le résultat vaut $4-(-1)=5$ . Pour $x=7$ , il vaut $7-4=3$ .

Exercice 8 : vérifier les conditions d’existence

Difficile

Pour chaque expression, déterminer les réels $x$ pour lesquels elle est définie.

$\sqrt{x+3}$ .
$\frac1{\sqrt{x-2}}$ .
$\sqrt{(x-1)(x+4)}$ .

Indication

Sous une racine, l'expression doit être positive ou nulle. Au dénominateur, elle doit en plus être non nulle.

Voir le corrigé

1. $x+3\ge0$ , donc $x\in[-3;+\infty[$ .

2. Il faut $x-2>0$ , car la racine est au dénominateur. Ainsi $x\in]2;+\infty[$ .

3. Le produit $(x-1)(x+4)$ est positif ou nul à l'extérieur de ses racines $-4$ et $1$ . Le domaine est $]-\infty;-4]\cup[1;+\infty[$ .

Détecter une règle fausse et comparer

Exercice 9 : corriger une fausse distribution

Moyen

Tom écrit $\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}=7$ .

Calculer directement le membre de gauche.
Localiser l'égalité fausse dans sa chaîne de calcul.
Donner une règle correcte qui ressemble à celle qu'il a utilisée.

Indication

Comparer

\sqrt{25}

3+4

, puis remplacer la somme sous la racine par un produit pour retrouver une formule valide.

Voir le corrigé

1. $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ .

2. L'égalité $\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}$ est fausse, puisque ses deux membres valent respectivement $5$ et $7$ .

3. Pour $a,b\ge0$ , la règle correcte est $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ . Elle concerne un produit, pas une somme.

Exercice 10 : comparer sans calculatrice

Difficile

Comparer $3\sqrt5$ et $2\sqrt{11}$ .
Comparer $\sqrt{50}$ et $7$ .
Ranger $\sqrt{15}$ , $4$ et $\sqrt{17}$ dans l'ordre croissant.

Indication

Toutes les quantités sont positives. Leur ordre est donc le même que celui de leurs carrés.

Voir le corrigé

1. $(3\sqrt5)^2=45$ et $(2\sqrt{11})^2=44$ . Donc $3\sqrt5>2\sqrt{11}$ .

2. $(\sqrt{50})^2=50$ et $7^2=49$ . Donc $\sqrt{50}>7$ .

3. Les carrés sont $15$ , $16$ et $17$ . Ainsi $\sqrt{15}<4<\sqrt{17}$ .

Pour progresser, refaites d'abord les exercices 1, 7 et 9 en expliquant à voix haute le rôle des parenthèses, de la valeur absolue et de la condition de positivité, puis vérifiez avec le tableau des règles du cours.