Ces exercices corrigés de Puissances et racines carrées en Seconde suivent une progression réelle : automatismes, choix de méthode, diagnostic d’erreur, justification et problème de synthèse. Chaque indication aide à démarrer sans révéler immédiatement la solution.
Avant la série, le cours de Puissances et racines carrées permet de revoir les propriétés utiles. Les exercices mobilisent aussi les nombres réels et irrationnels lorsque cette notion intervient naturellement dans le raisonnement.
Automatismes et repères sur Puissances et racines carrées
Cette première partie vérifie les écritures, les conditions d’emploi et les calculs qui doivent devenir fiables avant une synthèse.
Exercice 1 : Simplifier sans calculatrice
Facile
Simplifier \(2^5\times2^{-3}\), \(3^4/3^6\), \((5^2)^3\) et \(\sqrt{180}\).
- Donner une écriture exacte simplifiée.
- Justifier la simplification de la racine.
Indication
Voir le corrigé
Les résultats sont \(2^2=4\), \(3^{-2}=1/9\), \(5^6\) et \(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=6\sqrt5\).
Contrôle : élever au carré l’expression radicale simplifiée et vérifier qu’on retrouve le radicand, en tenant compte de la positivité.
Exercice 2 : Contrôle oral sur Puissances et racines carrées
Facile
Préparer une explication d’une minute autour de cette définition : Pour un réel a non nul et un entier positif n, a puissance moins n est l’inverse de a puissance n. L’exposant indique combien de facteurs sont combinés et le signe négatif porte sur l’exposant, non sur la valeur de la puissance.
- Donner la définition, une propriété, un exemple et une erreur à éviter.
Indication
Voir le corrigé
Définition : Pour un réel a non nul et un entier positif n, a puissance moins n est l’inverse de a puissance n. L’exposant indique combien de facteurs sont combinés et le signe négatif porte sur l’exposant, non sur la valeur de la puissance.
Propriété : Dans un produit de puissances de même base, les exposants s’additionnent. Dans un quotient, ils se soustraient. Une puissance d’une puissance multiplie les exposants. Ces règles supposent les dénominateurs non nuls lorsque des exposants négatifs interviennent.
Erreur à éviter : ne pas distribuer la racine sur une somme : racine de a+b n’est généralement pas racine de a plus racine de b. Les règles de produit ne justifient pas cette transformation.
Exercice 3 : Réduire une expression sans perdre le signe : reprise guidée
Facile
On simplifie A=\(2 puissance 5 fois 2 puissance moins 3\)/2, puis B=racine de 72 et C=racine de \(x-3\) au carré.
- Identifier les données utiles et la notion du cours à mobiliser.
- Effectuer le raisonnement ou le calcul en détaillant les étapes.
- Formuler un contrôle indépendant du résultat obtenu.
Indication
Voir le corrigé
- Pour A, les exposants donnent 5-3-1=1, donc A=2.
- Pour B, 72=36 fois 2 et racine de 36 vaut 6, donc B=6 racine de 2.
- Pour C, la quantité x-3 peut être négative : C=|x-3|.
- Si l’on sait en plus que x est supérieur ou égal à 3, alors seulement C=x-3.
Le contrôle final consiste à élever au carré l’expression radicale simplifiée et vérifier qu’on retrouve le radicand, en tenant compte de la positivité.
Exercice 4 : Reconstruire la méthode de Puissances et racines carrées
Moyen
Les étapes ci-dessous ont été mélangées. Elles ne forment plus une procédure fiable.
- Comparer l’expression obtenue à une estimation décimale pour contrôler l’ordre de grandeur.
- Conserver une valeur absolue lorsque le signe de la quantité mise au carré est inconnu.
- Dans une racine, extraire uniquement les facteurs qui sont des carrés parfaits.
- Traiter séparément produits, quotients et puissances de puissances.
- Déterminer les conditions d’existence et repérer les bases communes.
- Remettre les étapes dans un ordre logique.
- Expliquer pourquoi la dernière étape sert de contrôle et non de nouveau calcul.
Indication
Voir le corrigé
- Déterminer les conditions d’existence et repérer les bases communes.
- Traiter séparément produits, quotients et puissances de puissances.
- Dans une racine, extraire uniquement les facteurs qui sont des carrés parfaits.
- Conserver une valeur absolue lorsque le signe de la quantité mise au carré est inconnu.
- Comparer l’expression obtenue à une estimation décimale pour contrôler l’ordre de grandeur.
Cette organisation évite l’erreur signalée dans le cours : ne pas distribuer la racine sur une somme : racine de a+b n’est généralement pas racine de a plus racine de b. Les règles de produit ne justifient pas cette transformation.
Méthodes de résolution en Seconde
Les exercices suivants demandent de choisir une démarche, de détailler les transformations et de contrôler le résultat par une seconde lecture.
Exercice 5 : Rationaliser un calcul mêlé
Moyen
On pose \(A=(3\sqrt8-\sqrt{18})/\sqrt2\).
- Simplifier chaque radical.
- Calculer exactement \(A\).
- Vérifier numériquement l’ordre de grandeur.
Indication
Voir le corrigé
Le numérateur vaut \(6\sqrt2-3\sqrt2=3\sqrt2\). Par conséquent \(A=3\). L’expression initiale est positive et proche de 3, ce qui confirme le résultat exact.
Contrôle : élever au carré l’expression radicale simplifiée et vérifier qu’on retrouve le radicand, en tenant compte de la positivité.
Exercice 6 : Débusquer une erreur sur Puissances et racines carrées
Moyen
Un raisonnement conduit à l’affirmation suivante : ne pas distribuer la racine sur une somme : racine de a+b n’est généralement pas racine de a plus racine de b. Les règles de produit ne justifient pas cette transformation.
- Repérer précisément l’étape ou l’interprétation incorrecte.
- Énoncer la propriété correcte avec ses conditions.
- Proposer un exemple ou un contre-exemple simple.
- Indiquer comment contrôler la nouvelle conclusion.
Indication
Voir le corrigé
L’affirmation n’est pas recevable telle quelle. Dans un produit de puissances de même base, les exposants s’additionnent. Dans un quotient, ils se soustraient. Une puissance d’une puissance multiplie les exposants. Ces règles supposent les dénominateurs non nuls lorsque des exposants négatifs interviennent.
Un contrôle adapté consiste à élever au carré l’expression radicale simplifiée et vérifier qu’on retrouve le radicand, en tenant compte de la positivité.
Exercice 7 : Justifier puissances et racine d’un carré
Difficile
On veut établir la relation suivante sans se limiter à une vérification numérique : \[ a^p a^q=a^{p+q},\qquad \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q},\qquad \sqrt{a^2}=|a|. \]
- Rédiger une justification complète en citant les hypothèses utilisées.
Indication
Voir le corrigé
Pour a et b positifs, racine de a fois racine de b est positif et son carré vaut ab. Il est donc l’unique réel positif dont le carré vaut ab, c’est-à-dire racine de ab. La positivité est indispensable dans cette justification.
La relation obtenue est donc valable dans les conditions annoncées, et pas seulement pour l’exemple du cours.
Exercice 8 : Lire une représentation de Puissances et racines carrées
Moyen
L’écriture 6 racine de 2 est exacte et conserve la structure du nombre. L’affichage 8,485 de la calculatrice est approché. Une représentation sur la droite permet de situer la valeur sans effacer cette différence de statut.
- Nommer les objets ou grandeurs représentés.
- Traduire une information graphique en écriture mathématique.
- Retrouver une information par le calcul.
- Signaler une lecture impossible sans donnée supplémentaire.
- Comparer les deux modes de contrôle.
Indication
Voir le corrigé
L’écriture 6 racine de 2 est exacte et conserve la structure du nombre. L’affichage 8,485 de la calculatrice est approché. Une représentation sur la droite permet de situer la valeur sans effacer cette différence de statut.
La comparaison doit conserver les unités, le domaine et le sens des grandeurs. Toute conclusion graphique est contrôlée par élever au carré l’expression radicale simplifiée et vérifier qu’on retrouve le radicand, en tenant compte de la positivité.
Exercice 9 : Modéliser une application de Puissances et racines carrées
Difficile
Les puissances facilitent la notation scientifique et les modèles d’évolution. Les racines apparaissent dans les distances et les normes. Une simplification exacte rend ensuite plus lisibles une équation, une comparaison ou un calcul géométrique.
- Choisir une variable et préciser son domaine.
- Écrire la relation mathématique adaptée.
- Interpréter le résultat dans le contexte et vérifier sa vraisemblance.
Indication
Voir le corrigé
Les puissances facilitent la notation scientifique et les modèles d’évolution. Les racines apparaissent dans les distances et les normes. Une simplification exacte rend ensuite plus lisibles une équation, une comparaison ou un calcul géométrique.
La rédaction doit séparer le modèle, le calcul et l’interprétation. Pour finir, il faut élever au carré l’expression radicale simplifiée et vérifier qu’on retrouve le radicand, en tenant compte de la positivité.
Problèmes et raisonnements autour de Puissances et racines carrées
La dernière partie combine calcul, justification et interprétation. Une réponse numérique sans explication n’y constitue pas une solution complète.
Exercice 10 : Comparer deux très grands nombres
Difficile
Comparer \(A=2^{30}\) et \(B=8^9\) sans développer les nombres en écriture décimale.
- Écrire les deux nombres avec une même base.
- Comparer les exposants.
- Calculer le quotient du plus grand par le plus petit.
- Expliquer l’intérêt de cette stratégie.
Indication
Voir le corrigé
\(B=(2^3)^9=2^{27}\). Donc \(A>B\) et \(A/B=2^3=8\). La base commune permet une comparaison exacte sans manipuler des entiers à dix chiffres.
Contrôle : élever au carré l’expression radicale simplifiée et vérifier qu’on retrouve le radicand, en tenant compte de la positivité.