Puissances 3ème : 12 exercices corrigés

Cette série d'exercices corrigés sur les puissances en 3ème va de la lecture d'un exposant à la simplification d'expressions complexes. Le cours sur les règles de puissances aide à identifier la base commune.

Les signes et les fractions restent centraux ; les méthodes du calcul rationnel en 3ème servent donc de contrôle dans les exercices à exposant négatif.

Lire une puissance et maîtriser le signe

Les parenthèses déterminent la base. Un exposant négatif indique un inverse, pas un résultat négatif.

Exercice 1 : Parenthèses et signe

Facile

Calculer A=(−3)4A=(-3)^4, B=−34B=-3^4, C=(−3)5C=(-3)^5 et D=−(−3)4D=-(-3)^4.

  1. Donner les quatre valeurs.
  2. Expliquer pourquoi AA et BB sont opposés.
Indication

Dans −34-3^4, la puissance porte sur 33 avant l'application du signe moins.

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  1. A=81A=81, B=−81B=-81, C=−243C=-243 et D=−81D=-81.
  2. Les parenthèses font de −3-3 la base de AA. Dans BB, la base de la puissance est 33, puis on prend son opposé.

Exercice 2 : Passer d’un exposant négatif à une fraction

Facile

Écrire sans exposant négatif : 2−52^{-5}, (−4)−3(-4)^{-3} et (35)−2\left(\dfrac35\right)^{-2}.

  1. Donner chaque résultat sous forme de fraction irréductible.
Indication

Pour une base non nulle aa, on a a−n=1ana^{-n}=\dfrac1{a^n}.

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On obtient 2−5=1322^{-5}=\dfrac1{32}, (−4)−3=−164(-4)^{-3}=-\dfrac1{64} et (35)−2=(53)2=259\left(\dfrac35\right)^{-2}=\left(\dfrac53\right)^2=\dfrac{25}{9}.

Exercice 3 : Retrouver l’exposant inconnu

Moyen

Déterminer l'entier relatif nn dans chacune des égalités 5n=11255^n=\dfrac1{125} et 272n=2−4\dfrac{2^7}{2^n}=2^{-4}.

  1. Résoudre la première égalité.
  2. Réduire le quotient de la seconde à une seule puissance puis trouver nn.
Indication

Écrivez 125125 comme une puissance de 55, puis utilisez 2a/2b=2a−b2^a/2^b=2^{a-b}.

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  1. 1125=5−3\dfrac1{125}=5^{-3}, donc n=−3n=-3.
  2. 272n=27−n\dfrac{2^7}{2^n}=2^{7-n}. Ainsi 7−n=−47-n=-4, d'où n=11n=11.

Réduire une expression avec les règles de puissances

Avant de calculer, on cherche une base commune. Les exposants ne s'additionnent que dans un produit de puissances de même base.

Exercice 4 : Produit et quotient de même base

Facile

Simplifier E=76×7−273E=\dfrac{7^6\times7^{-2}}{7^3}, puis calculer sa valeur.

  1. Réunir les puissances en une seule.
  2. Calculer EE.
Indication

Au numérateur les exposants s'ajoutent, puis celui du dénominateur se soustrait.

Voir le corrigé
  1. E=76−2−3=71E=7^{6-2-3}=7^1.
  2. Donc E=7E=7.

Exercice 5 : Changer de base avant de simplifier

Moyen

Calculer exactement F=45×8−22−1F=\dfrac{4^5\times8^{-2}}{2^{-1}}.

  1. Écrire 44 et 88 comme puissances de 22.
  2. Réunir les exposants.
  3. Donner la valeur numérique.
Indication

Utilisez 4=224=2^2 et 8=238=2^3, sans développer les grands nombres.

Voir le corrigé
  1. F=(22)5×(23)−22−1F=\dfrac{(2^2)^5\times(2^3)^{-2}}{2^{-1}}.
  2. F=210−6−(−1)=25F=2^{10-6-(-1)}=2^5.
  3. Par conséquent F=32F=32.

Exercice 6 : Puissance d’un quotient

Moyen

Réduire G=(−65)3×(5−6)5G=\left(\dfrac{-6}{5}\right)^3\times\left(\dfrac5{-6}\right)^5.

  1. Réécrire le second facteur avec la même base que le premier.
  2. Donner le résultat sous forme d'une puissance, puis d'une fraction.
Indication

Les deux fractions sont inverses l'une de l'autre.

Voir le corrigé
  1. (5−6)5=(−65)−5\left(\dfrac5{-6}\right)^5=\left(\dfrac{-6}{5}\right)^{-5}.
  2. Alors G=(−65)3−5=(−65)−2=2536G=\left(\dfrac{-6}{5}\right)^{3-5}=\left(\dfrac{-6}{5}\right)^{-2}=\dfrac{25}{36}.

Exercice 7 : Expression imbriquée

Difficile

Simplifier H=3−2×93272H=\dfrac{3^{-2}\times9^3}{27^2} sans calculatrice.

  1. Tout écrire comme une puissance de 33.
  2. Calculer l'exposant résultant.
  3. Écrire le résultat sans exposant négatif.
Indication

Une puissance d'une puissance multiplie les exposants.

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  1. H=3−2×(32)3(33)2H=\dfrac{3^{-2}\times(3^2)^3}{(3^3)^2}.
  2. L'exposant total vaut −2+6−6=−2-2+6-6=-2.
  3. Donc H=3−2=19H=3^{-2}=\dfrac19.

Comparer, contrôler et corriger un raisonnement

Une estimation ou un contre-exemple permet souvent de repérer une règle appliquée hors de son domaine.

Exercice 8 : Comparer sans écrire les nombres entiers

Moyen

Comparer 2152^{15} et 474^7, puis 3−43^{-4} et 3−63^{-6}.

  1. Ramener le premier couple à la base 22.
  2. Comparer le second couple en justifiant l'effet de l'exposant négatif.
Indication

Pour le second couple, transformez chaque puissance en inverse d'une puissance positive.

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  1. 47=(22)7=2144^7=(2^2)^7=2^{14}, donc 215>472^{15}\gt4^7.
  2. 3−4=1343^{-4}=\dfrac1{3^4} et 3−6=1363^{-6}=\dfrac1{3^6}. Comme 34<363^4\lt3^6, leurs inverses vérifient 3−4>3−63^{-4}\gt3^{-6}.

Exercice 9 : Une addition qui ne fusionne pas les exposants

Moyen

Un élève affirme que 23+24=272^3+2^4=2^7 et que 56−54=525^6-5^4=5^2.

  1. Calculer les deux membres de la première affirmation.
  2. Factoriser correctement 56−545^6-5^4.
  3. Énoncer la condition qui autorise l'addition ou la soustraction des exposants.
Indication

Les règles sur les exposants concernent un produit ou un quotient, jamais directement une somme ou une différence.

Voir le corrigé
  1. 23+24=8+16=242^3+2^4=8+16=24, tandis que 27=1282^7=128. La première affirmation est fausse.
  2. 56−54=54(52−1)=24×545^6-5^4=5^4(5^2-1)=24\times5^4, et non 525^2.
  3. On additionne les exposants dans am×ana^m\times a^n, et on les soustrait dans am/ana^m/a^n lorsque a≠0a\ne0.

Exercice 10 : Identifier deux expressions équivalentes

Difficile

Parmi P=(23)4P=(2^3)^4, Q=23×24Q=2^3\times2^4, R=46R=4^6 et S=84S=8^4, repérer toutes les expressions égales.

  1. Écrire chaque expression comme une puissance de 22.
  2. Former les groupes d'expressions égales.
  3. Expliquer l'erreur d'un élève qui associe PP et QQ.
Indication

Pour (am)n(a^m)^n, les exposants se multiplient ; dans am×ana^m\times a^n, ils s'additionnent.

Voir le corrigé
  1. P=212P=2^{12}, Q=27Q=2^7, R=(22)6=212R=(2^2)^6=2^{12} et S=(23)4=212S=(2^3)^4=2^{12}.
  2. Le seul groupe de plusieurs expressions égales est P=R=SP=R=S. QQ reste seul.
  3. L'élève a remplacé le produit des exposants de (23)4(2^3)^4 par leur somme.

Utiliser une factorisation et interpréter une puissance

Les puissances servent aussi à démontrer une divisibilité ou à modéliser une évolution répétée.

Exercice 11 : Divisibilité pour tout entier naturel

Difficile

Pour un entier naturel nn, on pose K=5n+2+5n+1K=5^{n+2}+5^{n+1}.

  1. Mettre la plus petite puissance de 55 en facteur.
  2. Montrer que KK est divisible par 3030.
  3. Vérifier la propriété pour n=0n=0.
Indication

Les deux termes contiennent 5n+15^{n+1}.

Voir le corrigé
  1. K=5n+1(5+1)=6×5n+1K=5^{n+1}(5+1)=6\times5^{n+1}.
  2. Comme nn est naturel, 5n+15^{n+1} contient au moins un facteur 55. Ainsi K=30×5nK=30\times5^n, donc 3030 divise KK.
  3. Pour n=0n=0, K=25+5=30K=25+5=30, ce qui confirme le résultat.

Exercice 12 : Échelle d’une maquette

Moyen

Une maquette est réalisée à l'échelle 2−52^{-5}. Une tour réelle mesure 9696 m.

  1. Écrire l'échelle sous forme d'une fraction.
  2. Calculer la hauteur de la maquette en mètres puis en centimètres.
  3. Retrouver la hauteur réelle à partir de la maquette.
Indication

Une longueur sur la maquette est la longueur réelle multipliée par l'échelle.

Voir le corrigé
  1. 2−5=1322^{-5}=\dfrac1{32}.
  2. La maquette mesure 96×132=396\times\dfrac1{32}=3 m, soit 300300 cm.
  3. En multipliant 33 m par 25=322^5=32, on retrouve 9696 m.
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