Puissances 3ème : 12 exercices corrigés

Cette série d’exercices corrigés sur les puissances en 3ème va de la lecture d’un exposant à la simplification d’expressions complexes. Le cours sur les règles de puissances aide à identifier la base commune.

Les signes et les fractions restent centraux ; les méthodes du calcul rationnel en 3ème servent donc de contrôle dans les exercices à exposant négatif.

Lire et calculer une puissance

L’exposant indique le nombre de facteurs égaux à la base ; il ne multiplie pas la base.

Exercice 1 : De l’écriture au produit

Facile

On considère \(2^5\), \((-3)^4\), \(-3^4\) et \(\left(\frac12\right)^3\).

  1. Écrire chaque puissance comme un produit.
  2. Calculer les quatre valeurs.
  3. Comparer \((-3)^4\) et \(-3^4\).
Indication

Les parenthèses déterminent si le signe moins appartient à la base.

Voir le corrigé
  1. \(2^5=2\times2\times2\times2\times2\), \((-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)\), \(-3^4=-(3\times3\times3\times3)\), et \(\left(\frac12\right)^3=\frac12\times\frac12\times\frac12\).
  2. Les valeurs sont \(32\), \(81\), \(-81\) et \(\frac18\).
  3. La première base est \(-3\) ; dans la seconde, le signe moins reste extérieur à la puissance.

Exercice 2 : Exposant nul et exposant un

Facile

Calculer \(7^1\), \((-12)^0\), \(1^{2026}\), \((-1)^{15}\) et \((-1)^{16}\).

  1. Donner les cinq valeurs.
  2. Formuler la règle de l’exposant nul.
  3. Expliquer l’alternance des puissances de \(-1\).
Indication

Toute base non nulle élevée à la puissance zéro vaut \(1\).

Voir le corrigé
  1. Les valeurs sont \(7\), \(1\), \(1\), \(-1\) et \(1\).
  2. Pour tout nombre \(a\neq0\), \(a^0=1\).
  3. Un nombre pair de facteurs \(-1\) donne \(1\), tandis qu’un nombre impair en laisse un signe négatif.

Appliquer les règles sur une même base

On additionne les exposants dans un produit, on les soustrait dans un quotient et on les multiplie pour une puissance de puissance.

Exercice 3 : Produits de même base

Facile

Simplifier \(A=5^3\times5^7\), \(B=(-2)^4\times(-2)^3\) et \(C=x^6\times x^2\).

  1. Écrire chaque expression sous la forme d’une seule puissance, puis préciser le signe de \(B\).
Indication

La base doit être exactement la même avant d’additionner les exposants.

Voir le corrigé

\(A=5^{10}\), \(B=(-2)^7\) et \(C=x^8\). L’exposant \(7\) est impair et la base vaut \(-2\), donc \(B\) est négatif. Il ne faut pas multiplier les exposants dans un produit.

Exercice 4 : Quotients et simplification

Moyen

Simplifier \(D=\frac{3^9}{3^4}\), \(E=\frac{(-5)^6}{(-5)^2}\) et \(F=\frac{a^7}{a^7}\) avec \(a\neq0\).

  1. Donner une puissance pour \(D\).
  2. Donner une puissance puis le signe de \(E\).
  3. Simplifier \(F\).
  4. Justifier la condition \(a
    eq0\).
Indication

Dans un quotient de puissances de même base non nulle, soustrayez l’exposant du dénominateur.

Voir le corrigé
  1. \(D=3^{9-4}=3^5\).
  2. \(E=(-5)^{6-2}=(-5)^4>0\).
  3. \(F=a^{7-7}=a^0=1\).
  4. La condition exclut une division par zéro dans l’expression initiale.

Exercice 5 : Puissance d’une puissance

Moyen

Réduire \(G=(2^3)^4\), \(H=[(-3)^2]^5\) et \(K=(y^4)^3\times y^2\).

  1. Simplifier \(G\) et \(H\).
  2. Simplifier \(K\).
  3. Expliquer pourquoi \((2^3)^4
    eq2^7\).
Indication

Une puissance de puissance représente quatre groupes de trois facteurs \(2\), soit douze facteurs.

Voir le corrigé
  1. \(G=2^{12}\) et \(H=(-3)^{10}=3^{10}\).
  2. \(K=y^{12}\times y^2=y^{14}\).
  3. Dans \((2^3)^4\), le produit \(2^3\) est répété quatre fois ; les exposants se multiplient, ils ne s’additionnent pas.

Respecter les priorités et détecter les fausses règles

Une puissance est calculée avant les produits et les sommes, sauf si des parenthèses modifient la structure.

Exercice 6 : Priorités avec exposants

Moyen

Calculer \(L=3+2^4\times5\), \(M=(3+2)^4\div25\) et \(N=-2^4+(-2)^3\).

  1. Calculer \(L\).
  2. Calculer \(M\).
  3. Calculer \(N\).
  4. Indiquer les deux bases utilisées dans \(N\).
Indication

Dans \(N\), le premier signe moins est extérieur ; le second appartient à la base parenthésée.

Voir le corrigé
  1. \(L=3+16\times5=83\).
  2. \(M=5^4\div25=625\div25=25\).
  3. \(N=-16-8=-24\).
  4. Les bases des puissances sont \(2\) puis \(-2\).

Exercice 7 : Trois affirmations à auditer

Difficile

On lit : \(2^3+2^4=2^7\), \(6^5\div6^2=6^3\) et \((4^2)^3=4^5\).

  1. Décider quelles affirmations sont vraies.
  2. Corriger chaque affirmation fausse.
  3. Donner un contre-exemple numérique à la fausse règle sur la somme.
  4. Énoncer les conditions de la règle du quotient.
Indication

Les règles d’exposants concernent produits, quotients et puissances de puissances, jamais une somme ordinaire.

Voir le corrigé
  1. Seule \(6^5\div6^2=6^3\) est vraie.
  2. \(2^3+2^4=8+16=24\), et \((4^2)^3=4^6\).
  3. \(24\neq2^7=128\), donc l’addition des exposants dans une somme est invalide.
  4. Il faut la même base non nulle ; on soustrait alors les exposants.

Exercice 8 : Choisir l’écriture la plus efficace

Moyen

Calculer mentalement \(P=\frac{8^4}{2^9}\).

  1. Réécrire \(8\) comme une puissance de \(2\).
  2. Simplifier \(P\).
  3. Calculer sa valeur.
  4. Vérifier par une autre décomposition.
Indication

\(8=2^3\), donc \(8^4=(2^3)^4\).

Voir le corrigé
  1. \(8^4=2^{12}\).
  2. \(P=2^{12-9}=2^3\).
  3. Donc \(P=8\).
  4. On peut aussi écrire \(8^4/2^9=(2^9\times2^3)/2^9=2^3\).

Modéliser une répétition

Les puissances condensent une multiplication répétée et permettent de comparer rapidement des croissances.

Exercice 9 : Épaisseur d’une feuille pliée

Moyen

Une feuille mesure \(0{,}1\) mm d’épaisseur. À chaque pliage théorique, son épaisseur double.

  1. Exprimer l’épaisseur après \(8\) pliages.
  2. Calculer cette épaisseur en millimètres.
  3. La comparer à \(2\) cm.
Indication

Après \(n\) pliages, le facteur multiplicatif est \(2^n\). Convertissez ensuite les millimètres en centimètres.

Voir le corrigé
  1. L’épaisseur vaut \(0{,}1\times2^8\) mm.
  2. \(2^8=256\), donc elle vaut \(25{,}6\) mm.
  3. Cela représente \(2{,}56\) cm, donc plus de \(2\) cm.

Exercice 10 : Cases d’un damier

Difficile

Sur la première case d’un damier on place \(1\) grain, puis on double la quantité à chaque nouvelle case.

  1. Écrire la quantité placée sur la dixième case.
  2. Calculer cette quantité.
  3. Exprimer la quantité de la douzième case à partir de celle de la dixième.
  4. Expliquer pourquoi la somme des dix premières cases n’est pas \(10^9\).
  5. Calculer cette somme à l’aide de \(1+2+4+\cdots+2^9=2^{10}-1\).
Indication

La première case correspond à \(2^0\), la dixième à \(2^9\).

Voir le corrigé
  1. La dixième case contient \(2^9\) grains.
  2. \(2^9=512\).
  3. La douzième contient \(2^{11}=2^9\times2^2\), soit quatre fois la dixième.
  4. Les quantités ne sont pas toutes égales à \(10^9\) ; elles forment des puissances successives de \(2\).
  5. La somme vaut \(2^{10}-1=1023\) grains.

Exposants négatifs et justification

Un exposant négatif produit un inverse ; il ne rend ni la base ni le résultat automatiquement négatif.

Exercice 11 : Simplifier sans calculatrice

Moyen

Simplifier \(B=\dfrac{3^{-2}\times9^3}{27^2}\).

  1. Écrire toutes les bases comme puissances de \(3\).
  2. Réunir les exposants.
  3. Donner une fraction irréductible.
Indication

Utilisez \(9=3^2\) et \(27=3^3\).

Voir le corrigé
  1. \(B=\dfrac{3^{-2}\times(3^2)^3}{(3^3)^2}\).
  2. L’exposant total est \(-2+6-6=-2\).
  3. \(B=3^{-2}=1/9\).

Exercice 12 : Une fausse règle générale

Difficile

Lou écrit \((a+b)^2=a^2+b^2\) pour tous réels (a,b).

  1. Tester avec \(a=1\) et \(b=2\).
  2. Développer correctement le carré.
  3. Préciser quand l’égalité proposée peut malgré tout être vraie.
  4. Formuler la conclusion logique.
Indication

Un contre-exemple réfute la règle ; le développement explique l’écart.

Voir le corrigé
  1. \((1+2)^2=9\), alors que \(1^2+2^2=5\).
  2. \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
  3. L’égalité proposée exige \(2ab=0\), donc \(a=0\) ou \(b=0\).
  4. Elle n’est pas une identité, même si elle fonctionne dans ces cas particuliers.
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