Ces exercices corrigés sur les programmes de calcul en 6ème font exécuter une suite d’instructions, construire un tableau d’essais, remonter un programme et traduire une procédure par une expression simple. Le cours d’initiation à l’algèbre explique variables, ordre des opérations et parenthèses. La série appartient au parcours de mathématiques de 6ème.
Exécuter un programme de calcul
Chaque instruction s’applique au résultat obtenu à l’étape précédente.
Exercice 1 : Suivre trois instructions
Facile
Choisir un nombre, ajouter \(5\), multiplier le résultat par \(3\), puis retirer \(4\).
- Exécuter avec \(2\).
- Exécuter avec \(10\).
- Exécuter avec \(0\).
Indication
Écrivez un résultat intermédiaire après chaque ligne.
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- Question 1. \(2\to7\to21\to17\).
- Question 2. \(10\to15\to45\to41\).
- Question 3. \(0\to5\to15\to11\).
Exercice 2 : Respecter l’ordre des instructions
Facile
Programme : multiplier le nombre par \(4\), puis ajouter \(7\).
- Quelle donnée faut-il repérer en premier dans « respecter l’ordre des instructions » ?
- Résultat pour \(3\) ?
- Résultat si l’on inverse les deux instructions ?
- Les deux programmes sont-ils équivalents ?
Indication
Comparer \(4\times3+7\) et \(4\times(3+7)\).
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- Question 1. Comparer \(4\times3+7\) et \(4\times(3+7)\).
- Question 2. \(3\times4+7=19\).
- Question 3. \((3+7)\times4=40\).
- Question 4. Non, l’ordre change le résultat.
Exercice 3 : Compléter un tableau d’essais
Facile
Programme : doubler le nombre puis soustraire \(3\).
- Résultats pour \(1\), \(4\) et \(8\).
- a. Quel nombre de départ donne \(7\) ? b. Quel nombre de départ donne \(17\) ?
Indication
Pour remonter, ajoutez \(3\), puis divisez par \(2\).
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- Question 1. \(-1\), \(5\) et \(13\).
- Question 2. a. \(7+3=10\), puis \(10\div2=5\). b. \(17+3=20\), puis \(20\div2=10\).
Traduire et comparer des programmes
Les parenthèses conservent la trace de l’ordre dans lequel les opérations sont effectuées.
Exercice 4 : Passer des mots à l’expression
Moyen
On note \(x\) le nombre choisi.
- Traduire « ajouter \(6\), puis multiplier par \(5\) ».
- Traduire « multiplier par \(5\), puis ajouter \(6\) ».
- Expliquer le rôle des parenthèses.
Indication
La première multiplication porte sur le résultat de l’addition.
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- Question 1. \(5(x+6)\).
- Question 2. \(5x+6\).
- Question 3. Elles indiquent que \(x+6\) doit être calculé avant la multiplication.
Exercice 5 : Comparer deux programmes par essais
Moyen
A : ajouter \(4\), puis doubler. B : doubler, puis ajouter \(8\).
- Avant de calculer, quelle stratégie convient pour l’exercice « comparer deux programmes par essais » ?
- Comparer pour \(3\).
- Comparer pour \(10\).
- Écrire les expressions et conclure.
Indication
Développez mentalement \(2(x+4)\).
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- Question 1. Développez mentalement \(2(x+4)\).
- Question 2. A et B donnent \(14\).
- Question 3. A et B donnent \(28\).
- Question 4. \(2(x+4)=2x+8\) : ils sont équivalents.
Exercice 6 : Trouver un nombre de départ
Moyen
On triple un nombre, on ajoute \(2\) et on obtient \(29\).
- Quelle opération inverse effectuer d’abord ?
- a. Retrouver le nombre. b. Vérifier en exécutant le programme.
Indication
Remontez les étapes dans l’ordre inverse.
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- Question 1. Retirer \(2\) : \(29-2=27\).
- Question 2. a. Puis \(27\div3=9\). b. \(9\times3+2=29\).
Corriger et concevoir un programme
Un programme correct doit être non ambigu et produire le résultat annoncé.
Exercice 7 : Repérer une parenthèse oubliée
Difficile
Le programme « ajouter \(2\), puis multiplier par \(7\) » est traduit par \(x+2\times7\).
- Tester la traduction pour \(x=3\).
- Exécuter le vrai programme.
- Donner l’expression correcte.
Indication
La multiplication est prioritaire dans l’expression proposée.
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- Question 1. \(3+2\times7=17\).
- Question 2. \((3+2)\times7=35\).
- Question 3. \(7(x+2)\).
Exercice 8 : Créer un programme à partir d’un objectif
Difficile
On veut obtenir \(4x-5\) à partir d’un nombre \(x\).
- Quelle relation ou représentation organise la résolution de « créer un programme à partir d’un objectif » ?
- Proposer deux instructions.
- Tester avec \(x=6\).
- Écrire le programme inverse pour retrouver \(x\) à partir du résultat.
Indication
Suivez l’ordre visible dans \(4x-5\), puis inversez-le.
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- Question 1. Suivez l’ordre visible dans \(4x-5\), puis inversez-le.
- Question 2. Multiplier par \(4\), puis soustraire \(5\).
- Question 3. \(6\times4-5=19\).
- Question 4. Ajouter \(5\), puis diviser par \(4\).
Exercice 9 : Comparer deux programmes pour une valeur
Moyen
Programme A : choisir un nombre, ajouter \(3\), puis multiplier par \(2\). Programme B : choisir un nombre, multiplier par \(2\), puis ajouter \(6\).
- Tester les deux programmes avec \(5\).
- a. Tester avec \(1,5\). b. Que peut-on conjecturer ?
Indication
Respectez l’ordre des instructions dans chaque programme.
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- Question 1. A : \((5+3)\times2=16\) ; B : \(5\times2+6=16\).
- Question 2. a. A : \((1,5+3)\times2=9\) ; B : \(1,5\times2+6=9\). b. Les deux programmes semblent toujours donner le même résultat.
Exercice 10 : Concevoir un programme inverse
Difficile
Un programme multiplie le nombre choisi par \(4\), puis soustrait \(7\). Le résultat affiché est \(25\).
- Quelles opérations inverses faut-il effectuer ?
- Retrouver le nombre choisi.
- Vérifier en exécutant le programme initial.
Indication
Remontez le programme dans l’ordre inverse.
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- Question 1. Il faut ajouter \(7\), puis diviser par \(4\).
- Question 2. \((25+7)\div4=8\).
- Question 3. \(8\times4-7=32-7=25\).