Probabilités conditionnelles Première : 7 exercices corrigés

Tableau croisé et arbre pondéré donnent deux lectures d'une même situation conditionnelle. La série traite les faux positifs, la formule des probabilités totales et l'indépendance, avec une attention particulière au sens de la probabilité calculée.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Probabilités conditionnelles. Les arbres et inversions de conditionnement sont développés dans le cours complet de probabilités conditionnelles.

Bases de Probabilités conditionnelles : Lire un tableau croisé

Exercice 1 : Lire un tableau croisé

Facile

Sur 200 élèves, 120 pratiquent un sport S, 70 jouent d'un instrument I et 45 font les deux.

  1. Calculer P(S)P(S), P(I)P(I) et P(S∩I)P(S\cap I).
  2. Calculer PS(I)P_S(I).
  3. Calculer la probabilité de ne faire aucune activité.
Indication
Compléter d'abord les quatre cases du tableau.
Voir le corrigé
  1. P(S)=120/200=0,60P(S)=120/200=0{,}60, P(I)=70/200=0,35P(I)=70/200=0{,}35 et P(S∩I)=45/200=0,225P(S\cap I)=45/200=0{,}225.
  2. PS(I)=P(I∣S)=45/120=0,375P_S(I)=P(I\mid S)=45/120=0{,}375.
  3. L'union contient 120+70−45=145120+70-45=145 élèves. Il en reste 55 sans activité, soit 55/200=0,27555/200=0{,}275.

Exercice 2 : Arbre et formule des probabilités totales

Moyen

Une machine A produit 60 % des pièces avec 2 % de défauts. B produit le reste avec 5 % de défauts.

  1. Construire l'arbre.
  2. Calculer la probabilité d'un défaut.
  3. Calculer la probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de B.
Indication
Additionner les probabilités des deux chemins menant au défaut.
Voir le corrigé
  1. L'arbre commence par A de probabilité 0,6 et B de probabilité 0,4. Les branches de défaut valent ensuite 0,02 après A et 0,05 après B.
  2. P(D)=0,6×0,02+0,4×0,05=0,032P(D)=0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05=0{,}032.
  3. PD(B)=P(B∩D)P(D)=0,4×0,050,032=0,625P_D(B)=\frac{P(B\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}4\times0{,}05}{0{,}032}=0{,}625.

Choisir une méthode : Interpréter un test et les faux positifs

Exercice 3 : Interpréter un test et les faux positifs

Moyen

Une maladie touche 2 % d'une population. Un test est positif chez 95 % des malades et chez 4 % des non-malades. On cherche la probabilité d'être malade parmi les tests positifs.

  1. Traduire les trois informations de l'énoncé en probabilités conditionnelles.
  2. Calculer P(M∩T)P(M\cap T).
  3. Calculer la probabilité totale P(T)P(T).
  4. Calculer PT(M)P_T(M) puis interpréter l'écart avec la sensibilité du test.
Indication
Choisir la première partition en fonction de l'information disponible.
Voir le corrigé
  1. P(M)=0,02P(M)=0{,}02, PM(T)=0,95P_M(T)=0{,}95 et PM‾(T)=0,04P_{\overline M}(T)=0{,}04.
  2. P(M∩T)=0,02×0,95=0,019P(M\cap T)=0{,}02\times0{,}95=0{,}019.
  3. P(T)=0,019+0,98×0,04=0,0582P(T)=0{,}019+0{,}98\times0{,}04=0{,}0582.
  4. PT(M)=0,0190,0582≈0,326P_T(M)=\frac{0{,}019}{0{,}0582}\approx0{,}326. Un test positif ne signifie donc pas ici une probabilité de maladie de 95 %.

Exercice 4 : Tester l’indépendance

Difficile

On sait P(A)=0,4P(A)=0{,}4, P(B)=0,3P(B)=0{,}3 et P(A∪B)=0,58P(A\cup B)=0{,}58.

  1. Calculer P(A∩B)P(A\cap B).
  2. Tester l'indépendance.
  3. Calculer PA(B)P_A(B).
  4. Comparer les deux critères.
Indication
Utiliser d'abord la formule de l'union.
Voir le corrigé
  1. P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0,4+0,3−0,58=0,12P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}4+0{,}3-0{,}58=0{,}12.
  2. P(A)P(B)=0,4×0,3=0,12P(A)P(B)=0{,}4\times0{,}3=0{,}12. Comme cette valeur égale P(A∩B)P(A\cap B), A et B sont indépendants.
  3. PA(B)=0,120,4=0,3P_A(B)=\frac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3.
  4. Les deux critères concordent : P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B) et PA(B)=P(B)P_A(B)=P(B).

Exercice 5 : Fiabilité d’un test et probabilité inverse

Difficile

Une maladie touche 1 % d'une population. Un test est positif chez 96 % des personnes malades et chez 3 % des personnes non malades.

  1. Calculer la probabilité d'un test positif.
  2. Calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif.
  3. Interpréter le résultat sans confondre les deux conditionnelles.
Indication
Construire l'arbre M, non M, puis positif, négatif.
Voir le corrigé
  1. P(T)=0,01×0,96+0,99×0,03=0,0393P(T)=0{,}01\times0{,}96+0{,}99\times0{,}03=0{,}0393.
  2. PT(M)=0,00960,0393≈0,244P_T(M)=\frac{0{,}0096}{0{,}0393}\approx0{,}244, soit environ 24,4 %.
  3. La sensibilité PM(T)=96%P_M(T)=96\% ne signifie pas qu'une personne positive a 96 % de risque d'être malade ; la rareté de la maladie change la probabilité inverse.

Approfondir Probabilités conditionnelles : Tester une indépendance à partir d'un tableau

Exercice 6 : Caractériser l’indépendance de deux événements

Difficile

Soient deux événements AA et BB, avec P(A)>0P(A)\gt 0. On veut relier la définition conditionnelle de l'indépendance à une égalité symétrique.

  1. Partir de PA(B)=P(B)P_A(B)=P(B) et utiliser la définition de PA(B)P_A(B).
  2. Établir l'égalité portant sur P(A∩B)P(A\cap B).
  3. Expliquer pourquoi cette dernière égalité est symétrique.
Indication
Multiplier l'égalité conditionnelle par P(A)P(A).
Voir le corrigé
  1. Par définition, PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}. L'indépendance impose que ce quotient vaille P(B)P(B).
  2. Comme P(A)>0P(A)\gt 0, on obtient P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B).
  3. Le produit P(A)P(B)P(A)P(B) et l'intersection A∩BA\cap B ne changent pas lorsqu'on échange AA et BB. Le critère traite donc les deux événements de la même manière.

Exercice 7 : Tester une indépendance à partir d’un tableau

Moyen

Dans un groupe de 200 personnes, 80 pratiquent un sport, 50 jouent d'un instrument et 20 font les deux.

  1. Calculer P(S)P(S), P(I)P(I) et P(S∩I)P(S\cap I).
  2. Tester l'indépendance.
  3. Calculer la probabilité de pratiquer un sport sachant que la personne joue d'un instrument.
Indication
Comparer la probabilité de l'intersection au produit des probabilités marginales.
Voir le corrigé
  1. P(S)=0,4P(S)=0{,}4, P(I)=0,25P(I)=0{,}25 et P(S∩I)=0,1P(S\cap I)=0{,}1.
  2. P(S)P(I)=0,4×0,25=0,1P(S)P(I)=0{,}4\times0{,}25=0{,}1. Les événements sont indépendants.
  3. PI(S)=2050=0,4P_I(S)=\frac{20}{50}=0{,}4, identique à P(S)P(S).
Partager