Probabilités 5ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de probabilités en 5ème apprennent à décrire une expérience aléatoire, lister ses issues et calculer la probabilité d'un événement simple. Le cours de probabilités en 5ème rappelle les mots possible, certain, impossible et équiprobable.

Les situations vont de la pièce et du dé à l'urne, à la roue et à une simulation. Les corrections distinguent toujours le modèle théorique des fréquences réellement observées. La série prolonge le parcours de mathématiques de 5ème avec des questions courtes, des enquêtes et des problèmes de synthèse.

Table des Matières

Décrire une expérience et ses événements

Avant tout calcul, il faut préciser l'expérience, l'ensemble des résultats possibles et les issues qui réalisent l'événement étudié.

Exercice 1 : Classer impossible, possible et certain

Facile

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ . On considère : A « obtenir $7$ », B « obtenir un nombre inférieur à $7$ », C « obtenir un nombre pair », D « obtenir $1$ ».

Classer les quatre événements.
Donner les issues qui réalisent C.

Indication

Listez d'abord les six résultats possibles : $1,2,3,4,5,6$ .

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A est impossible, car $7$ n'est pas une face du dé. B est certain, puisque toutes les issues de $1$ à $6$ sont inférieures à $7$ . C et D sont possibles sans être certains.
L'événement C, « obtenir un nombre pair », est réalisé par les issues $2,4,6$ . L'événement D ne possède qu'une issue favorable, $1$ , mais il reste possible.

Exercice 2 : Décrire les événements d’une roue

Facile

Une roue possède huit secteurs égaux numérotés $1,1,2,2,2,3,4,4$ . Elle s'arrête au hasard sur un secteur.

Donner les valeurs possibles.
Combien de secteurs réalisent « obtenir 2 » ?
Décrire l'événement « obtenir au moins 3 ».
Expliquer pourquoi les quatre valeurs ne sont pas équiprobables.

Indication

Distinguez les valeurs affichées des huit secteurs physiques sur lesquels la roue peut s'arrêter.

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Les valeurs possibles affichées par la roue sont $1,2,3,4$ .
Trois des huit secteurs portent le nombre $2$ .
« Obtenir au moins $3$ » signifie obtenir $3$ ou $4$ . Cet événement regroupe un secteur marqué $3$ et deux secteurs marqués $4$ , soit trois secteurs.
Les quatre valeurs ne sont pas équiprobables : $1$ apparaît sur deux secteurs, $2$ sur trois, $3$ sur un et $4$ sur deux. Ce sont les huit secteurs égaux, et non les quatre valeurs distinctes, qui ont la même chance.

Exercice 3 : Corriger un univers incomplet

Moyen

On tire au hasard une lettre du mot MATHS. Un élève écrit l'univers $\{A,H,M\}$ parce qu'il ne conserve que trois lettres.

Donner l'univers correct.
Identifier l'erreur de l'élève.
Calculer la probabilité d'obtenir une voyelle.

Indication

Toutes les lettres du mot correspondent à des issues possibles, même si certaines ne réalisent pas l'événement étudié.

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Les cinq lettres sont distinctes. L'univers correct est $\{M,A,T,H,S\}$ .
L'élève a confondu l'ensemble de toutes les issues avec une sélection partielle et a oublié $T$ et $S$ . Une issue doit être conservée même si elle ne réalise pas l'événement étudié.
La seule voyelle est $A$ . Les cinq lettres étant équiprobables, la probabilité d'obtenir une voyelle vaut $\frac15=0{,}2=20$ %.

Calculer une probabilité dans une situation équiprobable

Lorsque toutes les issues élémentaires ont la même chance, la probabilité est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues.

Exercice 4 : Lancer une pièce puis un dé

Facile

On lance une pièce équilibrée et un dé équilibré à six faces. Un résultat est noté, par exemple, $(P;4)$ .

Combien y a-t-il d'issues possibles ?
Calculer la probabilité d'obtenir pile et un nombre pair.
Calculer la probabilité d'obtenir face ou pile avec le nombre $6$ .

Indication

Associez chacune des deux faces de la pièce aux six résultats du dé.

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Chaque face de la pièce peut être associée aux six faces du dé. Il y a donc $2\times6=12$ issues équiprobables.
« Pile et un nombre pair » correspond à $(P;2),(P;4),(P;6)$ , soit $3$ issues sur $12$ . La probabilité vaut $\frac3{12}=\frac14$ .
Obtenir le nombre $6$ , avec pile ou face, correspond à $(P;6)$ et $(F;6)$ . La probabilité vaut $\frac2{12}=\frac16$ .

Exercice 5 : Tirer une boule d’une urne

Moyen

Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ bleues et $2$ vertes, indiscernables au toucher.

Calculer la probabilité de chaque couleur.
Calculer la probabilité de ne pas obtenir rouge.
Exprimer les résultats en fractions et en pourcentages.

Indication

Commencez par compter le nombre total de boules. L'événement contraire de rouge regroupe bleu et vert.

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L'urne contient $5+3+2=10$ boules. Ainsi $P(R)=\frac5{10}=\frac12$ , $P(B)=\frac3{10}$ et $P(V)=\frac2{10}=\frac15$ .
Ne pas obtenir rouge signifie obtenir bleu ou vert. La probabilité vaut $\frac{3+2}{10}=\frac12$ . On retrouve aussi $1-P(R)=1-\frac12=\frac12$ .
En pourcentages, on obtient $P(R)=50$ %, $P(B)=30$ %, $P(V)=20$ % et $P(\text{non rouge})=50$ %.

Exercice 6 : Comparer deux jeux

Moyen

Jeu A : gagner en obtenant un multiple de $3$ sur un dé à six faces. Jeu B : gagner en tirant une carte rouge parmi 10 cartes, dont $4$ rouges.

Calculer la probabilité de gagner au jeu A.
Calculer celle du jeu B.
Choisir le jeu le plus favorable et mesurer l'écart.

Indication

Sur le dé, listez les multiples de $3$ . Comparez ensuite les deux fractions avec un même dénominateur ou en décimal.

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Les multiples de $3$ sur un dé à six faces sont $3$ et $6$ . La probabilité de gagner au jeu A vaut $P(A)=\frac26=\frac13\approx0{,}333$ .
Au jeu B, quatre cartes sur dix sont rouges, donc $P(B)=\frac4{10}=0{,}4$ .
Le jeu B est le plus favorable. L'écart vaut $0{,}4-\frac13=\frac25-\frac13=\frac1{15}$ , soit environ $0{,}067$ ou $6{,}7$ points de pourcentage. Il faut comparer les proportions, pas seulement les nombres d'issues favorables.

Exercice 7 : Utiliser un événement contraire

Moyen

Une boîte contient $20$ jetons numérotés de $1$ à $20$ . On en tire un au hasard.

Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à $4$ .
Recalculer cette probabilité en utilisant l'événement contraire.
Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $5$ .
Les deux événements peuvent-ils se produire ensemble ? Donner un exemple.

Indication

Le contraire de « supérieur à 4 » est « inférieur ou égal à 4 ».

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Les nombres strictement supérieurs à $4$ vont de $5$ à $20$ , soit $16$ issues. La probabilité vaut $\frac{16}{20}=\frac45$ .
L'événement contraire est « obtenir un nombre inférieur ou égal à $4$ », avec $4$ issues. On retrouve $1-\frac4{20}=\frac{16}{20}=\frac45$ .
Les multiples de $5$ sont $5,10,15,20$ . Leur probabilité vaut $\frac4{20}=\frac15$ .
Oui, les deux événements peuvent se produire ensemble. Par exemple, $10$ est à la fois supérieur à $4$ et multiple de $5$ .

Relier fréquences observées et probabilités

Une fréquence expérimentale varie d'une série d'essais à l'autre. Lorsque le nombre d'essais augmente, elle tend souvent à se rapprocher de la probabilité théorique.

Exercice 8 : Interpréter cent lancers

Moyen

Une pièce équilibrée est lancée $100$ fois. On observe $57$ piles et $43$ faces.

Calculer les fréquences observées.
Comparer ces fréquences aux probabilités théoriques.
Le résultat prouve-t-il que la pièce est truquée ?

Indication

Une probabilité théorique de $\frac12$ n'impose pas exactement cinquante occurrences dans chaque série de cent lancers.

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La fréquence observée de pile vaut $\frac{57}{100}=0{,}57$ , soit $57$ %. Celle de face vaut $\frac{43}{100}=0{,}43$ , soit $43$ %.
Pour une pièce équilibrée, les probabilités théoriques sont $50$ % et $50$ %. Les fréquences observées s'en écartent ici de $7$ points.
Non. Une probabilité de $\frac12$ n'impose pas exactement cinquante piles dans chaque série de cent lancers. Cette seule expérience ne prouve pas que la pièce est truquée ; il faudrait davantage d'essais et une analyse adaptée.

Exercice 9 : Comparer deux simulations

Difficile

Deux groupes simulent un dé. Le groupe 1 obtient $34$ six en $180$ lancers. Le groupe 2 obtient $152$ six en $900$ lancers.

Calculer les deux fréquences.
Comparer chacune à la probabilité théorique $\frac16$ .
Quel résultat paraît le plus stable ? Justifier.
Calculer le nombre théorique de six attendu dans chaque série.

Indication

Convertissez $\frac16$ en valeur décimale approchée et tenez compte du nombre d'essais.

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La fréquence du groupe 1 est $\frac{34}{180}\approx0{,}189$ . Celle du groupe 2 est $\frac{152}{900}\approx0{,}169$ .
La probabilité théorique vaut $\frac16\approx0{,}167$ . L'écart est d'environ $0{,}022$ pour le groupe 1 et $0{,}002$ pour le groupe 2.
Le résultat du groupe 2 paraît plus stable : sa fréquence est plus proche de $\frac16$ et elle repose sur $900$ essais, contre $180$ pour le groupe 1.
Le nombre théorique moyen de six est $180\div6=30$ pour le groupe 1 et $900\div6=150$ pour le groupe 2. Les observations s'en écartent respectivement de $4$ et $2$ .

Exercice 10 : Concevoir une roue équitable

Difficile

On veut construire une roue à $12$ secteurs égaux pour un jeu. Le joueur doit avoir $50$ % de chances de gagner $1$ point, $\frac14$ de chances de gagner $3$ points et le reste de ne rien gagner.

Déterminer le nombre de secteurs de chaque catégorie.
Calculer la probabilité de ne rien gagner.
Calculer le gain moyen théorique par partie.
Sur $200$ parties, estimer le nombre de résultats de chaque catégorie.
Expliquer pourquoi les nombres observés ne seront pas nécessairement exacts.

Indication

Transformez chaque probabilité en douzièmes. Pour le gain moyen, multipliez chaque gain par sa probabilité.

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$50$ % de $12$ donnent $6$ secteurs à $1$ point. Un quart de $12$ donne $3$ secteurs à $3$ points. Les $3$ secteurs restants correspondent à l'absence de gain.
La probabilité de ne rien gagner vaut $\frac3{12}=\frac14=25$ %.
Le gain moyen théorique est $1\times\frac12+3\times\frac14+0\times\frac14=\frac12+\frac34=1{,}25$ point par partie.
Sur $200$ parties, on attend environ $100$ gains d'un point, $50$ gains de trois points et $50$ résultats sans gain.
Ces nombres sont des effectifs moyens attendus, pas des résultats imposés. Une série réelle peut s'en écarter en raison du hasard.