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3e

Série d’exercices

Théorème de Thalès 3e : exercices corrigés PDF

3e Théorème de Thalès

Le cours de Thalès en 3e distingue le théorème, sa réciproque et sa contraposée. Cette fiche entraîne d’abord la lecture des alignements et des côtés correspondants, avant les calculs et les preuves.

Sommaire
  1. 1.Lire la configuration avant les rapports
    1. 1.1.Du petit triangle au grand
    2. 1.2.Reconstituer les longueurs totales
  2. 2.Garder les correspondances quand la figure change
    1. 2.1.Une configuration en papillon
    2. 2.2.Le mauvais dénominateur
  3. 3.Prouver ou réfuter un parallélisme
    1. 3.1.La réciproque avec des rapports exacts
    2. 3.2.Presque égaux n’est pas égaux
  4. 4.Combiner plusieurs informations
    1. 4.1.Deux coupes parallèles dans un triangle
    2. 4.2.Une preuve s’arrête trop tôt
  5. 5.Mesurer sans atteindre directement
    1. 5.1.Relever une largeur inaccessible
    2. 5.2.Des données suffisantes ?
  6. 6.Corrigés détaillés

    Lire la configuration avant les rapports

    Triangle ABC avec M sur le côté [AB] et N sur le côté [AC] ; le segment [MN] est parallèle à (BC).
    Schéma de l’exercice 1 : les triangles emboîtés AMN et ABC.

    Exercice 1Du petit triangle au grand

    Corrigé

    Sur la figure ci-dessus, (MN) ∥ (BC). On donne AM = 6 cm, AB = 15 cm, AN = 8 cm et BC = 17,5 cm.

    1. Nommer les deux triangles et les trois paires de côtés correspondants.

    2. Écrire l’égalité des trois rapports dans le sens petit sur grand.

    3. Calculer AC, puis MN.

    4. Contrôler la cohérence des deux résultats avec la figure emboîtée.

    Exercice 2Reconstituer les longueurs totales

    Corrigé

    Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) ∥ (BC). On donne AM = 5,4 cm, MB = 3,6 cm, AN = 6 cm et BC = 12 cm.

    1. Calculer AB avant d’utiliser Thalès.

    2. Déterminer AC et MN.

    3. En déduire NC sans nouveau rapport de Thalès.

    Garder les correspondances quand la figure change

    Segments [AC] et [BD] qui se coupent en O ; les segments [AB] et [CD], situés de part et d’autre de O, sont parallèles.
    Schéma de l’exercice 3 : une configuration de Thalès en papillon.

    Exercice 3Une configuration en papillon

    Corrigé

    Sur la figure ci-dessus, (AB) ∥ (CD). On donne OA = 4,5 cm, OC = 7,2 cm, OB = 3,75 cm et CD = 9,6 cm.

    1. Justifier que les triangles OAB et OCD sont en configuration de Thalès.

    2. Calculer OD, puis AB.

    3. Expliquer pourquoi la position opposée des triangles ne change pas le signe des longueurs.

    Exercice 4Le mauvais dénominateur

    Corrigé

    Dans la figure de l’exercice 1, Sami écrit une égalité de trois rapports.

    1. Dans l’égalité AMAB=ANNC=MNBC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{NC}=\frac{MN}{BC}, repérer le rapport qui ne compare pas deux côtés correspondants.

    2. Corriger l’égalité et formuler un contrôle simple pour éviter cette erreur.

    Prouver ou réfuter un parallélisme

    Exercice 5La réciproque avec des rapports exacts

    Corrigé

    Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, comme A, N, C. AM = 6,3 cm, AB = 10,5 cm, AN = 8,4 cm et AC = 14 cm.

    1. Comparer exactement AMABetANAC\frac{AM}{AB}\quad\text{et}\quad\frac{AN}{AC}.

    2. Rédiger la conclusion concernant (MN) et (BC).

    Exercice 6Presque égaux n’est pas égaux

    Corrigé

    Les alignements et l’ordre des points sont vérifiés. On mesure AM = 5 cm, AB = 8 cm, AN = 7 cm et AC = 11 cm.

    1. Comparer les deux rapports sans utiliser d’arrondis.

    2. Peut-on conclure que (MN) et (BC) sont parallèles ? Justifier.

    3. Expliquer pourquoi une figure qui semble parallèle ne remplace pas la preuve.

    Combiner plusieurs informations

    Exercice 7Deux coupes parallèles dans un triangle

    Corrigé

    Dans ABC, les points M, P sont sur [AB], les points N, Q sur [AC], et (MN) ∥ (PQ) ∥ (BC). On donne AB = 18 cm, AC = 24 cm, AN = 8 cm, AP = 12 cm, AQ = 16 cm et BC = 15 cm.

    1. Calculer AM et MN.

    2. Calculer PQ par une seconde application de Thalès.

    3. Comparer les coefficients des deux réductions et l’ordre des deux segments parallèles.

    Exercice 8Une preuve s’arrête trop tôt

    Corrigé

    Inès sait que A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre. Elle calcule un seul rapport, puis écrit aussitôt (MN) ∥ (BC).

    1. Son calcul est AMAB=410=0,4\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0{,}4. Pourquoi la conclusion n’est-elle pas encore justifiée ?

    2. Quelle donnée ou quel calcul manque ?

    3. Si AN = 6 cm et AC = 15 cm, terminer la preuve proprement.

    Mesurer sans atteindre directement

    Petit triangle OMN et grand triangle OAB de même sommet O ; [MN] est parallèle à [AB], qui longe la rive opposée.
    Schéma de l’exercice 9 : relevé d’une largeur AB inaccessible.

    Exercice 9Relever une largeur inaccessible

    Corrigé

    Sur le schéma ci-dessus, les points O, M, A sont alignés, comme O, N, B, et (MN) ∥ (AB). On mesure OM = 18 m, OA = 45 m, ON = 16 m et MN = 12 m.

    1. Déterminer le coefficient qui mène du petit triangle au grand.

    2. Calculer OB et la largeur inaccessible AB.

    3. Vérifier les unités et expliquer pourquoi aucune mesure directe de AB n’est nécessaire.

    Exercice 10Des données suffisantes ?

    Corrigé

    Dans ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) ∥ (BC). On connaît AM = 7 cm, AB = 12 cm et AN = 8 cm.

    1. Peut-on calculer AC ? Si oui, le faire.

    2. Peut-on calculer MN avec ces seules données ? Justifier sans inventer de mesure.

    3. Citer une donnée supplémentaire qui rendrait le calcul de MN possible.

    Corrigés détaillés

    Corrigé 1Du petit triangle au grand

    Revoir l’exercice

    1. Les triangles sont AMN et ABC ; AM correspond à AB, AN à AC et MN à BC.

    2. AMAB=ANAC=MNBC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.

    3. 615=8ACet615=MN17,5\frac{6}{15}=\frac{8}{AC}\quad\text{et}\quad\frac{6}{15}=\frac{MN}{17{,}5} donnent AC = 20 cm et MN = 7 cm.

    4. AC>ANetBC>MNAC>AN\quad\text{et}\quad BC>MN, comme attendu pour le grand triangle.

    Corrigé 2Reconstituer les longueurs totales

    Revoir l’exercice

    1. AB = AM + MB = 5,4 + 3,6 = 9 cm.

    2. Le rapport vaut 5,49=0,6\frac{5{,}4}{9}=0{,}6. Ainsi 6/AC = 0,6, donc AC = 10 cm, et MN = 0,6 × 12 = 7,2 cm.

    3. NC = AC − AN = 10 − 6 = 4 cm.

    Corrigé 3Une configuration en papillon

    Revoir l’exercice

    1. A, O, C sont alignés, B, O, D aussi, et (AB) ∥ (CD).

    2. OAOC=4,57,2=58\frac{OA}{OC}=\frac{4{,}5}{7{,}2}=\frac{5}{8}. Donc OD = 3,75 × 8/5 = 6 cm et AB = 9,6 × 5/8 = 6 cm.

    3. Une longueur géométrique reste positive ; seul le placement des triangles change.

    Corrigé 4Le mauvais dénominateur

    Revoir l’exercice

    1. AN/NC compare un côté du petit triangle à un morceau restant, pas au côté AC du grand triangle.

    2. Il faut écrire AMAB=ANAC=MNBC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}. Dans chaque quotient, le numérateur et le dénominateur suivent la même demi-droite ou deux côtés parallèles correspondants.

    Corrigé 5La réciproque avec des rapports exacts

    Revoir l’exercice

    1. 6,310,5=63105=35et8,414=84140=35\frac{6{,}3}{10{,}5}=\frac{63}{105}=\frac{3}{5}\quad\text{et}\quad\frac{8{,}4}{14}=\frac{84}{140}=\frac{3}{5} : les deux rapports sont égaux.

    2. Les points étant alignés dans le même ordre et les rapports égaux, la réciproque de Thalès donne (MN) ∥ (BC).

    Corrigé 6Presque égaux n’est pas égaux

    Revoir l’exercice

    1. Les produits croisés valent 5×11=55et7×8=565\times11=55\quad\text{et}\quad7\times8=56 : les rapports diffèrent.

    2. Non. Avec les alignements, cette inégalité permet au contraire de conclure que les droites ne sont pas parallèles.

    3. Un dessin illustre les données ; il ne prouve ni une égalité exacte ni un parallélisme.

    Corrigé 7Deux coupes parallèles dans un triangle

    Revoir l’exercice

    1. ANAC=824=13\frac{AN}{AC}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}, donc AM = 18/3 = 6 cm et MN = 15/3 = 5 cm.

    2. APAB=1218=23\frac{AP}{AB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}, donc PQ = (2/3) × 15 = 10 cm.

    3. Les coefficients sont 1/3 puis 2/3 ; la seconde coupe, plus éloignée de A, est deux fois plus longue.

    Corrigé 8Une preuve s’arrête trop tôt

    Revoir l’exercice

    1. Un seul rapport ne permet aucune comparaison : la réciproque exige l’égalité de deux rapports correspondants.

    2. Il faut connaître ou calculer AN/AC.

    3. ANAC=615=0,4=AMAB\frac{AN}{AC}=\frac{6}{15}=0{,}4=\frac{AM}{AB}. Avec les alignements ordonnés, la réciproque donne (MN) ∥ (BC).

    Corrigé 9Relever une largeur inaccessible

    Revoir l’exercice

    1. OAOM=4518=2,5\frac{OA}{OM}=\frac{45}{18}=2{,}5.

    2. OB = 2,5 × 16 = 40 m et AB = 2,5 × 12 = 30 m.

    3. Tous les segments sont en mètres. Le parallélisme transfère le coefficient mesuré dans le petit triangle vers le grand.

    Corrigé 10Des données suffisantes ?

    Revoir l’exercice

    1. Oui : 712=8AC\frac{7}{12}=\frac{8}{AC}, donc AC = 96/7 cm.

    2. Non. Le rapport MNBC=712\frac{MN}{BC}=\frac{7}{12} contient encore deux longueurs inconnues.

    3. Par exemple la longueur BC ; on aurait alors MN = (7/12) × BC. Connaître MN rendrait inversement BC calculable.

    Pour revoir les hypothèses, les trois formes du raisonnement et la rédaction, lire le cours sur le théorème de Thalès en 3e. Pour travailler d’autres figures et valeurs, consulter les exercices corrigés en ligne.

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