Aller au contenu
Document ouvertLecture en ligne · 4 pages
Télécharger

PediaMathLes maths, un pas de plus pour tous

Seconde

Série d’exercices

Identités remarquables 2de : exercices corrigés PDF

Seconde Calcul littéral et identités remarquables

Cette fiche de Seconde entraîne à reconnaître, développer et factoriser les identités remarquables. Le cours de calcul littéral rappelle les trois formes utiles ; les exercices demandent aussi de contrôler une égalité et de choisir une méthode.

Sommaire
  1. 1.Reconnaître, calculer, contrôler
    1. 1.1.Deux égalités trop rapides
    2. 1.2.Trois calculs sans calculatrice
    3. 1.3.Un produit de facteurs conjugués
    4. 1.4.Le coefficient manquant
  2. 2.Transformer sans changer la valeur
    1. 2.1.Le signe devant la parenthèse
    2. 2.2.Deux écritures, une seule expression
    3. 2.3.Un carré presque parfait
    4. 2.4.Un carré caché dans un produit
  3. 3.Raisonner avec une identité
    1. 3.1.Une expression toujours au-dessus de sept
    2. 3.2.Une fausse égalité parfois vraie
    3. 3.3.Une différence toujours multiple de quatre
    4. 3.4.Une aire sous contrainte
  4. 4.Corrigés détaillés

    Reconnaître, calculer, contrôler

    Exercice 1Deux égalités trop rapides

    Corrigé

    Un élève écrit (a+b)² = a²+b² puis (a-b)² = a²-b².

    1. Vérifier chacune de ces affirmations avec a = 5 et b = 2.

    2. Développer les deux carrés correctement pour des réels a et b.

    3. Identifier le terme oublié dans la première égalité et expliquer pourquoi le second membre de la deuxième peut même être négatif.

    Exercice 2Trois calculs sans calculatrice

    Corrigé

    Donner des résultats exacts en faisant apparaître l’identité choisie.

    1. Calculer 51251^2 à partir de 50².

    2. Calculer 97297^2 à partir de 100².

    3. Calculer 104×96104\times96 sans multiplier chiffre par chiffre.

    4. Expliquer pourquoi les trois stratégies ne font pas apparaître le même signe devant le terme intermédiaire.

    Exercice 3Un produit de facteurs conjugués

    Corrigé

    On considère P(x) = (3x-2)(3x+2).

    1. Donner sa forme développée et réduire.

    2. Calculer P ⁣(13)P\!\left(\frac13\right) avec la forme la plus rapide et contrôler avec l’autre.

    3. Pour quelles valeurs de x le produit P(x) est-il nul ?

    Exercice 4Le coefficient manquant

    Corrigé

    Compléter chaque écriture, puis contrôler par développement.

    1. (x+□)2=x2+12x+36(x+\square)^2=x^2+12x+36.

    2. (□x−3)2=4x2−12x+9(\square x-3)^2=4x^2-12x+9.

    3. 9x2−16=(3x−□)(3x+□)9x^2-16=(3x-\square)(3x+\square).

    Transformer sans changer la valeur

    Exercice 5Le signe devant la parenthèse

    Corrigé

    Soit H(x) = 3(x-2)² - (x+1)(x-1).

    1. Développer séparément le carré et le produit conjugué.

    2. Réduire H(x) ; montrer où agit le signe moins.

    3. Vérifier la forme réduite pour x=1x=1 par substitution directe.

    Exercice 6Deux écritures, une seule expression

    Corrigé

    On donne A(x) = (x+2)² - 4x et B(x) = x² + 4.

    1. Comparer A(-2) et B(-2), puis A(3) et B(3).

    2. Prouver que A(x)=B(x)A(x)=B(x) pour tout réel x.

    3. Pourquoi les deux vérifications numériques ne suffisent-elles pas, à elles seules, pour établir cette égalité générale ?

    Exercice 7Un carré presque parfait

    Corrigé

    Considérer Q(x) = x² + 10x + 21.

    1. Expliquer pourquoi Q(x) n’est pas le développement de (x+5)2(x+5)^2.

    2. Écrire Q(x) comme une différence de deux carrés, puis factoriser.

    3. En déduire toutes les solutions de Q(x)=0Q(x)=0 sans formule générale.

    Exercice 8Un carré caché dans un produit

    Corrigé

    Pour un entier naturel n, on pose T = n(n+2) + 1.

    1. Montrer que T est toujours un carré parfait.

    2. Calculer 19×21+119\times21+1 sans effectuer le produit.

    3. Si T=625T=625, retrouver n et vérifier la valeur trouvée.

    Raisonner avec une identité

    Exercice 9Une expression toujours au-dessus de sept

    Corrigé

    On pose R(x) = (x-4)² + 7 pour tout réel x.

    1. Développer et réduire R(x).

    2. Justifier, sans tracer de courbe, que R(x)≥7R(x)\geq7.

    3. Pour quelle valeur de x cette borne est-elle atteinte ?

    Exercice 10Une fausse égalité parfois vraie

    Corrigé

    Un élève pense que (x-3)² = x² - 9 pour tout réel x.

    1. Réfuter l’affirmation par une valeur de x.

    2. Développer le membre de gauche et corriger l’identité.

    3. Déterminer la valeur de x pour laquelle l’égalité erronée est pourtant vraie. Pourquoi cet exemple isolé ne la démontre-t-il pas ?

    Exercice 11Une différence toujours multiple de quatre

    Corrigé

    Pour un entier naturel n, comparer les carrés de n et de n+2.

    1. Calculer (n+2)2−n2(n+2)^2-n^2 en factorisant une différence de carrés.

    2. En déduire que cette différence est un multiple de 4.

    3. Est-elle toujours un multiple de 8 ? Justifier.

    Exercice 12Une aire sous contrainte

    Corrigé

    Un rectangle a pour côtés 20+t et 20-t centimètres, avec t compris entre 0 et 20 (20 exclu). Son périmètre reste égal à 80 centimètres.

    1. Exprimer son aire S(t) sans laisser de produit.

    2. Comparer S(4) à l’aire obtenue pour t = 0.

    3. Justifier que l’aire ne peut dépasser 400 cm2400\,\mathrm{cm}^2 et préciser quand cette aire est atteinte.

    4. Peut-on obtenir exactement 375 cm2375\,\mathrm{cm}^2 ? Déterminer t.

    Corrigés détaillés

    Corrigé 1Deux égalités trop rapides

    Revoir l’exercice

    1. Pour a = 5 et b = 2, les carrés valent 49 et 9, tandis que les membres proposés valent 29 et 21. Les deux affirmations sont donc fausses.

    2. Les identités correctes sont (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 et (a-b)² = a²-2ab+b².

    3. Le terme 2ab manque dans la première. Dans la seconde, a²-b² peut être négatif si la valeur absolue de b dépasse celle de a, alors qu’un carré ne peut pas être négatif.

    Corrigé 2Trois calculs sans calculatrice

    Revoir l’exercice

    1. 512=(50+1)2=2 500+100+1=2 60151^2=(50+1)^2=2\,500+100+1=2\,601.

    2. 972=(100−3)2=10 000−600+9=9 40997^2=(100-3)^2=10\,000-600+9=9\,409.

    3. 104×96=(100+4)(100−4)=10 000−16=9 984104\times96=(100+4)(100-4)=10\,000-16=9\,984.

    4. Un carré de somme donne un terme mixte positif ; un carré de différence en donne un négatif. Dans le produit de conjugués, les termes mixtes s’annulent.

    Corrigé 3Un produit de facteurs conjugués

    Revoir l’exercice

    1. La différence de carrés donne P(x)=9x2−4P(x)=9x^2-4.

    2. Les facteurs valent -1 et 3, donc P ⁣(13)=−3P\!\left(\frac13\right)=-3 ; la forme développée donne aussi 9 × 1/9 - 4 = -3.

    3. Un facteur est nul pour x=23x=\frac23 ou pour x = -2/3.

    Corrigé 4Le coefficient manquant

    Revoir l’exercice

    1. Le premier blanc vaut 6 : (x+6)2=x2+12x+36(x+6)^2=x^2+12x+36.

    2. Le deuxième vaut 2 : (2x−3)2=4x2−12x+9(2x-3)^2=4x^2-12x+9. Avec -2, le terme central serait positif.

    3. Les deux derniers valent 4 : 9x2−16=(3x−4)(3x+4)9x^2-16=(3x-4)(3x+4).

    Corrigé 5Le signe devant la parenthèse

    Revoir l’exercice

    1. Les deux développements sont (x-2)² = x²-4x+4 et (x+1)(x−1)=x2−1(x+1)(x-1)=x^2-1.

    2. Le signe moins change aussi -1 en +1, d’où H(x)=2x2−12x+13H(x)=2x^2-12x+13.

    3. Directement, H(1) = 3 ; la forme réduite donne 2 - 12 + 13 = 3.

    Corrigé 6Deux écritures, une seule expression

    Revoir l’exercice

    1. A(-2) = B(-2) = 8. Pour x = 3, A(3) = B(3) = 13.

    2. Le développement donne A(x)=x2+4=B(x)A(x)=x^2+4=B(x), ce qui établit l’égalité pour tout réel.

    3. Deux valeurs vérifiées n’excluent pas une différence ailleurs. Seule une identité algébrique prouve ici l’égalité générale.

    Corrigé 7Un carré presque parfait

    Revoir l’exercice

    1. Le carré (x+5)2=x2+10x+25(x+5)^2=x^2+10x+25 a 25 pour terme constant, soit 4 de plus que Q(x).

    2. La différence de deux carrés donne Q(x)=(x+5)2−22=(x+3)(x+7)Q(x)=(x+5)^2-2^2=(x+3)(x+7).

    3. Le produit est nul lorsque x = -3 ou x = -7.

    Corrigé 8Un carré caché dans un produit

    Revoir l’exercice

    1. En développant, T=n2+2n+1=(n+1)2T=n^2+2n+1=(n+1)^2.

    2. 19×21+1=202=40019\times21+1=20^2=400.

    3. Comme n est naturel et 625 = 25², on obtient n+1 = 25, donc n = 24. Contrôle : 24 × 26 + 1 = 625.

    Corrigé 9Une expression toujours au-dessus de sept

    Revoir l’exercice

    1. Après développement, R(x)=x2−8x+23R(x)=x^2-8x+23.

    2. Un carré est positif ou nul : R(x)=(x−4)2+7≥7R(x)=(x-4)^2+7\geq7.

    3. L’égalité est atteinte seulement pour x = 4 ; alors R(4) = 7.

    Corrigé 10Une fausse égalité parfois vraie

    Revoir l’exercice

    1. Pour x = 0, les deux membres valent respectivement 9 et -9 : l’affirmation est fausse.

    2. L’identité correcte est (x−3)2=x2−6x+9(x-3)^2=x^2-6x+9.

    3. L’égalité erronée devient -6x = -18, donc x = 3 ; les deux membres valent alors 0. Une égalité en un point ne prouve pas une identité.

    Corrigé 11Une différence toujours multiple de quatre

    Revoir l’exercice

    1. La différence de carrés donne (n+2)2−n2=4(n+1)(n+2)^2-n^2=4(n+1).

    2. n+1 est entier, donc la différence est un multiple de 4.

    3. Pas toujours de 8 : avec n = 0, la différence vaut 4.

    Corrigé 12Une aire sous contrainte

    Revoir l’exercice

    1. Le produit de conjugués donne S(t)=400−t2S(t)=400-t^2 en centimètres carrés.

    2. S(4) = 384 cm², contre 400 cm² pour t = 0 ; la différence est 16 cm².

    3. t² est positif ou nul : S(t) ne dépasse pas 400 cm². L’égalité est atteinte uniquement pour t = 0, lorsque le rectangle est un carré.

    4. S(t) = 375 impose t2=25t^2=25. Comme t est positif ou nul, on retient t = 5, qui respecte la contrainte.

    Version imprimable

    Continuer hors ligne

    Retrouvez la même fiche dans son format PDF, prête à imprimer.

    Télécharger le PDF 4 pages