Parallélogrammes 5ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les parallélogrammes en 5ème entraînent à lire un codage, choisir une propriété ou sa réciproque, construire une figure et rédiger une preuve. Le cours sur les parallélogrammes en 5ème rassemble les critères utiles avant de commencer.

La série ne réduit pas le chapitre à une liste de calculs. Elle alterne diagnostic, construction, recherche, justification et problème d’aire. Elle s’inscrit dans le parcours de mathématiques de 5ème et réemploie naturellement le repérage dans le plan ainsi que les propriétés étudiées dans angles et parallélisme.

Reconnaître un parallélogramme sans se fier au dessin

Un dessin peut sembler régulier sans l’être. On commence donc par lire les codages et par identifier une propriété suffisante.

Exercice 1 : Trier cinq affirmations

Facile

Pour chaque affirmation, décider si elle est toujours vraie pour un parallélogramme \(ABCD\).

  1. Les côtés \([AB]\) et \([CD]\) sont parallèles.
  2. Les quatre côtés ont la même longueur.
  3. Les diagonales se coupent en leur milieu.
  4. Les angles opposés sont égaux.
  5. Les diagonales ont toujours la même longueur.
Indication

Distinguez les propriétés communes à tous les parallélogrammes de celles qui caractérisent seulement un losange ou un rectangle.

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  1. Vrai : les côtés opposés sont parallèles.
  2. Faux : cette égalité des quatre côtés caractérise un losange.
  3. Vrai : les diagonales ont le même milieu.
  4. Vrai : les angles opposés sont égaux.
  5. Faux : des diagonales de même longueur apparaissent dans un rectangle, pas dans tout parallélogramme. Le bilan est donc vrai, faux, vrai, vrai, faux.

Exercice 2 : Lire des codages contradictoires

Moyen

Dans le quadrilatère \(EFGH\), les codages donnent \(EF=GH=4{,}8\) cm et \(FG=5{,}1\) cm, tandis que \(EH=5{,}3\) cm.

  1. Peut-on conclure que \(EFGH\) est un parallélogramme grâce aux côtés opposés ?
  2. Quelle donnée empêche d’utiliser la réciproque correspondante ?
  3. Une figure ressemblant à un parallélogramme suffirait-elle ?
Indication

La réciproque exige deux paires de côtés opposés de même longueur, pas une seule.

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La première paire vérifie bien \(EF=GH\), mais la seconde ne convient pas puisque \(FG\ne EH\). La condition complète n’est donc pas satisfaite. On ne peut pas conclure avec ce critère, et l’apparence de la figure n’est jamais une preuve. Il faudrait une autre information, par exemple le parallélisme des deux paires de côtés ou le milieu commun des diagonales.

Exercice 3 : Trouver le codage décisif

Moyen

Les diagonales \([IK]\) et \([JL]\) d’un quadrilatère se coupent en \(O\). On sait que \(OI=OK\), mais rien n’est indiqué sur \(OJ\) et \(OL\).

  1. Quelle égalité manque pour prouver que \(IJKL\) est un parallélogramme ?
  2. Expliquer pourquoi l’égalité déjà donnée ne suffit pas.
Indication

Les deux diagonales doivent avoir le même milieu.

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Il manque l’égalité \(OJ=OL\). Avec \(OI=OK\), elle montrerait que \(O\) est le milieu de \([IK]\) et de \([JL]\). On pourrait alors appliquer la réciproque : si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, ce quadrilatère est un parallélogramme. Une seule diagonale coupée en deux parties égales ne contrôle pas l’autre diagonale.

Construire avec des données différentes

Une construction réussie commence par le choix des objets qui déterminent la figure : côtés parallèles, diagonales ou centre.

Exercice 4 : Construire à partir de deux côtés

Moyen

Construire \(ABCD\) tel que \(AB=6\) cm, \(AD=4\) cm et \(\widehat{DAB}=65^\circ\).

  1. Décrire un programme de construction ordonné.
  2. Quel instrument fixe l’angle ?
  3. Comment placer \(C\) sans mesurer \(BC\) et \(CD\) ?
  4. Quelle propriété garantit la nature du quadrilatère obtenu ?
Indication

Après avoir construit deux côtés consécutifs, tracez des parallèles par leurs extrémités.

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  1. Tracer \([AB]\) de \(6\) cm.
  2. Au rapporteur, construire une demi-droite formant \(65^\circ\) avec \([AB)\), puis y placer \(D\) à \(4\) cm de \(A\).
  3. Par \(B\), tracer la parallèle à \((AD)\), et par \(D\), la parallèle à \((AB)\). Leur intersection est \(C\).
  4. Les côtés opposés sont parallèles deux à deux ; \(ABCD\) est donc un parallélogramme.

Exercice 5 : Construire avec les diagonales

Difficile

Construire un parallélogramme \(MNPQ\) dont les diagonales mesurent \(MP=8\) cm et \(NQ=5\) cm, et forment un angle de \(40^\circ\).

  1. Quelle longueur sépare le centre de chaque sommet ?
  2. Donner les étapes de la construction.
  3. Pourquoi la figure obtenue est-elle nécessairement un parallélogramme ?
Indication

Le point d’intersection est le milieu de chaque diagonale.

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On choisit un point \(O\). On trace une droite et on place \(M\) et \(P\) de part et d’autre de \(O\) avec \(OM=OP=4\) cm. On construit ensuite une droite faisant \(40^\circ\) avec la première, puis \(N\) et \(Q\) avec \(ON=OQ=2{,}5\) cm. En reliant \(M,N,P,Q\), les diagonales ont toutes deux \(O\) pour milieu ; leur réciproque prouve que \(MNPQ\) est un parallélogramme.

Exercice 6 : Compléter un parallélogramme sur quadrillage

Facile

Dans un repère, \(A(1;2)\), \(B(6;2)\) et \(D(3;5)\) sont trois sommets consécutifs d’un parallélogramme \(ABCD\).

  1. Déterminer les coordonnées de \(C\).
  2. Vérifier le résultat avec les déplacements de \(A\) vers \(B\) et de \(D\) vers \(C\).
Indication

Le déplacement de \(A\) vers \(B\) doit être reproduit à partir de \(D\).

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De \(A\) vers \(B\), on avance de \(5\) unités horizontalement et de \(0\) verticalement. À partir de \(D(3;5)\), le même déplacement mène à \(C(8;5)\). Vérification : de \(B(6;2)\) à \(C(8;5)\), le déplacement est \((2;3)\), exactement comme de \(A(1;2)\) à \(D(3;5)\). Les côtés opposés sont donc parallèles et de même longueur.

Calculer puis rédiger une démonstration

Une bonne preuve indique les données, la propriété choisie et la conclusion ; elle ne commence pas par le résultat à démontrer.

Exercice 7 : Exploiter les côtés et les angles

Facile

\(RSTU\) est un parallélogramme avec \(RS=7{,}4\) cm, \(ST=3{,}6\) cm et \(\widehat{RST}=112^\circ\).

  1. Calculer \(TU\).
  2. Calculer \(UR\).
  3. Déterminer \(\widehat{TUR}\).
  4. Déterminer \(\widehat{STU}\).
Indication

Les côtés et angles opposés sont égaux ; deux angles consécutifs sont supplémentaires.

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Les côtés opposés donnent \(TU=RS=7{,}4\) cm et \(UR=ST=3{,}6\) cm. L’angle opposé à \(\widehat{RST}\) est \(\widehat{TUR}\), donc il mesure \(112^\circ\). Enfin, deux angles consécutifs d’un parallélogramme totalisent \(180^\circ\), d’où \(\widehat{STU}=180^\circ-112^\circ=68^\circ\). Chaque résultat vient d’une propriété distincte.

Exercice 8 : Choisir la bonne réciproque

Difficile

Dans \(ABCD\), on sait que \((AB)\parallel(CD)\) et \(AB=CD\).

  1. Cette information suffit-elle pour conclure ?
  2. Nommer précisément la propriété utilisée.
  3. Rédiger une démonstration en trois phrases.
Indication

Un quadrilatère ayant une paire de côtés opposés à la fois parallèles et égaux est un parallélogramme.

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Oui, les informations portent sur la même paire de côtés opposés. Données : dans \(ABCD\), \((AB)\parallel(CD)\) et \(AB=CD\). Propriété : si un quadrilatère possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Conclusion : \(ABCD\) est un parallélogramme. Il n’est pas nécessaire d’étudier l’autre paire de côtés.

Exercice 9 : Démontrer avec un milieu commun

Moyen

Les segments \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(O\). On donne \(AO=OC=3{,}2\) cm et \(BO=OD=4{,}1\) cm.

  1. Que représente \(O\) pour chaque diagonale ?
  2. Conclure sur la nature de \(ABCD\).
Indication

Transformez chaque double égalité en une phrase contenant le mot « milieu ».

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Comme \(O\) appartient à \([AC]\) et \(AO=OC\), \(O\) est le milieu de \([AC]\). De même, \(O\) appartient à \([BD]\) et \(BO=OD\), donc \(O\) est le milieu de \([BD]\). Les diagonales du quadrilatère se coupent ainsi en leur milieu. Par la réciproque correspondante, \(ABCD\) est un parallélogramme.

Parallélogrammes particuliers, aire et synthèse

Les derniers exercices demandent de combiner plusieurs propriétés plutôt que de reconnaître un seul mot-clé.

Exercice 10 : Classer sans surinterpréter

Moyen

Pour chaque cas, donner la nature la plus précise du parallélogramme.

  1. Ses diagonales sont de même longueur.
  2. Ses diagonales sont perpendiculaires.
  3. Ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur.
  4. Un angle est droit.
  5. Deux côtés consécutifs sont égaux.
Indication

Dans un parallélogramme, un angle droit suffit pour obtenir un rectangle et deux côtés consécutifs égaux suffisent pour obtenir un losange.

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  1. Rectangle.
  2. Losange.
  3. Carré, car il est à la fois rectangle et losange.
  4. Rectangle : les autres angles deviennent aussi droits.
  5. Losange : les côtés opposés sont déjà égaux, donc les quatre côtés le sont. On choisit toujours le nom le plus précis garanti par les données.

Exercice 11 : Comparer périmètre et aire

Moyen

Un parallélogramme a une base de \(9\) cm, un côté de \(6\) cm et une hauteur relative à la base de \(4\) cm.

  1. Calculer son périmètre.
  2. Calculer son aire.
  3. Expliquer pourquoi le côté de \(6\) cm n’est pas utilisé dans le calcul de l’aire.
Indication

Le périmètre additionne les côtés ; l’aire multiplie une base par la hauteur qui lui est perpendiculaire.

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Le périmètre vaut \(2\times(9+6)=30\) cm. L’aire vaut \(9\times4=36\) cm². Le côté de \(6\) cm est oblique : il n’indique pas la distance perpendiculaire entre les deux côtés de longueur \(9\) cm. Pour l’aire, seule la hauteur associée à la base choisie convient. Les unités confirment la différence entre longueur et surface.

Exercice 12 : Enquête sur un quadrilatère

Difficile

Dans un quadrilatère \(KLMN\), les diagonales se coupent en \(O\). On sait que \(KO=OM\), \(LO=ON\), \(KM=10\) cm, \(LN=6\) cm et \((KM)\perp(LN)\).

  1. Prouver que \(KLMN\) est un parallélogramme.
  2. Préciser ensuite sa nature.
  3. Calculer \(KO\) et \(LO\).
  4. Peut-on affirmer que c’est un carré ? Justifier.
Indication

Procédez en deux étapes : parallélogramme grâce aux milieux, puis nature particulière grâce aux diagonales.

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  1. Les égalités montrent que \(O\) est le milieu des deux diagonales. Elles se coupent donc en leur milieu : \(KLMN\) est un parallélogramme.
  2. Ses diagonales sont perpendiculaires ; c’est un losange.
  3. \(KO=KM\div2=5\) cm et \(LO=LN\div2=3\) cm.
  4. Ce n’est pas nécessairement un carré : ses diagonales ne sont pas de même longueur puisque \(10\ne6\). Les données garantissent un losange non carré.
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