Parallélogrammes 4ème : 9 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les parallélogrammes en 4ème apprennent à utiliser une propriété dans le bon sens : calculer avec une figure connue ou prouver sa nature. Le cours sur les propriétés et la reconnaissance distingue ces usages.

Plusieurs constructions exploitent la translation, puisque des côtés opposés représentent le même déplacement. Les corrections signalent lorsqu'une information est insuffisante.

Calculer avec les propriétés d’un parallélogramme

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur, les angles opposés sont égaux et les angles consécutifs supplémentaires.

Exercice 1 : Longueurs et périmètre

Facile

ABCD est un parallélogramme avec AB=7,5AB=7{,}5 cm et BC=4,2BC=4{,}2 cm.

  1. Donner CD et DA.
  2. Calculer le périmètre.
  3. Dire si les diagonales ont nécessairement la même longueur.
Indication

Les côtés opposés sont de même longueur ; la propriété des diagonales égales appartient seulement à certains parallélogrammes.

Voir le corrigé
  1. CD=7,5CD=7{,}5 cm et DA=4,2DA=4{,}2 cm.
  2. Le périmètre vaut 2(7,5+4,2)=23,42(7{,}5+4{,}2)=23{,}4 cm.
  3. Non, les diagonales d'un parallélogramme quelconque ne sont pas nécessairement égales.

Exercice 2 : Angles opposés et consécutifs

Facile

EFGH est un parallélogramme et EFG^=68∘\widehat{EFG}=68^\circ.

  1. Donner l'angle opposé.
  2. Calculer les deux angles consécutifs.
  3. Vérifier la somme des quatre angles.
Indication

Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires.

Voir le corrigé
  1. EHG^=68∘\widehat{EHG}=68^\circ.
  2. Les angles en E et G valent 180−68=112∘180-68=112^\circ.
  3. 68+112+68+112=360∘68+112+68+112=360^\circ.

Exploiter les diagonales

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu ; cette propriété sert à calculer et à reconnaître.

Exercice 3 : Centre du parallélogramme

Facile

Les diagonales [AC] et [BD] de ABCD se coupent en O. On sait AO=5,3AO=5{,}3 cm et BO=4,1BO=4{,}1 cm.

  1. Donner OC et OD.
  2. Calculer AC et BD.
  3. Expliquer pourquoi O est centre de symétrie.
Indication

O est le milieu de chacune des deux diagonales.

Voir le corrigé
  1. OC=5,3OC=5{,}3 cm et OD=4,1OD=4{,}1 cm.
  2. AC=10,6AC=10{,}6 cm et BD=8,2BD=8{,}2 cm.
  3. La symétrie de centre O échange A avec C et B avec D, donc elle conserve le quadrilatère.

Exercice 4 : Reconnaissance par les milieux

Moyen

Dans un quadrilatère IJKL, les diagonales [IK] et [JL] se coupent en M. On sait IM=MK=3,8IM=MK=3{,}8 cm et JM=ML=5JM=ML=5 cm.

  1. Identifier les milieux.
  2. Prouver que IJKL est un parallélogramme.
  3. Dire si l'on peut conclure qu'il est rectangle.
Indication

Utilisez la réciproque de la propriété des diagonales, sans ajouter une propriété non donnée.

Voir le corrigé
  1. M est le milieu de [IK] et de [JL].
  2. Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu, donc IJKL est un parallélogramme.
  3. On ne peut pas conclure qu'il est rectangle : il faudrait par exemple savoir que ses diagonales sont égales.

Exercice 5 : Donnée insuffisante

Moyen

Dans un quadrilatère RSTU, les diagonales [RT] et [SU] se coupent en O et RO=OTRO=OT.

  1. Dire si cette seule égalité prouve un parallélogramme.
  2. Expliquer ce qui manque.
  3. Ajouter une égalité suffisante.
  4. Proposer une autre propriété de reconnaissance.
Indication

L'égalité donnée montre seulement que O est le milieu de [RT]. Il faut aussi étudier l'autre diagonale.

Voir le corrigé
  1. Non, l'information est insuffisante.
  2. Il manque la preuve que O est aussi le milieu de [SU].
  3. L'égalité SO=OUSO=OU, ajoutée à RO=OTRO=OT, suffit : les diagonales ont alors le même milieu.
  4. On peut aussi prouver que les côtés opposés sont parallèles deux à deux, ou égaux deux à deux.

Construire et reconnaître par les côtés

Un quadrilatère est un parallélogramme si ses côtés opposés sont parallèles, ou s'ils sont égaux deux à deux.

Exercice 6 : Construction avec trois sommets

Moyen

Construire ABCD sachant AB=6AB=6 cm, AD=4AD=4 cm et DAB^=55∘\widehat{DAB}=55^\circ.

  1. Décrire les étapes de construction.
  2. Expliquer comment placer C.
  3. Donner deux contrôles de la figure.
  4. Dire combien de constructions symétriques sont possibles autour de [AB].
Indication

Après A, B et D, tracez par B une parallèle à AD et par D une parallèle à AB.

Voir le corrigé
  1. Tracer [AB], construire l'angle de 55∘55^\circ en A, puis placer D à 44 cm.
  2. C est l'intersection de la parallèle à AD passant par B et de la parallèle à AB passant par D.
  3. On contrôle BC=AD=4BC=AD=4 cm et CD=AB=6CD=AB=6 cm.
  4. Deux figures symétriques par rapport à [AB] sont possibles selon le côté choisi pour D.

Exercice 7 : Un seul couple parallèle et égal

Moyen

Dans WXYZ, on sait que (WX)∥(YZ)(WX)\parallel(YZ) et WX=YZWX=YZ.

  1. Nommer le critère applicable.
  2. Conclure sur WXYZ.
  3. Expliquer pourquoi le même couple de côtés doit être concerné.
  4. Donner un exemple de données qui ne suffiraient pas.
Indication

Un quadrilatère ayant un couple de côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur est un parallélogramme.

Voir le corrigé
  1. On utilise le critère d'un couple de côtés opposés parallèles et égaux.
  2. WXYZ est un parallélogramme.
  3. Les deux propriétés doivent porter sur le même couple pour imposer la figure.
  4. Savoir seulement WX∥YZWX\parallel YZ et XY=WZXY=WZ peut décrire un trapèze isocèle, donc ne suffit pas.

Raisonner dans un repère et résoudre un problème

Les déplacements coordonnés permettent de vérifier l'égalité et le parallélisme des côtés opposés.

Exercice 8 : Quatrième sommet coordonné

Moyen

On donne A(1;2)A(1;2), B(6;4)B(6;4), C(4;9)C(4;9). Déterminer D pour que ABCD soit un parallélogramme.

  1. Calculer le déplacement de B vers C.
  2. L'appliquer à A.
  3. Donner D.
  4. Vérifier l'autre paire de côtés.
Indication

Dans l'ordre ABCD, le déplacement de A vers D égale celui de B vers C.

Voir le corrigé
  1. De B à C : (−2;+5)(-2;+5).
  2. Depuis A, cela donne D(−1;7)D(-1;7).
  3. Le quatrième sommet est donc D(−1;7)D(-1;7).
  4. De A à B : (+5;+2)(+5;+2), et de D à C : (+5;+2)(+5;+2), ce qui confirme.

Exercice 9 : Parcelle en forme de parallélogramme

Difficile

Une parcelle ABCD est un parallélogramme. AB=32AB=32 m, AD=18AD=18 m. La hauteur relative à [AB] vaut 1212 m. Une clôture laisse une ouverture de 44 m.

  1. Calculer le périmètre géométrique.
  2. Calculer la longueur de clôture.
  3. Calculer l'aire.
  4. Dire si la longueur AD suffit à calculer cette aire.
  5. Expliquer la différence entre côté et hauteur.
Indication

L'aire vaut base multipliée par hauteur correspondante ; la hauteur n'est pas forcément un côté.

Voir le corrigé
  1. Le périmètre vaut 2(32+18)=1002(32+18)=100 m.
  2. La clôture mesure 100−4=96100-4=96 m.
  3. L'aire vaut 32×12=384 m232\times12=384\ \mathrm{m}^2.
  4. Non, AD ne suffit pas sans angle ou hauteur.
  5. AD est un côté oblique possible ; la hauteur est la distance perpendiculaire entre les droites (AB) et (CD).
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