Notation scientifique 3ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de notation scientifique en 3ème entraînent les conversions, les calculs et la comparaison d'échelles très différentes. Le cours de notation scientifique explique comment normaliser le coefficient.

Les calculs utilisent directement les règles sur les puissances. Chaque résultat est accompagné d'un contrôle d'exposant afin de repérer un décalage de virgule.

Passer de l’écriture décimale à la notation scientifique

Une écriture scientifique possède un coefficient dont la valeur absolue est comprise entre 11 et 1010, puis une puissance de 1010.

Exercice 1 : Déplacer la virgule dans le bon sens

Facile

Écrire en notation scientifique : 72 50072\,500, 0,000 4380{,}000\,438 et −9 040 000-9\,040\,000.

  1. Donner les trois écritures et contrôler le signe de l'exposant.
Indication

Comptez le nombre de rangs parcourus par la virgule. Un petit nombre non nul produit un exposant négatif.

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On obtient 7,25×1047{,}25\times10^4, 4,38×10−44{,}38\times10^{-4} et −9,04×106-9{,}04\times10^6.

Exercice 2 : Reconnaître les écritures non normalisées

Moyen

On propose 0,62×1080{,}62\times10^8, 12,7×10−312{,}7\times10^{-3}, −5,1×102-5{,}1\times10^2 et 10×10610\times10^6.

  1. Repérer les écritures qui sont déjà scientifiques.
  2. Normaliser les autres sans changer leur valeur.
Indication

Vérifiez seulement le coefficient : sa valeur absolue doit satisfaire 1⩽∣a∣<101\leqslant |a|\lt10.

Voir le corrigé
  1. Seule −5,1×102-5{,}1\times10^2 est déjà une notation scientifique.
  2. Les autres deviennent 6,2×1076{,}2\times10^7, 1,27×10−21{,}27\times10^{-2} et 1×1071\times10^7.

Exercice 3 : Retrouver le nombre décimal

Facile

Donner l'écriture décimale de 3,07×1053{,}07\times10^5, 8,4×10−68{,}4\times10^{-6} et −1,205×103-1{,}205\times10^3.

  1. Écrire chaque nombre sans puissance de 1010.
  2. Indiquer lequel a la plus petite valeur absolue.
Indication

Un exposant négatif déplace la virgule vers la gauche.

Voir le corrigé
  1. Les nombres sont 307 000307\,000, 0,000 00840{,}000\,0084 et −1 205-1\,205.
  2. La plus petite valeur absolue est 0,000 00840{,}000\,0084.

Calculer et normaliser le résultat

On traite séparément les coefficients et les puissances de 1010, puis on corrige le coefficient final s'il sort de l'intervalle attendu.

Exercice 4 : Produit de deux mesures

Moyen

Calculer A=(3,2×10−5)(7,5×108)A=(3{,}2\times10^{-5})(7{,}5\times10^8).

  1. Multiplier les coefficients et les puissances.
  2. Normaliser le résultat.
Indication

Le premier résultat intermédiaire a un coefficient égal à 2424, qui doit être réécrit.

Voir le corrigé
  1. A=24×103A=24\times10^3.
  2. Comme 24=2,4×1024=2{,}4\times10, on obtient A=2,4×104A=2{,}4\times10^4.

Exercice 5 : Quotient et exposant négatif

Moyen

Calculer B=6,3×10−79×104B=\dfrac{6{,}3\times10^{-7}}{9\times10^4}.

  1. Calculer le quotient des coefficients.
  2. Soustraire les exposants.
  3. Donner une écriture scientifique.
Indication

Le quotient des coefficients vaut 0,70{,}7, ce qui n'est pas encore normalisé.

Voir le corrigé
  1. 6,3/9=0,76{,}3/9=0{,}7.
  2. 10−7/104=10−1110^{-7}/10^4=10^{-11}.
  3. B=0,7×10−11=7×10−12B=0{,}7\times10^{-11}=7\times10^{-12}.

Exercice 6 : Additionner après avoir aligné les exposants

Difficile

Calculer C=4,7×106+8,3×105−1,2×106C=4{,}7\times10^6+8{,}3\times10^5-1{,}2\times10^6.

  1. Écrire tous les termes avec la puissance 10610^6.
  2. Effectuer le calcul sur les coefficients.
  3. Contrôler le résultat par un ordre de grandeur.
Indication

Une addition ne permet pas d'additionner les exposants. Il faut d'abord choisir une puissance commune.

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  1. 8,3×105=0,83×1068{,}3\times10^5=0{,}83\times10^6.
  2. C=(4,7+0,83−1,2)×106=4,33×106C=(4{,}7+0{,}83-1{,}2)\times10^6=4{,}33\times10^6.
  3. Le calcul 4,7+0,8−1,24{,}7+0{,}8-1{,}2 donne environ 4,34{,}3, ce qui confirme la taille du résultat.

Comparer des échelles et estimer un ordre de grandeur

Lorsque les exposants diffèrent, ils donnent la première information de comparaison. Un ordre de grandeur sert ensuite à contrôler une opération.

Exercice 7 : Classer quatre nombres très différents

Moyen

Ranger par ordre croissant 6,1×10−46{,}1\times10^{-4}, 5,9×10−35{,}9\times10^{-3}, 8,2×10−58{,}2\times10^{-5} et 1,4×10−31{,}4\times10^{-3}.

  1. Regrouper mentalement les nombres par exposant.
  2. Écrire le classement final.
Indication

Pour des nombres positifs normalisés, le plus petit exposant correspond ici au plus petit nombre.

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  1. On rencontre d'abord 10−510^{-5}, puis 10−410^{-4}, puis deux nombres en 10−310^{-3}.
  2. 8,2×10−5<6,1×10−4<1,4×10−3<5,9×10−38{,}2\times10^{-5}\lt6{,}1\times10^{-4}\lt1{,}4\times10^{-3}\lt5{,}9\times10^{-3}.

Exercice 8 : Choisir un ordre de grandeur

Moyen

Sans effectuer le calcul exact, estimer D=7,8×1011×2,1×10−43,9×102D=\dfrac{7{,}8\times10^{11}\times2{,}1\times10^{-4}}{3{,}9\times10^2}.

  1. Arrondir les coefficients à des valeurs pratiques.
  2. Déterminer une puissance de 1010 proche de DD.
  3. Calculer ensuite DD exactement pour vérifier.
Indication

On peut remplacer approximativement 7,87{,}8 par 88, 2,12{,}1 par 22 et 3,93{,}9 par 44.

Voir le corrigé
  1. Le quotient des coefficients est proche de (8×2)/4=4(8\times2)/4=4.
  2. Les puissances donnent 1011−4−2=10510^{11-4-2}=10^5, donc DD est de l'ordre de 10510^5.
  3. Exactement, D=4,2×105D=4{,}2\times10^5, en accord avec l'estimation.

Exercice 9 : Diagnostiquer un décalage de virgule

Moyen

Pour 0,000 0720{,}000\,072, Lina écrit 7,2×1057{,}2\times10^5 et Sami écrit 72×10−672\times10^{-6}.

  1. Expliquer l'erreur de Lina.
  2. Dire ce qui manque à l'écriture de Sami.
  3. Donner la notation scientifique correcte.
Indication

Le nombre initial est inférieur à 11, donc l'exposant d'une écriture scientifique doit être négatif.

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  1. Lina a choisi le mauvais signe d'exposant : son écriture représente un grand nombre.
  2. L'écriture de Sami vaut bien le nombre donné, mais son coefficient 7272 n'est pas normalisé.
  3. La notation scientifique est 7,2×10−57{,}2\times10^{-5}.

Résoudre des problèmes avec unités

La puissance de dix n'a de sens que si l'unité reste cohérente. Une conversion doit être faite avant la comparaison ou le quotient demandé.

Exercice 10 : Épaisseur d’une feuille de papier

Moyen

Une ramette de 500500 feuilles mesure 5,25{,}2 cm d'épaisseur, sans compter l'emballage.

  1. Calculer l'épaisseur d'une feuille en centimètres.
  2. La convertir en mètres et l'écrire en notation scientifique.
  3. Comparer cette valeur à 1×10−41\times10^{-4} m.
Indication

Divisez d'abord par 500500, puis utilisez 1 cm=10−2 m1\,\text{cm}=10^{-2}\,\text{m}.

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  1. Une feuille mesure 5,2/500=0,01045{,}2/500=0{,}0104 cm.
  2. 0,01040{,}0104 cm vaut 0,0001040{,}000104 m, soit 1,04×10−41{,}04\times10^{-4} m.
  3. Cette épaisseur est 1,041{,}04 fois 10−410^{-4} m, donc elle est légèrement supérieure à 1×10−41\times10^{-4} m.

Exercice 11 : Temps de parcours d’un signal

Difficile

Un signal se déplace à 3,0×1083{,}0\times10^8 m/s et parcourt 3,84×1083{,}84\times10^8 m.

  1. Écrire le quotient qui donne la durée en secondes.
  2. Calculer cette durée.
  3. Déterminer la durée d'un aller-retour.
  4. Expliquer pourquoi une réponse de 128128 s serait incohérente.
Indication

Dans le quotient, les deux puissances 10810^8 se simplifient complètement.

Voir le corrigé
  1. La durée d'un aller est t=3,84×1083,0×108t=\dfrac{3{,}84\times10^8}{3{,}0\times10^8}.
  2. t=1,28t=1{,}28 s.
  3. L'aller-retour dure 2×1,28=2,562\times1{,}28=2{,}56 s.
  4. Les puissances identiques donnent un quotient de l'ordre de 11, pas de 10210^2. Une durée de 128128 s signale donc un mauvais traitement des exposants.
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