Les nombres relatifs en 5ème permettent de situer ce qui se trouve avant ou après une origine : une température sous zéro, un étage en sous-sol, une dette ou un déplacement en sens inverse. Le signe \(+\) ou \(-\) indique un côté de zéro ; il ne dit pas à lui seul quelle est la distance parcourue.
Pour éviter les confusions, nous allons relier chaque écriture à une droite graduée. Cette représentation rend visibles l’opposé, la distance à zéro, l’abscisse d’un point et l’ordre des nombres négatifs.
Du zéro vers deux directions
Nombre relatif
Un nombre relatif est un nombre précédé éventuellement d’un signe \(+\) ou \(-\). Un nombre strictement positif est situé à droite de \(0\) sur une droite graduée ; un nombre strictement négatif est situé à gauche. Le nombre \(0\) n’est ni positif ni négatif.
Le signe \(+\) est souvent omis : \(+5\) et \(5\) désignent le même nombre. En revanche, le signe \(-\) doit rester visible, car \(-5\) et \(5\) occupent deux positions différentes.
| Situation | Origine choisie | Écriture relative |
|---|---|---|
| Température de 4 degrés sous zéro | \(0\,^\circ\text{C}\) | \(-4\,^\circ\text{C}\) |
| Plongeur à 12 m sous la surface | surface de l’eau | \(-12\,\text{m}\) |
| Gain de 18 € | solde initial | \( +18\,€\) |
| Étage trois sous le rez-de-chaussée | rez-de-chaussée | \(-3\) |
Le même nombre peut avoir un sens différent selon l’origine et l’unité. Les mathématiques conservent la position relative, tandis que le contexte précise ce que représente zéro.
Placer et lire une abscisse
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre appelé abscisse. Pour placer \(A(-3)\), on part de l’origine \(0\), puis on avance de trois unités vers la gauche. Pour placer \(B(2,5)\), on avance de deux unités et demie vers la droite.
La graduation doit être régulière. Si deux traits successifs représentent \(0,5\), il faut compter les intervalles et non les traits. L’origine et au moins une autre valeur connue permettent de déterminer le pas de graduation.
Erreur fréquente : le signe \(-\) indique une direction à partir de zéro. Il ne signifie pas que le nombre est « impossible » ni que la distance est négative.
Opposés : même distance, côtés contraires
Nombres opposés
Deux nombres sont opposés lorsqu’ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. Leur somme vaut \(0\).
L’opposé de \(4,2\) est \(-4,2\), et l’opposé de \(-9\) est \(9\). Le nombre \(0\) est son propre opposé. Sur la droite graduée, les points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine.
Il faut distinguer « opposé » et « inverse ». L’opposé de \(5\) est \(-5\), tandis que son inverse est \(\frac{1}{5}\). En 5ème, le mot opposé concerne l’addition : deux opposés s’annulent lorsqu’on les additionne.
Distance à zéro et valeur absolue
La distance à zéro d’un nombre relatif est la longueur qui sépare son point de l’origine. Une distance étant positive ou nulle, la distance à zéro de \(-6\) vaut \(6\), tout comme celle de \(6\).
L’écriture \(|x|\) se lit « valeur absolue de \(x\) ». Elle désigne la distance à zéro de \(x\). À ce niveau, l’essentiel est de ne pas y voir une suppression automatique de signes dans n’importe quel calcul : les barres ont une signification géométrique précise.
Astuce : pour trouver l’opposé, on change le côté de zéro ; pour trouver la distance à zéro, on mesure l’écart sans direction.
Comparer des nombres relatifs sans réciter trois règles
L’ordre sur la droite graduée
Parmi deux nombres relatifs, le plus grand est toujours celui qui se trouve le plus à droite sur la droite graduée.
Cette seule propriété explique tous les cas. Un nombre positif est à droite d’un nombre négatif. Entre deux nombres positifs, celui dont la distance à zéro est la plus grande est le plus grand. Entre deux nombres négatifs, celui dont la distance à zéro est la plus grande est le plus à gauche, donc le plus petit.
| Comparaison | Lecture sur la droite | Conclusion |
|---|---|---|
| \(-3\) et \(5\) | \(5\) est à droite de \(-3\) | \(-3<5\) |
| \(2,8\) et \(2,15\) | \(2,8\) est à droite | \(2,8>2,15\) |
| \(-7\) et \(-4\) | \(-7\) est plus à gauche | \(-7<-4\) |
| \(-0,6\) et \(-0,9\) | \(-0,6\) est plus près de zéro | \(-0,6>-0,9\) |
Erreur fréquente : entre deux négatifs, le nombre qui possède les plus grands chiffres n’est pas le plus grand. \(-12<-5\), car \(-12\) est plus à gauche.
Ranger une liste et encadrer un nombre
Pour ranger plusieurs nombres, on peut d’abord séparer les négatifs, zéro et les positifs. Parmi les négatifs, on place en premier ceux qui sont les plus éloignés de zéro. Parmi les positifs, on suit l’ordre décimal habituel.
Encadrer \(-2,4\) par deux entiers consécutifs revient à repérer les entiers placés immédiatement de part et d’autre : \(-3<-2,4<-2\). L'ordre des entiers négatifs est parfois contre-intuitif, mais la droite graduée lève l'ambiguïté.
La lecture précise des nombres décimaux, nécessaire ici, prolonge le cours sur les nombres entiers et décimaux en 6ème.
Passer d’une situation à une écriture mathématique
Une variation peut être décrite par une phrase, une flèche ou un nombre relatif. Une baisse de \(3,5\,^\circ\text{C}\) correspond à une variation de \(-3,5\,^\circ\text{C}\), mais la température finale dépend de la température initiale. Ne pas confondre une position et un déplacement prépare les opérations sur les relatifs.
Si un ascenseur est à l’étage \(-2\) puis monte de \(5\) étages, \(-2\) décrit la position de départ et \(+5\) le déplacement. L’expression \(-2+5\) devra respecter les mêmes conventions de lecture que celles du calcul numérique en 5ème.
Carte d’altitudes : lire position, écart et opposé
Un refuge est situé à \(+1\,850\) m par rapport au niveau de la mer, une galerie à \(-120\) m et un village à \(+640\) m. Les signes décrivent la position par rapport à l’origine « niveau de la mer ».
Le refuge est le point le plus haut, car \(1\,850>640>-120\). L’écart vertical entre le refuge et la galerie ne se lit pas avec les distances à zéro séparément : il faut parcourir \(1\,850\) m jusqu’à zéro puis \(120\) m sous zéro, soit \(1\,970\) m.
L’opposé de l’altitude du village est \(-640\) m. Il représente une position symétrique par rapport au niveau de la mer, mais il ne correspond à aucun lieu de l’énoncé. Une opération sur les nombres peut produire une valeur mathématique sans que cette valeur ait automatiquement un objet réel associé.
Méthode de comparaison avec des décimaux négatifs
Pour comparer \(-3,08\) et \(-3,8\), on peut écrire \(-3,80\) afin d’aligner les chiffres. Les distances à zéro sont \(3,08\) et \(3,80\). Le second nombre est plus éloigné vers la gauche, donc \(-3,8<-3,08\).
Pour ranger \(-2,4\), \(0,07\), \(-2,04\), \(-0,7\) et \(2,4\), on place d’abord les négatifs en comparant leurs distances, puis le positif proche de zéro et le positif plus grand :
Le zéro ajouté dans \(-2,40\) ne change pas la valeur ; il facilite seulement la comparaison des rangs décimaux.
Nombres relatifs 5ème : l’essentiel à retenir
Les nombres relatifs en 5ème deviennent simples lorsque chaque signe est relié à une position. L’opposé change de côté sans changer de distance ; la valeur absolue mesure cette distance ; la comparaison revient toujours à chercher le point le plus à droite.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 installe ces repères avant les opérations, afin que les règles de calcul reposent sur un sens plutôt que sur une récitation.