Ces exercices corrigés de Multiples, diviseurs et nombres premiers en Seconde suivent une progression réelle : automatismes, choix de méthode, diagnostic d’erreur, justification et problème de synthèse. Chaque indication aide à démarrer sans révéler immédiatement la solution.
Avant la série, le cours de Multiples, diviseurs et nombres premiers permet de revoir les propriétés utiles. Les exercices mobilisent aussi les ensembles N et Z lorsque cette notion intervient naturellement dans le raisonnement.
Automatismes et repères sur Multiples, diviseurs et nombres premiers
Cette première partie vérifie les écritures, les conditions d’emploi et les calculs qui doivent devenir fiables avant une synthèse.
Exercice 1 : Décomposition et liste des diviseurs
Facile
On étudie le nombre \(756\).
- Décomposer \(756\) en facteurs premiers.
- Déduire son nombre de diviseurs positifs.
- Citer quatre diviseurs supérieurs à \(20\).
Indication
Voir le corrigé
On trouve \(756=2^2\times3^3\times7\). Le nombre de diviseurs vaut \((2+1)(3+1)(1+1)=24\). Par exemple \(21\), \(27\), \(28\) et \(36\) divisent \(756\).
Contrôle : dans un test de primalité, annoncer la borne des diviseurs essayés ; dans une fraction irréductible, vérifier qu’aucun facteur commun ne reste.
Exercice 2 : Associer les formules de Multiples, diviseurs et nombres premiers
Facile
Associer chaque écriture à son rôle, puis préciser les conditions qui rendent son emploi licite.
- \(a=dm,\ b=dn\quad\Longrightarrow\quad a+b=d(m+n).\) : Somme de deux multiples d’un même entier.
- Recopier les associations sans modifier les symboles.
- Choisir une formule et expliquer un cas où elle ne peut pas être appliquée directement.
Indication
Voir le corrigé
- \(a=dm,\ b=dn\quad\Longrightarrow\quad a+b=d(m+n).\) : Somme de deux multiples d’un même entier.
La formule principale du chapitre est \(a=dm,\ b=dn\quad\Longrightarrow\quad a+b=d(m+n).\). Son emploi doit rester cohérent avec la définition : Un entier a est multiple d’un entier non nul b s’il existe un entier k tel que a=bk. On dit alors que b divise a. Un entier pair s’écrit 2k et un entier impair 2k+1, avec k entier. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Exercice 3 : Comparer deux stratégies pour Multiples, diviseurs et nombres premiers
Difficile
Deux élèves proposent l’un un calcul direct et l’autre la méthode suivante : Chercher des diviseurs premiers jusqu’à la racine carrée du nombre seulement.
- Décrire les avantages de chaque stratégie.
- Identifier les hypothèses implicites.
- Choisir la stratégie la plus robuste pour un cas général.
- Présenter un contrôle commun aux deux démarches.
Indication
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La démarche robuste suit cette progression : Écarter 0 et 1, qui ne sont pas premiers, puis tester 2 séparément. Puis Chercher des diviseurs premiers jusqu’à la racine carrée du nombre seulement.
Le choix se valide en appliquant ce contrôle : dans un test de primalité, annoncer la borne des diviseurs essayés ; dans une fraction irréductible, vérifier qu’aucun facteur commun ne reste.
Exercice 4 : Contrôle oral sur Multiples, diviseurs et nombres premiers
Facile
Préparer une explication d’une minute autour de cette définition : Un entier a est multiple d’un entier non nul b s’il existe un entier k tel que a=bk. On dit alors que b divise a. Un entier pair s’écrit 2k et un entier impair 2k+1, avec k entier. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
- Donner la définition, une propriété, un exemple et une erreur à éviter.
Indication
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Définition : Un entier a est multiple d’un entier non nul b s’il existe un entier k tel que a=bk. On dit alors que b divise a. Un entier pair s’écrit 2k et un entier impair 2k+1, avec k entier. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Propriété : Si a et b sont deux multiples d’un même entier d, alors leur somme et leur différence sont encore des multiples de d. L’écriture a=dm et b=dn permet de factoriser d et rend la propriété visible sans tester de valeurs particulières.
Erreur à éviter : vérifier quelques exemples ne constitue pas une démonstration générale. Une propriété sur tous les entiers exige une écriture qui conserve un entier arbitraire.
Méthodes de résolution en Seconde
Les exercices suivants demandent de choisir une démarche, de détailler les transformations et de contrôler le résultat par une seconde lecture.
Exercice 5 : Fractions à rendre irréductibles
Moyen
Simplifier \(630/924\) jusqu’à obtenir une fraction irréductible.
- Décomposer le numérateur et le dénominateur.
- Calculer leur PGCD.
- Donner la fraction irréductible.
Indication
Voir le corrigé
\(630=2\times3^2\times5\times7\) et \(924=2^2\times3\times7\times11\). Leur PGCD vaut \(2\times3\times7=42\). Ainsi \(630/924=15/22\), fraction irréductible.
Contrôle : dans un test de primalité, annoncer la borne des diviseurs essayés ; dans une fraction irréductible, vérifier qu’aucun facteur commun ne reste.
Exercice 6 : Tester 221 puis rendre une fraction irréductible : reprise guidée
Facile
On veut déterminer si 221 est premier, puis simplifier la fraction 221/299 sans procéder au hasard.
- Identifier les données utiles et la notion du cours à mobiliser.
- Effectuer le raisonnement ou le calcul en détaillant les étapes.
- Formuler un contrôle indépendant du résultat obtenu.
Indication
Voir le corrigé
- La racine carrée de 221 est comprise entre 14 et 15 ; il suffit de tester 2, 3, 5, 7, 11 et 13.
- 221 n’est divisible ni par 2, 3, 5, 7 ou 11, mais 221=13 fois 17.
- Le nombre n’est donc pas premier et 13 est un facteur utile.
- Comme 299=13 fois 23, la fraction se simplifie en 17/23.
- 17 et 23 étant premiers distincts, la fraction finale est irréductible.
Le contrôle final consiste à dans un test de primalité, annoncer la borne des diviseurs essayés ; dans une fraction irréductible, vérifier qu’aucun facteur commun ne reste.
Exercice 7 : Reconstruire la méthode de Multiples, diviseurs et nombres premiers
Moyen
Les étapes ci-dessous ont été mélangées. Elles ne forment plus une procédure fiable.
- Diviser les deux termes jusqu’à ce que leur plus grand diviseur commun soit 1.
- Pour une fraction, identifier un diviseur commun du numérateur et du dénominateur.
- Si aucun test n’aboutit, conclure en justifiant la borne d’arrêt.
- Chercher des diviseurs premiers jusqu’à la racine carrée du nombre seulement.
- Écarter 0 et 1, qui ne sont pas premiers, puis tester 2 séparément.
- Remettre les étapes dans un ordre logique.
- Expliquer pourquoi la dernière étape sert de contrôle et non de nouveau calcul.
Indication
Voir le corrigé
- Écarter 0 et 1, qui ne sont pas premiers, puis tester 2 séparément.
- Chercher des diviseurs premiers jusqu’à la racine carrée du nombre seulement.
- Si aucun test n’aboutit, conclure en justifiant la borne d’arrêt.
- Pour une fraction, identifier un diviseur commun du numérateur et du dénominateur.
- Diviser les deux termes jusqu’à ce que leur plus grand diviseur commun soit 1.
Cette organisation évite l’erreur signalée dans le cours : vérifier quelques exemples ne constitue pas une démonstration générale. Une propriété sur tous les entiers exige une écriture qui conserve un entier arbitraire.
Exercice 8 : Débusquer une erreur sur Multiples, diviseurs et nombres premiers
Moyen
Un raisonnement conduit à l’affirmation suivante : vérifier quelques exemples ne constitue pas une démonstration générale. Une propriété sur tous les entiers exige une écriture qui conserve un entier arbitraire.
- Repérer précisément l’étape ou l’interprétation incorrecte.
- Énoncer la propriété correcte avec ses conditions.
- Proposer un exemple ou un contre-exemple simple.
- Indiquer comment contrôler la nouvelle conclusion.
Indication
Voir le corrigé
L’affirmation n’est pas recevable telle quelle. Si a et b sont deux multiples d’un même entier d, alors leur somme et leur différence sont encore des multiples de d. L’écriture a=dm et b=dn permet de factoriser d et rend la propriété visible sans tester de valeurs particulières.
Un contrôle adapté consiste à dans un test de primalité, annoncer la borne des diviseurs essayés ; dans une fraction irréductible, vérifier qu’aucun facteur commun ne reste.
Problèmes et raisonnements autour de Multiples, diviseurs et nombres premiers
La dernière partie combine calcul, justification et interprétation. Une réponse numérique sans explication n’y constitue pas une solution complète.
Exercice 9 : Preuve sur le carré d’un entier impair
Difficile
On veut démontrer que le carré de tout entier impair est impair.
- Écrire un entier impair sous la forme \(2k+1\).
- Développer son carré.
- Mettre le résultat sous la forme \(2m+1\).
- Conclure en précisant la nature de \(m\).
Indication
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Si \(n=2k+1\), alors \(n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\). Le nombre \(m=2k^2+2k\) est entier. Le carré est donc de la forme \(2m+1\), donc impair.
Contrôle : dans un test de primalité, annoncer la borne des diviseurs essayés ; dans une fraction irréductible, vérifier qu’aucun facteur commun ne reste.