Multiples, diviseurs et nombres premiers Seconde : 9 exercices corrigés

Cette série de neuf exercices corrigés travaille la divisibilité en Seconde avec des tâches distinctes : vocabulaire, liste de diviseurs, chiffre manquant, primalité, décomposition, fraction irréductible, preuves et problème de regroupement. Les corrections effectuent tous les calculs annoncés.

Les définitions et les critères sont réunis dans le cours sur les multiples, diviseurs et nombres premiers. Les ensembles N\mathbb N et Z\mathbb Z sont replacés dans le chapitre des nombres réels en Seconde.

Manipuler diviseurs et critères de divisibilité

Exercice 1 : employer le bon vocabulaire

Facile

Compléter chaque phrase et justifier par une égalité.

  1. 99 est un ... de 117117.
  2. 144144 est un ... de 1212.
  3. Le nombre 1515 ... 345345.
  4. Le nombre 88 ne ... pas 9898.
Indication
Chercher une écriture de la forme a=bka=bk avec kk entier.
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  1. 99 est un diviseur de 117117, car 117=9×13117=9\times13.
  2. 144144 est un multiple de 1212, car 144=12×12144=12\times12.
  3. 1515 divise 345345, car 345=15×23345=15\times23.
  4. 88 ne divise pas 9898, car 98=8×12+298=8\times12+2.

Exercice 2 : dresser la liste des diviseurs de 72

Facile
  1. Décomposer 7272 en facteurs premiers.
  2. Écrire tous ses diviseurs positifs dans l'ordre croissant.
  3. Combien de ces diviseurs sont pairs ?
Indication
À partir de 72=23×3272=2^3\times3^2, combiner une puissance de 22 parmi 20,21,22,232^0,2^1,2^2,2^3 et une puissance de 33 parmi 30,31,323^0,3^1,3^2.
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1. 72=8×9=23×3272=8\times9=2^3\times3^2.

2. Les diviseurs positifs sont 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,721,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72.

3. Les diviseurs pairs sont 2,4,6,8,12,18,24,36,722,4,6,8,12,18,24,36,72, soit 99 diviseurs.

Exercice 3 : trouver le chiffre manquant

Moyen

Le nombre 37a‾\overline{37a} possède trois chiffres et aa désigne son chiffre des unités.

  1. Quelles valeurs de aa rendent 37a‾\overline{37a} divisible par 44 ?
  2. Quelles valeurs le rendent divisible par 33 ?
  3. Déterminer aa pour que le nombre soit divisible à la fois par 33 et par 44.
Indication
Pour 44, observer les deux derniers chiffres 7a7a. Pour 33, utiliser la somme 3+7+a3+7+a.
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1. Entre 7070 et 7979, les multiples de 44 sont 7272 et 7676. Ainsi a=2a=2 ou a=6a=6.

2. 10+a10+a doit être multiple de 33. Pour aa compris entre 00 et 99, on obtient a=2a=2, 55 ou 88.

3. L'unique valeur commune aux deux listes est a=2a=2. Le nombre est 372372, divisible par 1212.

Tester la primalité et décomposer

Exercice 4 : comparer 221 et 227

Moyen
  1. Donner les nombres premiers qu'il suffit de tester pour 221221.
  2. Montrer que 221221 n'est pas premier.
  3. Effectuer un test complet pour décider si 227227 est premier.
Indication
221<15\sqrt{221}<15 et 227<16\sqrt{227}<16. Tester seulement les diviseurs premiers jusqu'à ces bornes.
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1. Il suffit de tester 2,3,5,7,112,3,5,7,11 et 1313.

2. 221÷13=17221\div13=17, donc 221=13×17221=13\times17 et n'est pas premier.

3. 227227 n'est divisible ni par 22, ni par 33 car 2+2+7=112+2+7=11, ni par 55. Les divisions par 77, 1111 et 1313 ont des restes respectifs 33, 77 et 66. Aucun nombre premier inférieur à 227\sqrt{227} ne le divise, donc 227227 est premier.

Exercice 5 : factoriser 756 et 630

Moyen
  1. Décomposer 756756 et 630630 en facteurs premiers.
  2. Déduire leur plus grand diviseur commun.
  3. Déduire leur plus petit multiple commun.
Indication
Pour le diviseur commun, garder les plus petits exposants communs. Pour le multiple commun, garder les plus grands exposants présents.
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1. 756=22×33×7756=2^2\times3^3\times7 et 630=2×32×5×7630=2\times3^2\times5\times7.

2. Le PGCD est 2×32×7=1262\times3^2\times7=126.

3. Le PPCM est 22×33×5×7=37802^2\times3^3\times5\times7=3780.

Exercice 6 : rendre deux fractions irréductibles

Moyen
  1. Simplifier 756630\frac{756}{630} à l'aide de l'exercice précédent.
  2. Rendre irréductible 693990\frac{693}{990}.
  3. Justifier que les deux fractions finales sont irréductibles.
Indication
Pour la seconde fraction, 693=32×7×11693=3^2\times7\times11 et 990=2×32×5×11990=2\times3^2\times5\times11.
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1. On divise le numérateur et le dénominateur par 126126 : 756630=65\frac{756}{630}=\frac65.

2. Le facteur commun est 32×11=993^2\times11=99, donc 693990=710\frac{693}{990}=\frac7{10}.

3. 66 et 55 sont premiers entre eux. De même, 77 ne divise pas 1010. Les deux fractions sont irréductibles.

Démontrer et résoudre un problème

Exercice 7 : prouver une divisibilité

Difficile

On sait que 7∣a7\mid a et 7∣b7\mid b, où aa et bb sont entiers.

  1. Démontrer que 7∣(3a−2b)7\mid(3a-2b).
  2. La réciproque est-elle vraie ? Autrement dit, si 7∣(3a−2b)7\mid(3a-2b), peut-on conclure que 7∣a7\mid a et 7∣b7\mid b ?
Indication
Écrire a=7pa=7p et b=7qb=7q. Pour la réciproque, chercher deux petits entiers qui donnent 3a−2b=73a-2b=7.
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1. Il existe p,q∈Zp,q\in\mathbb Z tels que a=7pa=7p et b=7qb=7q. Alors 3a−2b=21p−14q=7(3p−2q)3a-2b=21p-14q=7(3p-2q). Comme 3p−2q3p-2q est entier, 7∣(3a−2b)7\mid(3a-2b).

2. La réciproque est fausse. Avec a=3a=3 et b=1b=1, on a 3a−2b=73a-2b=7, divisible par 77, alors que ni 33 ni 11 ne sont divisibles par 77.

Exercice 8 : raisonner sur la parité

Difficile
  1. Démontrer que le carré d'un entier impair est impair.
  2. Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
  3. La somme de deux entiers impairs est-elle paire ou impaire ? Justifier.
Indication
Utiliser les écritures 2k2k et 2k+12k+1. Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair.
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1. Si n=2k+1n=2k+1, alors n2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1. C'est la forme d'un entier impair.

2. Si le premier entier nn est pair, le produit n(n+1)n(n+1) est pair. S'il est impair, n+1n+1 est pair, donc le produit l'est encore.

3. (2p+1)+(2q+1)=2(p+q+1)(2p+1)+(2q+1)=2(p+q+1). La somme est paire.

Exercice 9 : constituer le maximum de lots identiques

Difficile

Une association possède 756756 jetons rouges et 630630 jetons bleus. Elle veut constituer le plus grand nombre de lots strictement identiques en utilisant tous les jetons.

  1. Pourquoi le nombre de lots doit-il diviser 756756 et 630630 ?
  2. Déterminer le nombre maximal de lots.
  3. Donner la composition de chaque lot.
Indication
Le nombre recherché est le plus grand diviseur commun aux deux quantités.
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1. Chaque couleur doit être répartie sans reste entre les lots. Le nombre de lots est donc un diviseur commun de 756756 et 630630.

2. D'après les décompositions, leur PGCD vaut 126126. On peut constituer au maximum 126126 lots.

3. Chaque lot contient 756÷126=6756\div126=6 jetons rouges et 630÷126=5630\div126=5 jetons bleus.

Pour consolider les justifications, relisez la différence entre exemple, test de primalité et preuve générale avant de refaire les exercices 4, 7 et 8 sans consulter les corrigés.

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