Multiples, diviseurs et nombres premiers Seconde : méthodes

Multiples, diviseurs et nombres premiers donnent une structure aux entiers. En Seconde, ces notions servent à démontrer une propriété de divisibilité, tester si un entier est premier, obtenir une décomposition en facteurs premiers et rendre une fraction irréductible.

Les inclusions entre entiers et réels sont rappelées dans le cours sur les ensembles de nombres en Seconde. Les méthodes de ce chapitre sont mises à l'épreuve dans les neuf exercices corrigés d'arithmétique.

Multiple et diviseur : deux lectures d’une même égalité

Par exemple, $7\mid84$ car $84=7\times12$. En revanche, $7\nmid86$, car aucun entier multiplié par $7$ ne donne $86$.

En effet, $a=dp$ et $b=dq$ pour certains entiers $p$ et $q$. Alors :

$$ma+nb=m(dp)+n(dq)=d(mp+nq).$$

Comme $mp+nq$ est entier, $d\mid(ma+nb)$. Cette écriture constitue une démonstration générale, contrairement à la vérification de quelques exemples.

Reconnaître un entier pair ou impair

Un entier pair s'écrit $2k$. Un entier impair s'écrit $2k+1$, avec $k\in\mathbb Z$. Ces formes permettent de prouver des propriétés de parité.

Si $n=2k+1$ est impair, alors :

$$n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1.$$

Le nombre $2k^2+2k$ est entier, donc $n^2$ est impair.

Utiliser les critères de divisibilité

Diviseur	Critère	Exemple
2	Le chiffre des unités est pair.	348
3	La somme des chiffres est multiple de 3.	561 car $5+6+1=12$
4	Le nombre formé par les deux derniers chiffres est multiple de 4.	2316 car $16$ est multiple de 4
5	Le chiffre des unités est 0 ou 5.	1275
9	La somme des chiffres est multiple de 9.	729 car $7+2+9=18$
10	Le chiffre des unités est 0.	1430

Contrôle utile : un critère donne une réponse exacte pour le diviseur concerné, mais il ne suffit pas à conclure qu'un nombre est premier.

Déterminer si un nombre est premier

Pour tester un entier $n>1$, il suffit de chercher un diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt n$. Si $n=ab$ avec $1<a\le b$, alors $a\le\sqrt n$.

Deux tests complets

Pour $221$, on a $\sqrt{221}\approx14{,}9$. Il faut tester $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$. Or $221=13\times17$, donc $221$ n'est pas premier.

Pour $227$, $\sqrt{227}\approx15{,}1$. Aucun des nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$ ne divise $227$. Le nombre $227$ est donc premier.

Décomposer un entier en facteurs premiers

Tout entier naturel supérieur ou égal à $2$ se décompose en un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

On peut lire sur l'arbre :

$$756=28\times27=(2^2\times7)\times3^3=2^2\times3^3\times7.$$

Rendre une fraction irréductible

Deux décompositions permettent de repérer tous les facteurs communs du numérateur et du dénominateur. Pour simplifier $\frac{756}{630}$ :

$$756=2^2\times3^3\times7,$$ $$630=2\times3^2\times5\times7.$$

Le produit des facteurs communs avec les plus petits exposants est :

$$2\times3^2\times7=126.$$

On divise alors les deux termes par $126$ :

$$\frac{756}{630}=\frac{6}{5}.$$

Les entiers $6$ et $5$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$, donc la fraction est irréductible.

Organiser une résolution d’arithmétique

1. Écrire la définition adaptée : $a=bk$, $n=2k$ ou $n=2k+1$.
2. Pour un test de primalité, annoncer la borne $\sqrt n$ avant les divisions.
3. Pour une fraction, décomposer ou calculer un diviseur commun, puis vérifier que le quotient final est irréductible.
4. Dans une preuve, garder une lettre entière arbitraire jusqu'à la conclusion.

La progression se poursuit avec des problèmes corrigés de divisibilité et de nombres premiers, depuis le vocabulaire jusqu'aux preuves et aux regroupements par paquets.