Multiples et diviseurs 5ème : 14 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les multiples, les diviseurs et les critères de divisibilité en 5ème entraînent à reconnaître une relation et surtout à la justifier. Les définitions sont réunies dans le cours sur les multiples et les diviseurs.

Les activités vont des automatismes aux problèmes de partage et de cycles. Elles s’intègrent à la progression de mathématiques de 5ème.

Employer le vocabulaire avec précision

Une égalité de division permet d’exprimer correctement les relations entre dividende, diviseur et quotient.

Exercice 1 : Lire une égalité de produit

Facile

On sait que 84=7×1284=7\times12.

  1. Donner deux diviseurs de 8484.
  2. Donner deux multiples de 77 déduits de l’égalité.
  3. Compléter : « 8484 est ... de 1212 ».
  4. Dire si 8484 est divisible par 1414, avec justification.
Indication

Un facteur d’un produit entier est un diviseur de ce produit.

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  1. 77 et 1212 divisent 8484.
  2. 8484 est un multiple de 77 ; 168=2×84168=2\times84 en est un autre.
  3. 8484 est un multiple de 1212.
  4. Oui, car 84=14×684=14\times6.

Exercice 2 : Vrai ou faux, mais justifié

Facile

Décider si chaque affirmation est vraie.

  1. 66 est un multiple de 4242.
  2. 99 est un diviseur de 117117.
  3. Tout multiple de 1010 est multiple de 55.
  4. Si aa divise bb, alors bb est un multiple de aa.
  5. Un nombre impair ne peut jamais être multiple de 33.
Indication

Un contre-exemple suffit pour réfuter une affirmation générale.

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  1. Faux : c’est 4242 qui est multiple de 66.
  2. Vrai, car 117=9×13117=9\times13.
  3. Vrai, puisque 10k=5×(2k)10k=5\times(2k).
  4. Vrai : c’est exactement la relation entre diviseur et multiple.
  5. Faux : 99 est impair et multiple de 33.

Exercice 3 : Corriger le vocabulaire

Facile

Tom écrit : « 88 est divisible par 5656, car 56=8×756=8\times7 ».

  1. Réécrire sa phrase correctement de deux manières.
Indication

Dans l’égalité, 5656 est le produit et 88 l’un de ses facteurs.

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On peut écrire : « 5656 est divisible par 88 » ou « 88 est un diviseur de 5656 ». On peut aussi dire que 5656 est un multiple de 88. Tom a inversé les rôles.

Appliquer et choisir un critère de divisibilité

Le dernier chiffre ou la somme des chiffres permet souvent de conclure sans effectuer la division.

Exercice 4 : Tableau de critères

Facile

Pour chacun des nombres 270270, 438438, 1 2451\,245, 7 0927\,092 et 8 1118\,111, indiquer la divisibilité par 22, 33, 55, 99 et 1010.

  1. Étudier 270270 et 438438.
  2. Étudier 1 2451\,245 et 7 0927\,092.
  3. Étudier 8 1118\,111.
Indication

Pour 33 et 99, additionnez les chiffres ; pour 22, 55 et 1010, observez le dernier chiffre.

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270270 est divisible par 2,3,5,9,102,3,5,9,10. 438438 l’est par 22 et 33, mais pas par 5,9,105,9,10, car 4+3+8=154+3+8=15. 1 2451\,245 est divisible par 33 et 55, pas par 2,9,102,9,10. 7 0927\,092 est divisible par 2,3,92,3,9, pas par 5,105,10. Enfin 8 1118\,111 n’est divisible par aucun des cinq nombres proposés : sa somme de chiffres vaut 1111.

Exercice 5 : Choisir le critère le plus rapide

Moyen

Sans poser de division, décider si 63 45063\,450 est divisible par 22, 33, 55, 99 et 1010.

  1. Conclure pour les cinq diviseurs.
  2. Associer à chaque conclusion l’information minimale utilisée.
Indication

Le dernier chiffre répond à trois questions ; la somme des chiffres vaut 1818.

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Le nombre se termine par 00 : il est divisible par 22, 55 et 1010. La somme 6+3+4+5+0=186+3+4+5+0=18 est multiple de 33 et de 99, donc le nombre est également divisible par 33 et 99. Aucun calcul de quotient n’est nécessaire.

Exercice 6 : Des chiffres manquants

Moyen

On remplace l’étoile par un chiffre.

  1. Trouver tous les chiffres pour que 47⋆47\star soit divisible par 22 et par 33.
  2. Trouver tous les chiffres pour que 8⋆58\star5 soit divisible par 99.
  3. Trouver le chiffre pour que 31⋆031\star0 soit divisible par 99.
  4. Justifier que chaque liste est complète.
Indication

Combinez les contraintes sur le dernier chiffre avec celles sur la somme des chiffres.

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  1. Le chiffre doit être pair et 4+7+⋆=11+⋆4+7+\star=11+\star multiple de 33 : ⋆=4\star=4. Ainsi 474474 convient.
  2. 8+⋆+5=13+⋆8+\star+5=13+\star doit être multiple de 99 : ⋆=5\star=5, donnant 855855.
  3. 3+1+⋆+0=4+⋆=93+1+\star+0=4+\star=9, donc ⋆=5\star=5.
  4. On a testé tous les chiffres 00 à 99 compatibles avec chaque condition ; aucune autre valeur n’est possible.

Exercice 7 : Une justification insuffisante

Moyen

À la question « 4 5724\,572 est-il divisible par 99 ? », une copie répond : « oui, parce qu’il est pair ».

  1. Dire si la conclusion est vraie.
  2. Corriger la justification.
Indication

Être pair concerne la divisibilité par 22, pas par 99.

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La conclusion est vraie, mais l’argument est faux. On calcule la somme des chiffres : 4+5+7+2=184+5+7+2=18. Comme 1818 est multiple de 99, 4 5724\,572 est divisible par 99. Le dernier chiffre pair prouve seulement la divisibilité par 22.

Lister des diviseurs et rechercher des nombres

Une liste complète s’obtient en associant les facteurs par paires et en s’arrêtant lorsque les paires se répètent.

Exercice 8 : Tous les diviseurs de 72

Moyen

Déterminer la liste complète des diviseurs positifs de 7272.

  1. Écrire les paires de facteurs dans l’ordre.
  2. En déduire la liste ordonnée des diviseurs.
  3. Combien 7272 possède-t-il de diviseurs positifs ?
Indication

Cherchez 1×721\times72, puis 2×362\times36, et continuez jusqu’au voisinage de 72\sqrt{72}.

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Les paires sont 1×721\times72, 2×362\times36, 3×243\times24, 4×184\times18, 6×126\times12 et 8×98\times9. Les diviseurs sont donc 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,721,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72. Ils sont au nombre de 12. Après 8×98\times9, les paires se répéteraient dans l’ordre inverse.

Exercice 9 : Un nombre sous contraintes

Difficile

Je suis un entier compris entre 100100 et 150150, multiple de 99 et de 55, mais pas de 1010.

  1. Déterminer ce nombre et montrer qu’il est unique.
Indication

Un multiple de 55 non multiple de 1010 se termine par 55.

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Les candidats sont 105,115,125,135,145105,115,125,135,145. Leur somme de chiffres vaut respectivement 6,7,8,9,106,7,8,9,10. Seul 135135 est divisible par 99. Il vérifie toutes les contraintes et la liste exhaustive des nombres terminés par 55 dans l’intervalle prouve son unicité.

Exercice 10 : Plus petit multiple commun dans une situation

Difficile

Une lampe bleue clignote toutes les 1212 secondes et une lampe verte toutes les 1818 secondes. Elles clignotent ensemble à 14 h 0014\ h\ 00.

  1. Lister les premiers multiples de 1212 et de 1818.
  2. Après combien de secondes clignotent-elles à nouveau ensemble ?
  3. Donner l’heure correspondante.
  4. Combien de clignotements bleus ont eu lieu pendant cet intervalle, sans compter l’instant initial ?
Indication

Cherchez le premier multiple positif présent dans les deux listes.

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  1. Multiples de 1212 : 12,24,36,…12,24,36,\ldots ; de 1818 : 18,36,…18,36,\ldots.
  2. Le premier multiple commun positif est 3636.
  3. Les lampes se retrouvent à 14 h 00 min 36 s14\ h\ 00\ min\ 36\ s.
  4. La lampe bleue clignote aux secondes 12,24,3612,24,36, soit trois fois.

Résoudre des partages et contrôler une stratégie

Dans un partage sans reste, le nombre de groupes doit être un diviseur de la quantité totale.

Exercice 11 : Composer des sachets identiques

Moyen

On dispose de 8484 biscuits au chocolat et de 126126 biscuits à la vanille. Tous les sachets doivent être identiques et aucun biscuit ne doit rester.

  1. Dire si l’on peut préparer 77, 99 puis 1414 sachets.
  2. Pour chaque possibilité, donner le contenu d’un sachet.
  3. Quel choix parmi les trois produit le plus grand nombre de sachets ?
Indication

Le nombre de sachets doit diviser simultanément 8484 et 126126.

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77 divise les deux quantités : chaque sachet contient 1212 chocolats et 1818 vanilles. 99 ne divise pas 8484, donc ce partage est impossible. 1414 divise les deux quantités : chaque sachet contient 66 chocolats et 99 vanilles. Parmi les choix proposés, 1414 donne le plus grand nombre de sachets.

Exercice 12 : Un rectangle de carreaux

Moyen

On veut disposer 9696 carreaux en un rectangle comportant plus d’une ligne et plus d’une colonne.

  1. Donner quatre dimensions possibles.
  2. La disposition 7×147\times14 convient-elle ?
Indication

Chaque dimension entière doit appartenir à une paire de facteurs de 9696.

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Par exemple, 2×482\times48, 3×323\times32, 4×244\times24 et 6×166\times16 conviennent, car chaque produit vaut 9696. La disposition 7×147\times14 ne convient pas : elle contient 9898 carreaux, et 77 n’est pas un diviseur de 9696.

Exercice 13 : Débusquer une liste incomplète

Difficile

Noé affirme que les diviseurs de 6060 sont 1,2,3,4,5,10,12,601,2,3,4,5,10,12,60.

  1. Identifier les diviseurs oubliés.
  2. Présenter une méthode garantissant une liste complète.
  3. Vérifier la liste finale par paires de facteurs.
  4. Expliquer pourquoi 77 n’y figure pas.
  5. Donner le nombre total de diviseurs positifs de 6060.
Indication

Écrivez toutes les décompositions de 6060 en produit de deux entiers.

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  1. Il manque 6,15,20,306,15,20,30.
  2. On cherche les facteurs à partir de 11 jusqu’à dépasser 60\sqrt{60}.
  3. Les paires sont 1×601\times60, 2×302\times30, 3×203\times20, 4×154\times15, 5×125\times12, 6×106\times10.
  4. 60÷760\div7 n’est pas entier.
  5. La liste complète contient 1212 diviseurs.

Exercice 14 : Construire un contre-exemple

Difficile

On prétend : « Tout nombre divisible par 33 et par 55 est divisible par 1010. »

  1. Trouver le plus petit contre-exemple positif.
  2. Expliquer ce que les deux hypothèses permettent réellement d’affirmer.
Indication

Un multiple commun de 33 et 55 est un multiple de 1515, mais il ne se termine pas nécessairement par 00.

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Le plus petit contre-exemple est 1515 : il est divisible par 33 et par 55, mais pas par 1010, car il ne se termine pas par 00. Les hypothèses permettent d’affirmer que le nombre est un multiple de 1515, pas qu’il est pair.

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