Multiples et diviseurs 5ème : 14 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les multiples, les diviseurs et les critères de divisibilité en 5ème entraînent à reconnaître une relation et surtout à la justifier. Les définitions sont réunies dans le cours sur les multiples et les diviseurs.

Les activités vont des automatismes aux problèmes de partage et de cycles. Elles s’intègrent à la progression de mathématiques de 5ème.

Employer le vocabulaire avec précision

Une égalité de division permet d’exprimer correctement les relations entre dividende, diviseur et quotient.

Exercice 1 : Lire une égalité de produit

Facile

On sait que \(84=7\times12\).

  1. Donner deux diviseurs de \(84\).
  2. Donner deux multiples de \(7\) déduits de l’égalité.
  3. Compléter : « \(84\) est … de \(12\) ».
  4. Dire si \(84\) est divisible par \(14\), avec justification.
Indication

Un facteur d’un produit entier est un diviseur de ce produit.

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  1. \(7\) et \(12\) divisent \(84\).
  2. \(84\) est un multiple de \(7\) ; \(168=2\times84\) en est un autre.
  3. \(84\) est un multiple de \(12\).
  4. Oui, car \(84=14\times6\).

Exercice 2 : Vrai ou faux, mais justifié

Facile

Décider si chaque affirmation est vraie.

  1. \(6\) est un multiple de \(42\).
  2. \(9\) est un diviseur de \(117\).
  3. Tout multiple de \(10\) est multiple de \(5\).
  4. Si \(a\) divise \(b\), alors \(b\) est un multiple de \(a\).
  5. Un nombre impair ne peut jamais être multiple de \(3\).
Indication

Un contre-exemple suffit pour réfuter une affirmation générale.

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  1. Faux : c’est \(42\) qui est multiple de \(6\).
  2. Vrai, car \(117=9\times13\).
  3. Vrai, puisque \(10k=5\times(2k)\).
  4. Vrai : c’est exactement la relation entre diviseur et multiple.
  5. Faux : \(9\) est impair et multiple de \(3\).

Exercice 3 : Corriger le vocabulaire

Facile

Tom écrit : « \(8\) est divisible par \(56\), car \(56=8\times7\) ».

  1. Réécrire sa phrase correctement de deux manières.
Indication

Dans l’égalité, \(56\) est le produit et \(8\) l’un de ses facteurs.

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On peut écrire : « \(56\) est divisible par \(8\) » ou « \(8\) est un diviseur de \(56\) ». On peut aussi dire que \(56\) est un multiple de \(8\). Tom a inversé les rôles.

Appliquer et choisir un critère de divisibilité

Le dernier chiffre ou la somme des chiffres permet souvent de conclure sans effectuer la division.

Exercice 4 : Tableau de critères

Facile

Pour chacun des nombres \(270\), \(438\), \(1\,245\), \(7\,092\) et \(8\,111\), indiquer la divisibilité par \(2\), \(3\), \(5\), \(9\) et \(10\).

  1. Étudier \(270\) et \(438\).
  2. Étudier \(1\,245\) et \(7\,092\).
  3. Étudier \(8\,111\).
Indication

Pour \(3\) et \(9\), additionnez les chiffres ; pour \(2\), \(5\) et \(10\), observez le dernier chiffre.

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\(270\) est divisible par \(2,3,5,9,10\). \(438\) l’est par \(2\) et \(3\), mais pas par \(5,9,10\), car \(4+3+8=15\). \(1\,245\) est divisible par \(3\) et \(5\), pas par \(2,9,10\). \(7\,092\) est divisible par \(2,3,9\), pas par \(5,10\). Enfin \(8\,111\) n’est divisible par aucun des cinq nombres proposés : sa somme de chiffres vaut \(11\).

Exercice 5 : Choisir le critère le plus rapide

Moyen

Sans poser de division, décider si \(63\,450\) est divisible par \(2\), \(3\), \(5\), \(9\) et \(10\).

  1. Conclure pour les cinq diviseurs.
  2. Associer à chaque conclusion l’information minimale utilisée.
Indication

Le dernier chiffre répond à trois questions ; la somme des chiffres vaut \(18\).

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Le nombre se termine par \(0\) : il est divisible par \(2\), \(5\) et \(10\). La somme \(6+3+4+5+0=18\) est multiple de \(3\) et de \(9\), donc le nombre est également divisible par \(3\) et \(9\). Aucun calcul de quotient n’est nécessaire.

Exercice 6 : Des chiffres manquants

Moyen

On remplace l’étoile par un chiffre.

  1. Trouver tous les chiffres pour que \(47\star\) soit divisible par \(2\) et par \(3\).
  2. Trouver tous les chiffres pour que \(8\star5\) soit divisible par \(9\).
  3. Trouver le chiffre pour que \(31\star0\) soit divisible par \(9\).
  4. Justifier que chaque liste est complète.
Indication

Combinez les contraintes sur le dernier chiffre avec celles sur la somme des chiffres.

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  1. Le chiffre doit être pair et \(4+7+\star=11+\star\) multiple de \(3\) : \(\star=4\). Ainsi \(474\) convient.
  2. \(8+\star+5=13+\star\) doit être multiple de \(9\) : \(\star=5\), donnant \(855\).
  3. \(3+1+\star+0=4+\star=9\), donc \(\star=5\).
  4. On a testé tous les chiffres \(0\) à \(9\) compatibles avec chaque condition ; aucune autre valeur n’est possible.

Exercice 7 : Une justification insuffisante

Moyen

À la question « \(4\,572\) est-il divisible par \(9\) ? », une copie répond : « oui, parce qu’il est pair ».

  1. Dire si la conclusion est vraie.
  2. Corriger la justification.
Indication

Être pair concerne la divisibilité par \(2\), pas par \(9\).

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La conclusion est vraie, mais l’argument est faux. On calcule la somme des chiffres : \(4+5+7+2=18\). Comme \(18\) est multiple de \(9\), \(4\,572\) est divisible par \(9\). Le dernier chiffre pair prouve seulement la divisibilité par \(2\).

Lister des diviseurs et rechercher des nombres

Une liste complète s’obtient en associant les facteurs par paires et en s’arrêtant lorsque les paires se répètent.

Exercice 8 : Tous les diviseurs de 72

Moyen

Déterminer la liste complète des diviseurs positifs de \(72\).

  1. Écrire les paires de facteurs dans l’ordre.
  2. En déduire la liste ordonnée des diviseurs.
  3. Combien \(72\) possède-t-il de diviseurs positifs ?
Indication

Cherchez \(1\times72\), puis \(2\times36\), et continuez jusqu’au voisinage de \(\sqrt{72}\).

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Les paires sont \(1\times72\), \(2\times36\), \(3\times24\), \(4\times18\), \(6\times12\) et \(8\times9\). Les diviseurs sont donc \(1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\). Ils sont au nombre de 12. Après \(8\times9\), les paires se répéteraient dans l’ordre inverse.

Exercice 9 : Un nombre sous contraintes

Difficile

Je suis un entier compris entre \(100\) et \(150\), multiple de \(9\) et de \(5\), mais pas de \(10\).

  1. Déterminer ce nombre et montrer qu’il est unique.
Indication

Un multiple de \(5\) non multiple de \(10\) se termine par \(5\).

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Les candidats sont \(105,115,125,135,145\). Leur somme de chiffres vaut respectivement \(6,7,8,9,10\). Seul \(135\) est divisible par \(9\). Il vérifie toutes les contraintes et la liste exhaustive des nombres terminés par \(5\) dans l’intervalle prouve son unicité.

Exercice 10 : Plus petit multiple commun dans une situation

Difficile

Une lampe bleue clignote toutes les \(12\) secondes et une lampe verte toutes les \(18\) secondes. Elles clignotent ensemble à \(14\ h\ 00\).

  1. Lister les premiers multiples de \(12\) et de \(18\).
  2. Après combien de secondes clignotent-elles à nouveau ensemble ?
  3. Donner l’heure correspondante.
  4. Combien de clignotements bleus ont eu lieu pendant cet intervalle, sans compter l’instant initial ?
Indication

Cherchez le premier multiple positif présent dans les deux listes.

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  1. Multiples de \(12\) : \(12,24,36,\ldots\) ; de \(18\) : \(18,36,\ldots\).
  2. Le premier multiple commun positif est \(36\).
  3. Les lampes se retrouvent à \(14\ h\ 00\ min\ 36\ s\).
  4. La lampe bleue clignote aux secondes \(12,24,36\), soit trois fois.

Résoudre des partages et contrôler une stratégie

Dans un partage sans reste, le nombre de groupes doit être un diviseur de la quantité totale.

Exercice 11 : Composer des sachets identiques

Moyen

On dispose de \(84\) biscuits au chocolat et de \(126\) biscuits à la vanille. Tous les sachets doivent être identiques et aucun biscuit ne doit rester.

  1. Dire si l’on peut préparer \(7\), \(9\) puis \(14\) sachets.
  2. Pour chaque possibilité, donner le contenu d’un sachet.
  3. Quel choix parmi les trois produit le plus grand nombre de sachets ?
Indication

Le nombre de sachets doit diviser simultanément \(84\) et \(126\).

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\(7\) divise les deux quantités : chaque sachet contient \(12\) chocolats et \(18\) vanilles. \(9\) ne divise pas \(84\), donc ce partage est impossible. \(14\) divise les deux quantités : chaque sachet contient \(6\) chocolats et \(9\) vanilles. Parmi les choix proposés, \(14\) donne le plus grand nombre de sachets.

Exercice 12 : Un rectangle de carreaux

Moyen

On veut disposer \(96\) carreaux en un rectangle comportant plus d’une ligne et plus d’une colonne.

  1. Donner quatre dimensions possibles.
  2. La disposition \(7\times14\) convient-elle ?
Indication

Chaque dimension entière doit appartenir à une paire de facteurs de \(96\).

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Par exemple, \(2\times48\), \(3\times32\), \(4\times24\) et \(6\times16\) conviennent, car chaque produit vaut \(96\). La disposition \(7\times14\) ne convient pas : elle contient \(98\) carreaux, et \(7\) n’est pas un diviseur de \(96\).

Exercice 13 : Débusquer une liste incomplète

Difficile

Noé affirme que les diviseurs de \(60\) sont \(1,2,3,4,5,10,12,60\).

  1. Identifier les diviseurs oubliés.
  2. Présenter une méthode garantissant une liste complète.
  3. Vérifier la liste finale par paires de facteurs.
  4. Expliquer pourquoi \(7\) n’y figure pas.
  5. Donner le nombre total de diviseurs positifs de \(60\).
Indication

Écrivez toutes les décompositions de \(60\) en produit de deux entiers.

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  1. Il manque \(6,15,20,30\).
  2. On cherche les facteurs à partir de \(1\) jusqu’à dépasser \(\sqrt{60}\).
  3. Les paires sont \(1\times60\), \(2\times30\), \(3\times20\), \(4\times15\), \(5\times12\), \(6\times10\).
  4. \(60\div7\) n’est pas entier.
  5. La liste complète contient \(12\) diviseurs.

Exercice 14 : Construire un contre-exemple

Difficile

On prétend : « Tout nombre divisible par \(3\) et par \(5\) est divisible par \(10\). »

  1. Trouver le plus petit contre-exemple positif.
  2. Expliquer ce que les deux hypothèses permettent réellement d’affirmer.
Indication

Un multiple commun de \(3\) et \(5\) est un multiple de \(15\), mais il ne se termine pas nécessairement par \(0\).

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Le plus petit contre-exemple est \(15\) : il est divisible par \(3\) et par \(5\), mais pas par \(10\), car il ne se termine pas par \(0\). Les hypothèses permettent d’affirmer que le nombre est un multiple de \(15\), pas qu’il est pair.

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