Homothétie 3ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur l'homothétie en 3ème utilisent le centre, le rapport et son signe pour construire ou calculer. Le cours sur l'homothétie explique l'alignement orienté.

Les rapports de longueurs rejoignent les agrandissements et réductions, mais l'homothétie ajoute une position précise par rapport à un centre.

Lire le rapport et la position

Le signe indique le côté du centre ; la valeur absolue indique le facteur appliqué aux distances.

Exercice 1 : Rapport positif

Facile

Le point (A') est l'image de AA par l'homothétie de centre OO et de rapport 2,52{,}5.

  1. Donner la relation entre (OA') et OAOA.
  2. Placer l'ordre des points sur la demi-droite.
  3. Dire s'il s'agit d'un agrandissement.
Indication

Un rapport supérieur à 11 place l'image plus loin du centre dans le même sens.

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  1. OA′=2,5OAOA'=2{,}5 OA.
  2. (A') appartient à la demi-droite ([OA)) au-delà de AA.
  3. Il s'agit d'un agrandissement car ∣2,5∣>1|2{,}5|\gt 1.

Exercice 2 : Rapport négatif

Moyen

Une homothétie de centre II et rapport −3/4-3/4 transforme MM en (M').

  1. Comparer les côtés de II où se trouvent MM et (M').
  2. Comparer les distances.
  3. Classer la transformation comme agrandissement ou réduction.
  4. Décrire l'ordre des points.
Indication

Le signe négatif place l'image sur la demi-droite opposée.

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  1. MM et (M') sont de part et d'autre de II.
  2. IM′=3/4IMIM'=3/4 IM.
  3. C'est une réduction car la valeur absolue du rapport est inférieure à 11.
  4. Le centre II se trouve entre MM et (M').

Exercice 3 : Retrouver un rapport

Moyen

Les points (O,A,A') sont alignés. On a OA=6OA=6 cm et OA′=15OA'=15 cm.

  1. Donner les rapports possibles selon la position de (A').
  2. Préciser le rapport si (A') est sur ([OA)).
  3. Préciser le rapport si OO est entre AA et (A').
  4. Expliquer pourquoi les seules longueurs ne donnent pas le signe.
Indication

La valeur absolue vaut 15/615/6.

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  1. Les rapports possibles sont 5/25/2 et −5/2-5/2.
  2. Sur la même demi-droite, k=5/2k=5/2.
  3. Sur la demi-droite opposée, k=−5/2k=-5/2.
  4. Une longueur est positive et ne code pas l'orientation ; la figure ou l'ordre des points est nécessaire.

Construire et retrouver le centre

Une image se place sur la droite reliant le centre au point ; les droites joignant plusieurs couples homologues se rencontrent au centre.

Exercice 4 : Construire une image

Facile

Construire l'image (B') de BB par l'homothétie de centre OO et de rapport 1/31/3.

  1. Tracer la droite utile.
  2. Choisir la demi-droite.
  3. Reporter la distance.
  4. Donner deux contrôles.
Indication

Le rapport est positif et inférieur à 11.

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  1. On trace la droite (OB)(OB).
  2. On utilise la demi-droite ([OB)).
  3. On place (B') tel que OB′=OB/3OB'=OB/3, entre OO et BB.
  4. On contrôle l'alignement, le même sens et le rapport des distances.

Exercice 5 : Centre à déterminer

Difficile

On connaît deux couples de points homologues (A,A') et (B,B') d'une même homothétie, avec des droites distinctes.

  1. Construire le centre.
  2. Expliquer pourquoi il appartient à ((AA')).
  3. Expliquer pourquoi il appartient à ((BB')).
  4. Décrire le cas où les deux droites sont parallèles.
  5. Proposer un contrôle du rapport.
Indication

Le centre, un point et son image sont toujours alignés.

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  1. Le centre est l'intersection de ((AA')) et ((BB')).
  2. L'alignement du centre avec AA et (A') l'impose sur la première droite.
  3. Le même raisonnement l'impose sur la seconde.
  4. Si les droites sont réellement parallèles et distinctes, ces couples ne peuvent pas venir d'une homothétie de centre fini.
  5. On vérifie que les rapports orientés OA′/OAOA'/OA et OB′/OBOB'/OB sont égaux.

Calculer avec longueurs, aires et coordonnées

Les longueurs sont multipliées par (|k|), les aires par k2k^2, tandis que les coordonnées suivent une relation vectorielle.

Exercice 6 : Périmètre et aire

Moyen

Un triangle de périmètre 3030 cm et d'aire 4242 cm² est transformé par une homothétie de rapport −1,5-1{,}5.

  1. Calculer le périmètre image.
  2. Calculer l'aire image.
  3. Expliquer l'effet du signe sur ces mesures.
  4. Comparer l'orientation de la position par rapport au centre.
Indication

Utilisez (|k|) pour les longueurs et k2k^2 pour l'aire.

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  1. Le périmètre vaut 30×1,5=4530 \times1{,}5=45 cm.
  2. L'aire vaut 42×2,25=94,542 \times2{,}25=94{,}5 cm².
  3. Le signe négatif ne rend aucune mesure négative.
  4. Il place les points images sur les demi-droites opposées par rapport au centre.

Exercice 7 : Coordonnées avec centre origine

Moyen

Dans un repère, l'homothétie de centre O(0;0)O(0;0) et de rapport −2-2 agit sur A(3;−1)A(3;-1), B(−2;4)B(-2;4) et C(0;5)C(0;5).

  1. Calculer les trois images.
  2. Vérifier une distance à l'origine.
  3. Décrire l'effet sur une droite passant par AA et BB.
  4. Donner le rapport des aires d'un triangle et de son image.
Indication

Avec le centre origine, multipliez chaque coordonnée par kk.

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  1. A′(−6;2)A'(-6;2), B′(4;−8)B'(4;-8) et C′(0;−10)C'(0;-10).
  2. OA′=2OAOA'=2 OA, conformément à ∣k∣=2|k|=2.
  3. La droite image est parallèle à (AB)(AB), ou confondue avec elle si elle passe par le centre.
  4. Le rapport des aires vaut k2=4k^2=4.

Exercice 8 : Centre quelconque

Difficile

Une homothétie de centre I(1;−2)I(1;-2) et de rapport 33 transforme P(−2;4)P(-2;4).

  1. Calculer le vecteur de II vers PP.
  2. Multiplier ce vecteur par 33.
  3. En déduire (P').
  4. Vérifier l'alignement par les variations de coordonnées.
  5. Calculer IP′/IPIP'/IP.
Indication

La relation est P′=I+k(P−I)P'=I+k(P-I).

Voir le corrigé
  1. Le vecteur IPIP a pour coordonnées (−3;6)(-3;6).
  2. Le vecteur (IP') vaut (−9;18)(-9;18).
  3. P′=(1−9;−2+18)=(−8;16)P'=(1-9;-2+18)=(-8;16).
  4. Les variations ont été multipliées par 33, donc les vecteurs sont colinéaires de même sens.
  5. Le quotient des distances vaut 33.

Composer et résoudre des problèmes

Des homothéties de même centre se composent en multipliant leurs rapports.

Exercice 9 : Deux rapports successifs

Moyen

Autour du même centre, on applique une homothétie de rapport −2-2, puis une autre de rapport 1/41/4.

  1. Calculer le rapport global.
  2. Décrire le signe et la taille.
  3. Calculer l'image d'une distance initiale de 1212 cm au centre.
  4. Trouver une seconde transformation qui annulerait l'effet global.
Indication

Multipliez les rapports.

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  1. Le rapport global vaut −2×1/4=−1/2-2 \times1/4=-1/2.
  2. L'image est sur le côté opposé et deux fois plus proche du centre.
  3. La distance finale vaut 66 cm.
  4. Une homothétie supplémentaire de rapport −2-2 donnerait un rapport total 11 et retrouverait le point initial.

Exercice 10 : Maquette et volume

Difficile

Une maquette est obtenue par une homothétie de rapport 1/201/20. Le volume réel d'un réservoir est 9696 m³.

  1. Donner le rapport des volumes.
  2. Calculer le volume de la maquette en m³.
  3. Convertir en cm³.
  4. Expliquer pourquoi diviser seulement par 2020 serait faux.
  5. Donner le rapport des aires.
Indication

Le volume est multiplié par k3k^3, puis 11 m³ vaut 10610^6 cm³.

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  1. Le rapport des volumes vaut (1/20)3=1/8000(1/20)^3=1/8000.
  2. Le volume est 96/8000=0,01296/8000=0{,}012 m³.
  3. Cela vaut 12 00012\,000 cm³.
  4. Les trois dimensions sont réduites, donc leurs trois facteurs se multiplient.
  5. Le rapport des aires vaut (1/20)2=1/400(1/20)^2=1/400.
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