Homothétie 3ème : centre, rapport et propriétés

Une homothétie en 3ème agrandit ou réduit une figure depuis un centre fixe. Son rapport $k$ indique à la fois le facteur des longueurs et, par son signe, le côté du centre où se place l'image.

Contrairement à une rotation, l'homothétie ne conserve pas toujours les longueurs. Elle conserve les angles et le parallélisme, ce qui relie transformations, figures semblables et théorème de Thalès.

Table des Matières

Définition par le centre et le rapport

Homothétie

L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k\neq0$ transforme $M$ en $M'$ tel que $O,M,M'$ sont alignés et $OM'=|k|\,OM$ . Si $k\gt 0$ , $M$ et $M'$ sont du même côté de $O$ ; si $k\lt 0$ , ils sont de côtés opposés.

Le centre est invariant. Un rapport 1 laisse toute la figure en place. Un rapport $-1$ donne une symétrie centrale de centre $O$ .

Interpréter la valeur et le signe du rapport

Rapport	Taille	Position
$k=2$	agrandie deux fois	même côté du centre
$k=0,4$	réduite	même côté du centre
$k=-3$	agrandie trois fois	côté opposé
$k=-0,5$	réduite de moitié	côté opposé

Le mot agrandissement dépend de $|k|$ , pas du signe. Un rapport négatif n'indique pas une réduction ; il inverse seulement le côté par rapport au centre.

Construire l’image d’un point

On trace la droite $(OM)$ . Pour $k\gt 0$ , on part de $O$ dans la direction de $M$ ; pour $k\lt 0$ , dans la direction opposée. On reporte ensuite la distance $|k|OM$ .

k=-1,5,\ OM=4\text{ cm}\Longrightarrow OM'=6\text{ cm}.

Le point $M'$ se place à 6 cm de $O$ , de l'autre côté. Les deux contrôles sont donc l'alignement et le rapport signé.

Erreur fréquente : multiplier une longueur par un rapport négatif ne donne pas une longueur négative. La distance utilise $|k|$ , le signe détermine la position.

Construire l’image d’une figure

On transforme chaque sommet puis on relie les images dans le même ordre. Pour un cercle, le centre est transformé et le rayon est multiplié par $|k|$ . Pour une droite ne passant pas par $O$ , l'image est parallèle à la droite initiale.

Si une droite passe par le centre, son image est la même droite. Cette propriété explique pourquoi tous les couples point-image restent alignés avec $O$ .

Propriétés sur les longueurs, angles et aires

Effets d’une homothétie

Une homothétie de rapport $k$ multiplie les longueurs par $|k|$ , les aires par $k^2$ , conserve les angles, l'alignement et le parallélisme.

A'B'=2AB,\qquad\mathcal A'=(-2)^2\mathcal A=4\mathcal A.

La figure image est semblable à la figure initiale. Le signe ne change pas l'aire ; il agit seulement sur la position autour du centre.

Trouver le centre et le rapport à partir de deux figures

On relie deux couples de points correspondants, par exemple $A$ à $A'$ et $B$ à $B'$ . Leur intersection donne le centre candidat $O$ . Un troisième couple confirme la construction.

Le rapport se calcule par $k=\pm OA'/OA$ . Le signe est positif si $A$ et $A'$ sont du même côté de $O$ , négatif sinon. On vérifie le même rapport avec $B$ et $B'$ .

\frac{OA'}{OA}=\frac{6}{4}=1,5,\quad A\text{ et }A'\text{ opposés}\Longrightarrow k=-1,5.

Astuce : deux droites point-image suffisent pour localiser le centre ; une troisième sert à détecter une mauvaise correspondance.

Relier homothétie, agrandissement et Thalès

Si $M'$ est l'image de $M$ et $N'$ celle de $N$ , alors $(M'N')\parallel(MN)$ et $M'N'=|k|MN$ . Les triangles $OMN$ et $OM'N'$ sont semblables.

Les rapports $OM'/OM=ON'/ON=M'N'/MN$ reprennent la structure du théorème de Thalès. L'agrandissement et la réduction décrivent les effets métriques ; l'homothétie ajoute le centre et le signe du rapport.

Composer deux homothéties de même centre

Deux homothéties successives de même centre multiplient leurs rapports. Une première de rapport 2 suivie d'une seconde de rapport $-0,5$ produit globalement un rapport $-1$ , donc une symétrie centrale.

k_{\text{global}}=2\times(-0,5)=-1.

Les longueurs retrouvent leur taille initiale, car la distance à zéro du rapport global vaut 1, mais les points passent de l'autre côté du centre. Cette lecture sépare bien taille et orientation.

Lorsque les centres diffèrent, la transformation résultante demande une étude plus avancée ; il ne faut pas appliquer automatiquement le produit des rapports comme description complète.

Homothétie et cercle

L'image d'un cercle de centre $C$ et de rayon $r$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est un cercle de centre $C'$ , image de $C$ , et de rayon $|k|r$ .

Avec $k=-2$ , le centre image se place de l'autre côté de $O$ à une distance doublée, et le rayon double. Le signe ne crée pas de rayon négatif.

Si le cercle initial passe par $O$ , son image passe aussi par $O$ , puisque le centre de l'homothétie reste fixe.

Les tangentes correspondantes restent parallèles lorsque leurs points de contact ne sont pas le centre. Cette conséquence vient de la conservation des angles et du parallélisme.

Homothétie 3ème : l’essentiel à retenir

Une homothétie se lit avec un centre et un rapport signé. L'alignement fixe la direction, le signe choisit le côté et $|k|$ multiplie les longueurs. Les angles et le parallélisme sont conservés, tandis que les aires sont multipliées par $k^2$ .

Cette construction et ces propriétés répondent aux repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et unifient similitude, Thalès et changements d'échelle.