Fractions 3ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les fractions en 3ème demandent de simplifier au bon moment, de maîtriser les signes et de respecter les priorités. Le cours sur les nombres rationnels rassemble les règles nécessaires.

Les derniers problèmes réutilisent la décomposition étudiée en arithmétique de 3ème. L'objectif est d'obtenir une fraction exacte et justifiée, pas seulement une valeur décimale.

Rendre une fraction irréductible et comparer des rationnels

La décomposition et le signe doivent être traités avant tout calcul décimal.

Exercice 1 : Signe et simplification complète

Facile

On considère A=−126198A=\dfrac{-126}{198}.

  1. Déterminer le signe de AA.
  2. Décomposer 126126 et 198198 en facteurs premiers.
  3. Écrire AA sous forme irréductible.
Indication

Le signe se lit avant la simplification. Cherchez ensuite tous les facteurs communs, pas seulement 22.

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  1. Le numérateur et le dénominateur sont de signes contraires, donc A<0A\lt0.
  2. 126=2×32×7126=2\times3^2\times7 et 198=2×32×11198=2\times3^2\times11.
  3. Le facteur commun est 1818, donc A=−711A=-\dfrac7{11}.

Exercice 2 : Une fraction déjà irréductible ?

Moyen

Sans effectuer de division décimale, décider si 221323\dfrac{221}{323} est irréductible.

  1. Décomposer les deux entiers.
  2. Conclure et, si nécessaire, simplifier.
Indication

Testez les nombres premiers jusqu'à la racine carrée de chaque entier.

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  1. 221=13×17221=13\times17 et 323=17×19323=17\times19.
  2. Le facteur 1717 est commun : 221323=1319\dfrac{221}{323}=\dfrac{13}{19}, qui est irréductible.

Exercice 3 : Comparer sans dénominateur commun

Moyen

Comparer 1723\dfrac{17}{23} et 2229\dfrac{22}{29} sans les convertir en décimaux.

  1. Justifier la comparaison par produits croisés.
Indication

Les dénominateurs sont positifs, donc le signe de la différence est celui de 17×29−22×2317\times29-22\times23.

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17×29=49317\times29=493 et 22×23=50622\times23=506. Comme 493<506493\lt506, on obtient 1723<2229\dfrac{17}{23}\lt\dfrac{22}{29}.

Enchaîner les opérations sans perdre les priorités

Une écriture exacte permet de simplifier avant de multiplier et de contrôler le signe final.

Exercice 4 : Somme puis produit

Facile

Calculer B=(56−715)×94B=\left(\dfrac56-\dfrac7{15}\right)\times\dfrac94.

  1. Calculer la parenthèse.
  2. Simplifier avant d'effectuer le produit.
Indication

Dans la parenthèse, utilisez le dénominateur 3030.

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  1. 56−715=2530−1430=1130\dfrac56-\dfrac7{15}=\dfrac{25}{30}-\dfrac{14}{30}=\dfrac{11}{30}.
  2. B=1130×94=3340B=\dfrac{11}{30}\times\dfrac94=\dfrac{33}{40}, après simplification de 99 avec 3030.

Exercice 5 : Quotient d’une différence

Moyen

Calculer C=34−512−76C=\dfrac{\frac34-\frac5{12}}{-\frac76}.

  1. Réduire le numérateur de la grande fraction.
  2. Transformer la division en multiplication.
  3. Donner le résultat irréductible et vérifier son signe.
Indication

Une division par une fraction revient à multiplier par son inverse.

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  1. 34−512=13\dfrac34-\dfrac5{12}=\dfrac13.
  2. C=13×(−67)C=\dfrac13\times\left(-\dfrac67\right).
  3. C=−27C=-\dfrac27. Un nombre positif divisé par un nombre négatif donne bien un résultat négatif.

Exercice 6 : Priorités avec un carré

Moyen

On pose D=−23+(56)2÷512D=-\dfrac23+\left(\dfrac56\right)^2\div\dfrac5{12}.

  1. Calculer le carré.
  2. Effectuer le quotient.
  3. Terminer l'addition.
  4. Contrôler le résultat par un ordre de grandeur.
Indication

Le carré et la division sont prioritaires sur l'addition.

Voir le corrigé
  1. (56)2=2536\left(\dfrac56\right)^2=\dfrac{25}{36}.
  2. 2536÷512=2536×125=53\dfrac{25}{36}\div\dfrac5{12}=\dfrac{25}{36}\times\dfrac{12}{5}=\dfrac53.
  3. D=−23+53=1D=-\dfrac23+\dfrac53=1.
  4. Le quotient vaut environ 1,671{,}67, puis on retire environ 0,670{,}67, donc 11 est cohérent.

Exercice 7 : Repérer la ligne fautive

Moyen

Pour calculer E=25−34÷98E=\dfrac25-\dfrac34\div\dfrac98, un élève écrit :

E=(25−34)×89=−720×89=−745E=\left(\dfrac25-\dfrac34\right)\times\dfrac89=-\dfrac7{20}\times\dfrac89=-\dfrac7{45}.

  1. Identifier la première égalité fausse.
  2. Reprendre le calcul en respectant les priorités.
  3. Expliquer pourquoi le signe de la réponse de l'élève ne suffit pas à la valider.
Indication

La division doit être effectuée avant la soustraction.

Voir le corrigé
  1. L'élève a placé une parenthèse qui n'existe pas et a traité la soustraction avant la division.
  2. 34÷98=34×89=23\dfrac34\div\dfrac98=\dfrac34\times\dfrac89=\dfrac23, puis E=25−23=−415E=\dfrac25-\dfrac23=-\dfrac4{15}.
  3. Les deux résultats sont négatifs, mais un signe cohérent ne garantit pas une valeur correcte.

Modéliser des partages successifs

Dans un problème, une fraction peut porter sur la quantité initiale ou seulement sur ce qu'il reste.

Exercice 8 : Stock consommé en deux étapes

Moyen

Une réserve contient 360360 kg de graines. Le lundi, on utilise 512\dfrac5{12} de la réserve. Le mardi, on utilise 27\dfrac27 de ce qui reste.

  1. Calculer la masse utilisée lundi.
  2. Déterminer la fraction de la réserve initiale utilisée mardi.
  3. Calculer la masse restante après les deux jours.
Indication

Après lundi, il reste 1−5121-\dfrac5{12} de la réserve initiale.

Voir le corrigé
  1. 360×512=150360\times\dfrac5{12}=150 kg.
  2. Il reste 712\dfrac7{12}, donc mardi on utilise 27×712=16\dfrac27\times\dfrac7{12}=\dfrac16 de la réserve initiale.
  3. La fraction restante vaut 1−512−16=5121-\dfrac5{12}-\dfrac16=\dfrac5{12}, soit 150150 kg.

Exercice 9 : Trajet avec une distance inconnue

Difficile

Un cycliste parcourt 38\dfrac38 d'un trajet le matin puis 25\dfrac25 du reste l'après-midi. Il lui reste alors 3939 km.

  1. Exprimer la fraction du trajet restant après le matin.
  2. Exprimer la fraction restant après l'après-midi.
  3. Déterminer la longueur totale du trajet.
  4. Vérifier en kilomètres les deux distances parcourues.
Indication

La deuxième fraction s'applique aux 58\dfrac58 restants, pas au trajet complet.

Voir le corrigé
  1. Après le matin, il reste 58\dfrac58.
  2. Après l'après-midi, il reste 35×58=38\dfrac35\times\dfrac58=\dfrac38 du trajet.
  3. 38\dfrac38 du trajet vaut 3939 km, donc le trajet mesure 39×83=10439\times\dfrac83=104 km.
  4. Le matin : 3939 km. L'après-midi : 25×65=26\dfrac25\times65=26 km. Il reste 104−39−26=39104-39-26=39 km.

Exercice 10 : Probabilité sous forme irréductible

Moyen

Une urne contient 1818 jetons rouges, 2424 bleus et 3030 verts. On tire un jeton au hasard.

  1. Écrire la probabilité d'obtenir un jeton bleu.
  2. La rendre irréductible.
  3. Calculer la probabilité de ne pas obtenir de vert.
Indication

Le nombre total de jetons est le dénominateur commun aux événements.

Voir le corrigé
  1. P(B)=2472P(B)=\dfrac{24}{72}.
  2. P(B)=13P(B)=\dfrac13.
  3. P(V‾)=18+2472=712P(\overline V)=\dfrac{18+24}{72}=\dfrac7{12}.

Justifier une propriété sur les rationnels

La dernière étape consiste à rédiger une preuve courte avec des dénominateurs non nuls.

Exercice 11 : Somme de deux écritures rationnelles

Difficile

On écrit x=abx=\dfrac ab et y=cdy=\dfrac cd, où a,ca,c sont entiers et b,db,d sont des entiers non nuls.

  1. Exprimer x+yx+y par une seule fraction.
  2. Justifier que son dénominateur n'est pas nul.
  3. Conclure que la somme de deux rationnels est rationnelle.
Indication

Utilisez le dénominateur bdbd, puis revenez à la définition d'un nombre rationnel.

Voir le corrigé
  1. x+y=ad+bcbdx+y=\dfrac{ad+bc}{bd}.
  2. Comme b≠0b\ne0 et d≠0d\ne0, leur produit bd≠0bd\ne0.
  3. ad+bcad+bc et bdbd sont entiers, avec un dénominateur non nul. La somme est donc rationnelle.

Exercice 12 : Retrouver un rationnel par une équation

Difficile

Un nombre rationnel xx vérifie (x−25)×32=710\left(x-\dfrac25\right)\times\dfrac32=\dfrac7{10}.

  1. Isoler la parenthèse sans convertir les fractions en décimaux.
  2. Déterminer la valeur exacte de xx.
  3. Vérifier le résultat dans l'égalité initiale.
Indication

Commencez par multiplier les deux membres par l'inverse de 32\dfrac32.

Voir le corrigé
  1. On obtient x−25=710×23=715x-\dfrac25=\dfrac7{10}\times\dfrac23=\dfrac7{15}.
  2. Donc x=715+25=715+615=1315x=\dfrac7{15}+\dfrac25=\dfrac7{15}+\dfrac6{15}=\dfrac{13}{15}.
  3. En remplaçant : (1315−615)×32=715×32=710\left(\dfrac{13}{15}-\dfrac6{15}\right)\times\dfrac32=\dfrac7{15}\times\dfrac32=\dfrac7{10}. L'égalité est vérifiée.
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