Équations 3ème : 14 exercices corrigés

Ces exercices corrigés d'équations en 3ème passent du test d'une solution aux problèmes où l'inconnue doit être définie avant le calcul. Le cours sur les équations du premier degré donne une rédaction stable.

Développer une parenthèse ou réduire les deux membres fait appel au calcul littéral de 3ème. Les corrections vérifient la solution dans l'équation initiale lorsque le risque d'erreur de signe est élevé.

Tester une solution et reconnaître la nature d’une égalité

Remplacer l'inconnue permet de contrôler une valeur proposée. Réduire les deux membres distingue ensuite une équation, une identité et une égalité impossible.

Exercice 1 : Tester trois valeurs sans résoudre

Facile

Parmi −2-2, 11 et 44, quelles valeurs vérifient 3x+5=2x+93x+5=2x+9 ?

  1. Calculer les deux membres pour chaque valeur.
  2. Conclure sur l'unique solution parmi les trois nombres proposés.
Indication

Une valeur est solution seulement si elle donne exactement le même nombre dans les deux membres.

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  1. Pour −2-2 : −1≠5-1\ne5. Pour 11 : 8≠118\ne11. Pour 44 : 17=1717=17.
  2. Parmi les valeurs proposées, seule 44 est solution.

Exercice 2 : Toujours vraie, parfois vraie ou jamais vraie

Moyen

Étudier les égalités 2(x+3)=2x+62(x+3)=2x+6, 5x−4=115x-4=11 et 3(x−2)=3x+13(x-2)=3x+1.

  1. Réduire les deux membres de chaque égalité.
  2. Classer chacune comme identité, équation à une solution ou égalité impossible.
  3. Résoudre celle qui possède une solution unique.
Indication

Si la lettre disparaît, comparez les constantes obtenues avant de conclure.

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  1. Les égalités deviennent 2x+6=2x+62x+6=2x+6, 5x−4=115x-4=11 et 3x−6=3x+13x-6=3x+1.
  2. La première est une identité, la deuxième a une solution unique et la troisième est impossible.
  3. 5x=155x=15, donc x=3x=3.

Exercice 3 : Retrouver une erreur de vérification

Moyen

Pour vérifier x=−3x=-3 dans 2x2−5=132x^2-5=13, un élève écrit 2×−32−5=−232\times-3^2-5=-23 et rejette la valeur.

  1. Identifier l'erreur de notation.
  2. Effectuer la substitution correctement.
  3. Conclure sur −3-3.
Indication

Une valeur négative remplacée dans un carré doit être entourée de parenthèses.

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  1. L'élève a écrit −32-3^2 au lieu de (−3)2(-3)^2.
  2. 2(−3)2−5=2×9−5=132(-3)^2-5=2\times9-5=13.
  3. La valeur −3-3 vérifie bien l'égalité.

Isoler l’inconnue par des transformations équivalentes

On effectue la même opération dans les deux membres. Une ligne de calcul doit conserver exactement le même ensemble de solutions.

Exercice 4 : Addition puis division

Facile

Résoudre 7x−9=267x-9=26.

  1. Isoler le terme en xx.
  2. Calculer xx.
  3. Vérifier dans l'équation initiale.
Indication

Ajoutez 99 aux deux membres avant de diviser par 77.

Voir le corrigé
  1. 7x=357x=35.
  2. x=5x=5.
  3. 7×5−9=267\times5-9=26, donc la solution est vérifiée.

Exercice 5 : L’inconnue dans les deux membres

Moyen

Résoudre 8x+3=3x−178x+3=3x-17.

  1. Regrouper les termes en xx dans le membre de gauche.
  2. Regrouper les constantes dans le membre de droite.
  3. Donner la solution exacte.
Indication

Soustrayez 3x3x, puis soustrayez 33, dans les deux membres.

Voir le corrigé
  1. 5x+3=−175x+3=-17.
  2. 5x=−205x=-20.
  3. La solution est x=−4x=-4.

Exercice 6 : Coefficient décimal

Moyen

Résoudre 0,4x+1,7=5,30{,}4x+1{,}7=5{,}3.

  1. Éliminer les décimales en multipliant les deux membres par 1010.
  2. Résoudre l'équation entière obtenue.
Indication

Multiplier par 1010 évite une division décimale prématurée.

Voir le corrigé
  1. On obtient 4x+17=534x+17=53.
  2. Alors 4x=364x=36, donc x=9x=9.

Exercice 7 : Solution rationnelle

Moyen

Résoudre 12−5x=7x+412-5x=7x+4.

  1. Rassembler les constantes puis les termes en xx.
  2. Écrire la solution sous forme irréductible.
  3. Donner une valeur décimale de contrôle.
Indication

Une solution d'équation n'est pas nécessairement entière.

Voir le corrigé
  1. 12−4=7x+5x12-4=7x+5x, donc 8=12x8=12x.
  2. x=812=23x=\dfrac8{12}=\dfrac23.
  3. 23≈0,667\dfrac23\approx0{,}667, et chaque membre vaut alors environ 8,6678{,}667.

Traiter des parenthèses, des fractions et les cas particuliers

Développer ou supprimer les dénominateurs vient avant l'isolement de l'inconnue. La dernière ligne peut révéler une solution, aucune solution ou tous les réels.

Exercice 8 : Une parenthèse de chaque côté

Moyen

Résoudre 4(2x−3)=3(x+5)4(2x-3)=3(x+5).

  1. Développer les deux membres.
  2. Résoudre l'équation réduite.
  3. Contrôler la solution dans la forme avec parenthèses.
Indication

Développez complètement avant de déplacer les termes.

Voir le corrigé
  1. 8x−12=3x+158x-12=3x+15.
  2. 5x=275x=27, donc x=275x=\dfrac{27}{5}.
  3. Pour x=275x=\dfrac{27}{5}, les deux membres valent 1565\dfrac{156}{5}.

Exercice 9 : Signe moins devant une parenthèse

Difficile

Résoudre 5−2(3x−4)=3(x+1)−(x−6)5-2(3x-4)=3(x+1)-(x-6).

  1. Supprimer les parenthèses en contrôlant les signes.
  2. Réduire chaque membre.
  3. Isoler xx.
  4. Vérifier la valeur obtenue.
Indication

Le terme −2(3x−4)-2(3x-4) devient −6x+8-6x+8, et −(x−6)-(x-6) devient −x+6-x+6.

Voir le corrigé
  1. 5−6x+8=3x+3−x+65-6x+8=3x+3-x+6.
  2. On obtient 13−6x=2x+913-6x=2x+9.
  3. 4=8x4=8x, donc x=12x=\dfrac12.
  4. Dans l'équation initiale, les deux membres valent 1010.

Exercice 10 : Équation avec trois dénominateurs

Difficile

Résoudre x−23+x+14=5x−16\dfrac{x-2}{3}+\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{5x-1}{6}.

  1. Choisir un multiple commun des dénominateurs.
  2. Multiplier chaque terme par ce nombre.
  3. Résoudre l'équation obtenue.
  4. Vérifier exactement la solution.
Indication

Le plus petit multiple commun de 33, 44 et 66 est 1212.

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  1. On choisit 1212.
  2. L'équation devient 4(x−2)+3(x+1)=2(5x−1)4(x-2)+3(x+1)=2(5x-1).
  3. 7x−5=10x−27x-5=10x-2, donc −3=3x-3=3x et x=−1x=-1.
  4. Le membre de gauche vaut −1+0=−1-1+0=-1, et le membre de droite −66=−1\dfrac{-6}{6}=-1.

Exercice 11 : Quand la lettre disparaît

Difficile

Résoudre séparément 3(2x−1)+5=6x+23(2x-1)+5=6x+2 et 4(x+2)−3=4x+74(x+2)-3=4x+7.

  1. Réduire la première égalité et conclure.
  2. Réduire la seconde égalité et conclure.
  3. Expliquer pourquoi on ne doit pas diviser par le coefficient de xx après sa disparition.
Indication

Une fois les termes en xx simplifiés, observez l'égalité numérique restante.

Voir le corrigé
  1. La première devient 6x+2=6x+26x+2=6x+2 : tous les réels sont solutions.
  2. La seconde devient 4x+5=4x+74x+5=4x+7, soit 5=75=7 : elle n'a aucune solution.
  3. Le coefficient restant de xx est 00. Diviser par 00 est impossible ; la comparaison des constantes donne la conclusion.

Mettre un problème en équation et interpréter la solution

La lettre doit être définie avant l'équation. Après la résolution, on revient aux unités et aux contraintes de la situation.

Exercice 12 : Périmètre d’un rectangle

Moyen

La longueur d'un rectangle mesure 77 cm de plus que sa largeur. Son périmètre est 6262 cm.

  1. Noter xx la largeur et exprimer la longueur.
  2. Écrire l'équation du périmètre.
  3. Déterminer les deux dimensions.
  4. Vérifier le périmètre.
Indication

Le périmètre d'un rectangle est 2×(longueur+largeur)2\times(\text{longueur}+\text{largeur}).

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  1. La largeur vaut xx et la longueur x+7x+7.
  2. 2[x+(x+7)]=622[x+(x+7)]=62.
  3. 4x+14=624x+14=62, donc x=12x=12. Les dimensions sont 1212 cm et 1919 cm.
  4. 2(12+19)=622(12+19)=62 cm.

Exercice 13 : Billets vendus à deux tarifs

Difficile

Un spectacle vend 180180 billets. Le tarif plein coûte 1414 euros, le tarif réduit 99 euros. La recette totale est de 2 0702\,070 euros.

  1. Noter xx le nombre de billets à tarif plein et exprimer le nombre de billets réduits.
  2. Écrire une équation de recette.
  3. Calculer les deux effectifs.
  4. Contrôler l'effectif total et la recette.
Indication

Si xx billets sont au tarif plein, les autres sont au nombre de 180−x180-x.

Voir le corrigé
  1. Il y a xx billets pleins et 180−x180-x billets réduits.
  2. 14x+9(180−x)=2 07014x+9(180-x)=2\,070.
  3. 5x+1 620=2 0705x+1\,620=2\,070, donc x=90x=90. Il y a aussi 9090 billets réduits.
  4. 90+90=18090+90=180 et 14×90+9×90=2 07014\times90+9\times90=2\,070.

Exercice 14 : Retrouver trois entiers par leur somme

Moyen

La somme de trois entiers consécutifs vaut 168168.

  1. Exprimer les trois entiers à partir du plus petit nn.
  2. Écrire puis résoudre l'équation.
  3. Donner les trois entiers et vérifier leur somme.
Indication

Trois entiers consécutifs s'écrivent nn, n+1n+1 et n+2n+2.

Voir le corrigé
  1. Les entiers sont nn, n+1n+1 et n+2n+2.
  2. n+(n+1)+(n+2)=168n+(n+1)+(n+2)=168, soit 3n+3=1683n+3=168, donc n=55n=55.
  3. Les entiers sont 5555, 5656 et 5757, et 55+56+57=16855+56+57=168.
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