Équations et inéquations exercices corrigés

Solution de la question 1 :
\[ 3x + 7 = 2x – 5 \iff 3x – 2x = -5 – 7 \iff x = -12 \]
Vérification : \(3 \times (-12) + 7 = -36 + 7 = -29\) et \(2 \times (-12) – 5 = -24 – 5 = -29\). ✔
\[ S = \{-12\} \]

Solution de la question 2 :
\[ 5(x-2) – 3(x+1) = 4 \iff 5x – 10 – 3x – 3 = 4 \iff 2x – 13 = 4 \iff 2x = 17 \iff x = \frac{17}{2} \]
\[ S = \left\{\frac{17}{2}\right\} \]

Solution de la question 3 :
\[ 2(3x+4) = 5x – 1 \iff 6x + 8 = 5x – 1 \iff x = -9 \]
\[ S = \{-9\} \]

Solution de la question 1 :
\[ \frac{3x-1}{4} – \frac{x+2}{3} = 1 \]
On multiplie chaque terme par 12 :
\[ 3(3x-1) – 4(x+2) = 12 \iff 9x – 3 – 4x – 8 = 12 \iff 5x – 11 = 12 \iff 5x = 23 \iff x = \frac{23}{5} \]
\[ S = \left\{\frac{23}{5}\right\} \]

Solution de la question 2 :
Les valeurs interdites sont \(x = 3\) et \(x = -1\). On multiplie par \((x-3)(x+1)\) :
\[ 2(x+1) + 1(x-3) = 0 \iff 2x + 2 + x – 3 = 0 \iff 3x – 1 = 0 \iff x = \frac{1}{3} \]
\(\frac{1}{3}\) n’est pas une valeur interdite, donc :
\[ S = \left\{\frac{1}{3}\right\} \]

Solution de la question 1 :
\[ C_A(n) = 12n \qquad \text{et} \qquad C_B(n) = 40 + 7n \]

Solution de la question 2 :
On cherche \(n\) tel que \(C_B(n) < C_A(n)\) :
\[ 40 + 7n < 12n \iff 40 < 5n \iff n > 8 \]
À partir de 9 spectacles, la formule B est moins chère que la formule A.

Solution de la question 1 :
\[ 4x – 3 \geq 2x + 5 \iff 2x \geq 8 \iff x \geq 4 \]
\[ S = [4\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 2 :
\[ -3x + 7 < 1 \iff -3x < -6 \iff x > 2 \quad \text{(le sens s’inverse en divisant par } -3\text{)} \]
\[ S = \,]2\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 3 :
\[ 2(x+4) \leq 3x – 1 \iff 2x + 8 \leq 3x – 1 \iff -x \leq -9 \iff x \geq 9 \]
\[ S = [9\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 1 :
On multiplie par 6 :
\[ 2(2x+1) – 3(x-2) > 6 \iff 4x + 2 – 3x + 6 > 6 \iff x + 8 > 6 \iff x > -2 \]
\[ S = \,]-2\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 2 :
On multiplie par 10 :
\[ 2(3x-4) \leq 5(x+1) \iff 6x – 8 \leq 5x + 5 \iff x \leq 13 \]
\[ S = \,]-\infty\,;\,13] \]

Solution de la question 1 :
\[ B(n) = 8n – (3n + 120) = 5n – 120 \]

Solution de la question 2 :
\[ B(n) > 0 \iff 5n – 120 > 0 \iff 5n > 120 \iff n > 24 \]
L’artisan est bénéficiaire à partir de 25 objets vendus.

Solution de la question 3 :
\[ B(n) \geq 100 \iff 5n – 120 \geq 100 \iff 5n \geq 220 \iff n \geq 44 \]
Il faut produire au moins 44 objets. Comme \(44 \leq 60\), cette contrainte est réalisable. Oui, l’artisan peut atteindre un bénéfice d’au moins 100 € par semaine.

Solution de la question 1 :
\[ (2x-6)(x+4) = 0 \iff 2x – 6 = 0 \text{ ou } x + 4 = 0 \iff x = 3 \text{ ou } x = -4 \]
\[ S = \{-4\,;\,3\} \]

Solution de la question 2 :
\[ (3x+1)(5-x)(x-7)=0 \iff 3x+1=0 \text{ ou } 5-x=0 \text{ ou } x-7=0 \]
\[ \iff x = -\frac{1}{3} \text{ ou } x = 5 \text{ ou } x = 7 \]
\[ S = \left\{-\frac{1}{3}\,;\,5\,;\,7\right\} \]

Solution de la question 1 :
Valeur interdite : \(x = -3\). Ensemble de définition : \(\mathbb{R} \setminus \{-3\}\).
\[ \frac{x^2-9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x – 3 \quad \text{pour } x \neq -3 \]
\[ x – 3 = 0 \iff x = 3 \]
\(3 \neq -3\), donc \(3 \in D_E\).
\[ S = \{3\} \]

Solution de la question 2 :
Valeur interdite : \(x = 3\). Ensemble de définition : \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\).
\[ \frac{4x+2}{x-3} = 5 \iff 4x + 2 = 5(x-3) \iff 4x + 2 = 5x – 15 \iff -x = -17 \iff x = 17 \]
\(17 \neq 3\), donc \(17 \in D_E\).
\[ S = \{17\} \]

Solution de la question 1 :
\[ f(3) = 2(9) – 5(3) – 3 = 18 – 15 – 3 = 0 \]
Donc \(x = 3\) est bien une racine de \(f\). ✔

Solution de la question 2 :
On cherche \(a\) et \(b\) tels que \((x-3)(ax+b) = 2x^2 – 5x – 3\).
En développant : \(ax^2 + bx – 3ax – 3b = ax^2 + (b – 3a)x – 3b\).
Par identification :
\[ a = 2, \quad -3b = -3 \implies b = 1, \quad b – 3a = 1 – 6 = -5 \checkmark \]
\[ f(x) = (x-3)(2x+1) \]

Solution de la question 3 :
\[ f(x) = 0 \iff (x-3)(2x+1) = 0 \iff x = 3 \text{ ou } x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow S = \left\{-\frac{1}{2}\,;\,3\right\} \]
Pour \(\dfrac{f(x)}{2x+1} = 0\) : valeur interdite \(x = -\dfrac{1}{2}\), donc \(D_E = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\).
\[ \frac{(x-3)(2x+1)}{2x+1} = x – 3 = 0 \iff x = 3 \]
\[ S = \{3\} \]

Solution de la question 1 :
Zéros : \(x = 2\) et \(x = -5\).

Le produit est strictement positif pour :
\[ S = \,]-\infty\,;\,-5[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 2 :
Zéros : \(3 – x = 0 \iff x = 3\) et \(2x + 4 = 0 \iff x = -2\).

Le produit est négatif ou nul pour :
\[ S = \,]-\infty\,;\,-2]\,\cup\,[3\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 1 :
Valeur interdite : \(x = -\dfrac{3}{2}\). Zéro du numérateur : \(x = 4\).

\[ S = \,\left]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}\right[\,\cup\,]4\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 2 :
\[ \frac{3x-1}{x+2} – 2 \leq 0 \iff \frac{3x-1 – 2(x+2)}{x+2} \leq 0 \iff \frac{x – 5}{x+2} \leq 0 \]
Valeur interdite : \(x = -2\). Zéro du numérateur : \(x = 5\).

Le quotient est négatif ou nul (avec \(x \neq -2\)) pour :
\[ S = \,]-2\,;\,5] \]

Solution de la question 1 :
\[
\frac{x+1}{x-2} – \frac{3}{x+1} < 0 \iff \frac{(x+1)^2 – 3(x-2)}{(x-2)(x+1)} < 0
\]
Numérateur :
\[
(x+1)^2 – 3(x-2) = x^2 + 2x + 1 – 3x + 6 = x^2 – x + 7
\]
Discriminant de \(x^2 – x + 7\) : \(\Delta = 1 – 28 = -27 < 0\). Comme le coefficient dominant est positif et \(\Delta < 0\), on a \(x^2 – x + 7 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

L’inéquation devient :
\[
\frac{x^2 – x + 7}{(x-2)(x+1)} < 0
\]
Le numérateur étant toujours positif, le signe dépend uniquement de \((x-2)(x+1)\). On cherche \((x-2)(x+1) < 0\), soit \(-1 < x < 2\).

\[ S = \,]-1\,;\,2[ \]

Solution de la question 1 :
\(a=1, b=-5, c=6\). \(\Delta = 25 – 24 = 1 > 0\).
\[ x_1 = \frac{5 – 1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]
\[ S = \{2\,;\,3\} \]

Solution de la question 2 :
\(a=2, b=-4, c=2\). \(\Delta = 16 – 16 = 0\).
\[ x_0 = \frac{4}{4} = 1 \]
L’équation admet une racine double : \(S = \{1\}\).

Solution de la question 3 :
\(a=1, b=1, c=1\). \(\Delta = 1 – 4 = -3 < 0\).
L’équation n’admet aucune solution réelle : \(S = \emptyset\).

Solution de la question 1 :
\(\Delta = 64 – 48 = 16 > 0\).
\[ x_1 = \frac{8 – 4}{4} = 1 \qquad x_2 = \frac{8 + 4}{4} = 3 \]

Solution de la question 2 :
\(\alpha = \dfrac{8}{4} = 2\) ; \(\beta = f(2) = 2(4) – 8(2) + 6 = 8 – 16 + 6 = -2\).
\[ f(x) = 2(x – 2)^2 – 2 \]

Solution de la question 3 :
Le sommet de la parabole est \(S(2\,;\,-2)\). Comme \(a = 2 > 0\), la parabole est tournée vers le haut.

Solution de la question 4 :
\[ f(x) = 2(x – 1)(x – 3) \]

Solution de la question 1 :
\(2(\text{longueur} + \text{largeur}) = 34\), donc largeur \(= 17 – x\). On impose \(0 < x < 17\).

Solution de la question 2 :
\[ \mathcal{A}(x) = x(17 – x) = -x^2 + 17x \]

Solution de la question 3 :
\[ -x^2 + 17x = 66 \iff x^2 – 17x + 66 = 0 \]
\(\Delta = 289 – 264 = 25\).
\[ x_1 = \frac{17 – 5}{2} = 6 \qquad x_2 = \frac{17 + 5}{2} = 11 \]
Les deux valeurs appartiennent à \(]0\,;\,17[\). Pour \(x = 6\), la largeur est \(11\) cm ; pour \(x = 11\), la largeur est \(6\) cm (c’est le même rectangle). L’aire est 66 cm² pour les dimensions \(6 \times 11\) cm.

Solution de la question 4 :
Le rectangle est un carré si \(x = 17 – x\), soit \(2x = 17\), soit \(x = 8{,}5\) cm.
\(\mathcal{A}(8{,}5) = 8{,}5 \times 8{,}5 = 72{,}25 \neq 66\), donc ce rectangle ne peut pas être un carré tout en ayant une aire de 66 cm².

Solution de la question 1 :
\(a=1, b=-4, c=-5\). \(\Delta = 16 + 20 = 36\).
\[ x_1 = \frac{4-6}{2} = -1 \qquad x_2 = \frac{4+6}{2} = 5 \]
Comme \(a = 1 > 0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines :
\[ x^2 – 4x – 5 > 0 \iff S = \,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]5\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 2 :
\(a=-1, b=3, c=-2\). \(\Delta = 9 – 8 = 1\).
\[ x_1 = \frac{-3-1}{-2} = 2 \qquad x_2 = \frac{-3+1}{-2} = 1 \]
On ordonne : \(x_1 = 1 < x_2 = 2\). Comme \(a = -1 < 0\), le trinôme est négatif à l’extérieur des racines :
\[ -x^2 + 3x – 2 \leq 0 \iff S = \,]-\infty\,;\,1]\,\cup\,[2\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 1 :
\[ x^2 + 3x – 10 < 0 \]
\(\Delta = 9 + 40 = 49\). Racines : \(x_1 = \dfrac{-3-7}{2} = -5\), \(x_2 = \dfrac{-3+7}{2} = 2\).
\(a = 1 > 0\) donc le trinôme est négatif entre les racines :
\[ S = \,]-5\,;\,2[ \]

Solution de la question 2 :
\(\Delta = 9 – 8 = 1\). Racines : \(x_1 = \dfrac{3-1}{4} = \dfrac{1}{2}\), \(x_2 = \dfrac{3+1}{4} = 1\).
\(a = 2 > 0\) donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines :
\[ S = \,\left]-\infty\,;\,\frac{1}{2}\right]\,\cup\,[1\,;\,+\infty[ \]

Solution de la question 3 :
\(\Delta = 4 – 20 = -16 < 0\). Comme \(a = 1 > 0\) et \(\Delta < 0\), le trinôme est strictement positif pour tout réel :
\[ S = \mathbb{R} \]

Solution de la question 1 :
\(\Delta = 25 – 24 = 1\). Racines : \(x_1 = \dfrac{5-1}{4} = 1\), \(x_2 = \dfrac{5+1}{4} = \dfrac{3}{2}\).
\[ 2x^2 – 5x + 3 = 2(x-1)\left(x – \frac{3}{2}\right) = (x-1)(2x-3) \]

Solution de la question 2 :
Valeur interdite : \(x = 4\).

Solution de la question 3 :
Le quotient est négatif ou nul (hors valeur interdite) pour :
\[ S = \,\left]-\infty\,;\,1\right]\,\cup\,\left[\frac{3}{2}\,;\,4\right[ \]

Solution de la question 1 :
On substitue \(y = 2x – 1\) dans \(3x + y = 14\) :
\[ 3x + 2x – 1 = 14 \iff 5x = 15 \iff x = 3 \]
Puis : \(y = 2(3) – 1 = 5\).
\[ S = \{(3\,;\,5)\} \]

Solution de la question 2 :
De la première équation : \(x = 4 + 2y\). On substitue dans \(2x + y = 3\) :
\[ 2(4 + 2y) + y = 3 \iff 8 + 4y + y = 3 \iff 5y = -5 \iff y = -1 \]
Puis : \(x = 4 + 2(-1) = 2\).
\[ S = \{(2\,;\,-1)\} \]

Solution de la question 1 :
Addition des deux équations :
\[ (3x + 2y) + (5x – 2y) = 11 + 13 \iff 8x = 24 \iff x = 3 \]
Puis : \(3(3) + 2y = 11 \iff 9 + 2y = 11 \iff y = 1\).
\[ S = \{(3\,;\,1)\} \]

Solution de la question 2 :
On multiplie L1 par 5 et L2 par 3 :
\[ \begin{cases} 20x + 15y = 25 \\ 18x – 15y = -39 \end{cases} \]
Addition : \(38x = -14 \iff x = -\dfrac{7}{19}\).
Puis : \(4\left(-\dfrac{7}{19}\right) + 3y = 5 \iff -\dfrac{28}{19} + 3y = 5 \iff 3y = 5 + \dfrac{28}{19} = \dfrac{95 + 28}{19} = \dfrac{123}{19} \iff y = \dfrac{41}{19}\).
\[ S = \left\{\left(-\frac{7}{19}\,;\,\frac{41}{19}\right)\right\} \]

Solution de la question 1 :
\[ \begin{cases} 3p_A + 5p_E = 74 \\ 7p_A + 2p_E = 100 \end{cases} \]

Solution de la question 2 :
On multiplie L1 par 2 et L2 par 5 :
\[ \begin{cases} 6p_A + 10p_E = 148 \\ 35p_A + 10p_E = 500 \end{cases} \]
On soustrait L1 de L2 : \(29p_A = 352 \iff p_A = \dfrac{352}{29}\). Ce résultat n’est pas entier, donc vérifions le système en multipliant L1 par 7 et L2 par 3 :
\[ \begin{cases} 21p_A + 35p_E = 518 \\ 21p_A + 6p_E = 300 \end{cases} \]
Soustraction : \(29p_E = 218 \iff p_E = \dfrac{218}{29}\). Hmm, vérifions directement. Revenons au système :
\[ 3p_A + 5p_E = 74 \quad (1) \qquad 7p_A + 2p_E = 100 \quad (2) \]
\((1) \times 2 – (2) \times 5\) : \(6p_A + 10p_E – 35p_A – 10p_E = 148 – 500 \iff -29p_A = -352 \iff p_A = \dfrac{352}{29}\).

Il est possible que les données ne donnent pas des valeurs entières. Prenons plutôt : de (2), \(p_E = \dfrac{100 – 7p_A}{2}\). En substituant dans (1) : \(3p_A + 5 \cdot \dfrac{100-7p_A}{2} = 74 \iff 6p_A + 500 – 35p_A = 148 \iff -29p_A = -352 \iff p_A = \dfrac{352}{29} \approx 12\) €. En choisissant des valeurs entières, on aurait \(p_A = 12\) et on vérifie : \(3(12) + 5p_E = 74 \iff 5p_E = 38\), ce qui ne donne pas un entier.

Correction avec la résolution exacte : \(p_A = \dfrac{352}{29}\) € et \(p_E = \dfrac{218}{29}\) €. Ces valeurs vérifient bien les deux équations du système. Le problème présente des prix non entiers, ce qui peut arriver dans un cadre général.

Solution de la question 3 :
On cherche \(n\) tel que \(n \cdot p_A + 4 \cdot p_E = 114\) :
\[ n \cdot \frac{352}{29} + 4 \cdot \frac{218}{29} = 114 \iff \frac{352n + 872}{29} = 114 \iff 352n + 872 = 3306 \iff 352n = 2434 \iff n = \frac{2434}{352} = \frac{1217}{176} \approx 6{,}9 \]
Comme \(n\) doit être un entier, cela signifie que les données du problème ne permettent pas une solution entière exacte dans cette troisième séance avec les valeurs obtenues. Dans un contexte scolaire, on arrondit à \(n = 7\) billets adulte.