Équation-produit nul 3ème : méthode complète

Une équation-produit nul en 3ème transforme un problème parfois complexe en plusieurs équations simples. La propriété fondamentale est courte : si un produit vaut zéro, au moins un de ses facteurs vaut zéro.

Toute la difficulté se concentre avant cette règle. Il faut obtenir zéro dans un membre, factoriser complètement l'autre et conserver toutes les possibilités. Une forme développée qui vaut zéro n'est pas encore un produit nul.

Table des Matières

La règle du produit nul et sa réciproque

Produit nul

Pour deux nombres $A$ et $B$ , $A\times B=0$ si et seulement si $A=0$ ou $B=0$ . La propriété s'étend à un produit de plusieurs facteurs.

Deux facteurs conduisant aux deux solutions d'une équation-produit — Chaque facteur nul fournit une branche de résolution et une solution potentielle.

Cette propriété vient du fait qu'un produit de nombres non nuls ne peut pas être nul. Elle ne s'applique pas à une somme : $A+B=0$ peut être vraie sans que $A$ ou $B$ soit nul.

Résoudre une équation déjà factorisée

Dans $(2x-6)(x+5)=0$ , chaque facteur est mis à zéro. On résout ensuite deux équations du premier degré indépendantes.

\begin{aligned} (2x-6)(x+5)=0 &\Longleftrightarrow 2x-6=0\ \text{ou}\ x+5=0\\ &\Longleftrightarrow x=3\ \text{ou}\ x=-5. \end{aligned}

L'ensemble des solutions est $\{-5;3\}$ . L'ordre n'a pas d'importance, mais les deux valeurs doivent apparaître.

Erreur fréquente : diviser les deux membres par $x+5$ ferait perdre la solution $x=-5$ , précisément parce que ce facteur peut être nul.

Mettre zéro dans un membre avant de factoriser

La règle ne peut être appliquée à $x(x-4)=12$ . On commence par soustraire 12 aux deux membres, mais l'expression $x^2-4x-12$ doit encore être factorisée. Une mise en forme pertinente est $(x-6)(x+2)$ .

x(x-4)=12\Longleftrightarrow x^2-4x-12=0 \Longleftrightarrow(x-6)(x+2)=0.

On obtient alors $x=6$ ou $x=-2$ . Les deux valeurs vérifient l'équation initiale : $6\times2=12$ et $(-2)\times(-6)=12$ .

Factoriser avec un facteur commun

L'équation $5x^2-15x=0$ possède le facteur commun $5x$ . Après factorisation, le produit nul devient visible.

5x^2-15x=5x(x-3)=0 \Longrightarrow x=0\ \text{ou}\ x=3.

Oublier la solution zéro est fréquent lorsque l'on divise directement par $x$ . La factorisation en calcul littéral conserve au contraire toutes les branches.

Utiliser une identité remarquable pour factoriser

Une différence de deux carrés se factorise avec $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ . Ainsi, $9x^2-25=0$ devient un produit de deux facteurs du premier degré.

9x^2-25=(3x-5)(3x+5)=0 \Longrightarrow x=\frac53\ \text{ou}\ x=-\frac53.

La reconnaissance des identités remarquables élargit donc les équations accessibles sans formule générale du second degré.

Traiter un produit de trois facteurs

Plusieurs facteurs

Si $A\times B\times C=0$ , alors $A=0$ , $B=0$ ou $C=0$ . Chaque facteur doit être examiné, y compris un facteur réduit à une lettre.

x(2x+1)(x-7)=0 \Longrightarrow x=0,\quad x=-\frac12,\quad x=7.

Écrire l'ensemble final permet de compter les solutions et de repérer un oubli. Une même valeur obtenue par deux facteurs ne se note qu'une seule fois dans l'ensemble.

Procédure complète et vérification

Étape	Contrôle
1. Regrouper	un membre vaut exactement zéro
2. Factoriser	l'autre membre est un produit complet
3. Séparer	un cas pour chaque facteur
4. Résoudre	équations simples sans division risquée
5. Vérifier	substitution dans l'équation initiale

Lors d'une vérification, utiliser la forme initiale évite de valider une erreur introduite pendant la factorisation. Si une solution annule l'un des facteurs de la forme obtenue, le produit vaut bien zéro, mais il reste utile de confirmer l'équivalence avec l'énoncé de départ.

La méthode générale des équations du premier degré intervient dans chaque branche après l'application du produit nul.

Astuce : avant d'écrire « ou », vérifier visuellement que le membre de gauche est bien un produit, pas une somme de plusieurs produits.

Un problème géométrique peut conduire à un produit nul

Un rectangle de dimensions $x+4$ et $x-1$ a une aire de 24. On obtient $(x+4)(x-1)=24$ , puis $x^2+3x-28=0$ . La factorisation $(x-4)(x+7)=0$ donne $x=4$ ou $x=-7$ .

Le contexte impose $x-1\gt 0$ , donc $x\gt 1$ . La solution $-7$ est mathématiquement issue de l'équation mais ne décrit pas des longueurs possibles. On conserve seulement $x=4$ , donnant un rectangle 8 par 3.

(4+4)(4-1)=8\times3=24.

La vérification confirme l'aire et les longueurs positives. Ce retour au contexte est indispensable : l'équation peut avoir plusieurs solutions, mais toutes ne représentent pas nécessairement une mesure admissible.

Ne pas appliquer le produit nul à un produit égal à une autre valeur

L'égalité $(x-3)(x+2)=10$ ne permet pas d'écrire $x-3=10$ ou $x+2=10$ . La propriété fonctionne uniquement lorsque le produit vaut zéro.

On regroupe d'abord tous les termes dans un membre, puis on cherche une factorisation. Si aucune factorisation accessible n'apparaît, l'équation peut dépasser les méthodes attendues ou demander une autre transformation. Reconnaître cette limite est plus rigoureux que fabriquer deux équations sans équivalence.

Un contrôle rapide consiste à développer la forme factorisée candidate. Elle doit redonner exactement le membre obtenu après regroupement, coefficient par coefficient.

Astuce : entourer le zéro du membre droit avant de séparer les facteurs crée un contrôle visuel très simple.

Équation-produit nul 3ème : l’essentiel à retenir

Une équation-produit se résout en trois temps : obtenir zéro dans un membre, factoriser complètement l'autre, puis annuler chaque facteur. La règle du produit nul conserve toutes les solutions, contrairement à une division par une expression qui pourrait être nulle.

Ce raisonnement est conforme aux repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et relie calcul littéral, identités remarquables et résolution d'équations.