Échantillonnage et simulation Seconde : 6 exercices corrigés

Une fréquence observée n'est jamais confondue avec la probabilité du modèle. Les exercices comparent plusieurs tailles d'échantillon, construisent une simulation et demandent enfin ce que les résultats numériques permettent, ou non, d'affirmer.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Échantillonnage et simulation. Les résultats numériques simulés seront formalisés avec la notion de variable aléatoire.

Bases de Échantillonnage et simulation : Fréquence observée

Exercice 1 : Fréquence observée

Facile

Dans 250 lancers d'une pièce, on observe 137 faces.

  1. Calculer la fréquence.
  2. Comparer à la probabilité théorique.
  3. Donner l'écart absolu.
Indication
Une fréquence est effectif observé divisé par effectif total.
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  1. La fréquence observée est 137/250=0,548137/250=0{,}548.
  2. Elle est supérieure à la probabilité théorique 0,5 de 0,0480{,}048.
  3. L'écart absolu est ∣0,548−0,5∣=0,048|0{,}548-0{,}5|=0{,}048, soit 4,8 points de pourcentage.

Exercice 2 : Deux tailles d’échantillon

Moyen

Pour un événement de probabilité 0,3, un échantillon de taille 40 donne 0,40 et un échantillon de taille 4000 donne 0,31.

  1. Calculer les deux écarts.
  2. Comparer la stabilité.
  3. Dire si ces résultats prouvent la loi des grands nombres.
Indication
La loi décrit une tendance, pas une garantie pour chaque expérience.
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  1. Les écarts absolus sont ∣0,40−0,30∣=0,10|0{,}40-0{,}30|=0{,}10 et ∣0,31−0,30∣=0,01|0{,}31-0{,}30|=0{,}01.
  2. Dans ces observations, l'échantillon de taille 4000 fournit la fréquence la plus proche et apparaît plus stable.
  3. Deux échantillons isolés ne prouvent pas la loi des grands nombres. Ils illustrent seulement le comportement attendu quand la taille augmente.

Choisir une méthode : Simuler des lancers d'une pièce équilibrée

Exercice 3 : Simuler des lancers d’une pièce équilibrée

Moyen

On simule 50, puis 500, puis 5 000 lancers d'une pièce équilibrée et on observe la fréquence de pile.

  1. Rappeler la probabilité du modèle et commenter une fréquence de 0,58 sur 50 lancers.
  2. Comparer la dispersion attendue pour 500 et 5 000 lancers.
  3. Dire ce qu'une simulation de taille finie ne garantit jamais.
Indication
Définir l'expérience aléatoire et l'événement dont la fréquence sera mesurée.
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  1. La probabilité du modèle vaut 0,5 pour chaque lancer. Sur 50 lancers, une fréquence de 0,58 reste possible.
  2. Sur 500 lancers, les fréquences de répétitions indépendantes sont en général moins dispersées. Sur 5 000 lancers, elles se concentrent davantage autour de 0,5.
  3. Aucune taille finie ne garantit exactement 50 % de piles.

Exercice 4 : Concevoir une simulation

Difficile

On veut estimer la probabilité d'obtenir une somme au moins égale à 10 avec deux dés.

  1. Décrire 10 000 répétitions.
  2. Préciser le compteur.
  3. Écrire la fréquence retournée.
  4. Calculer la probabilité exacte de contrôle.
Indication
Les sommes favorables sont 10, 11 et 12.
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  1. On répète 10 000 fois deux tirages indépendants d'entiers entre 1 et 6, puis on calcule leur somme.
  2. Un compteur, initialisé à 0, est augmenté de 1 chaque fois que la somme est supérieure ou égale à 10.
  3. La fréquence renvoyée est compteur/10000\text{compteur}/10000. Elle doit être comprise entre 0 et 1.
  4. Les sommes 10, 11 et 12 comptent respectivement 3, 2 et 1 issues, soit 6 issues sur 36. La probabilité exacte est 1/61/6.

Approfondir Échantillonnage et simulation : Comprendre ce que la simulation montre et ne montre pas

Exercice 5 : Comparer deux fréquences sans surinterpréter

Moyen

Un événement a une probabilité théorique de 0,4. Deux simulations donnent 37 succès sur 80 essais et 1 958 succès sur 5 000 essais.

  1. Calculer les deux fréquences.
  2. Calculer leurs écarts à 0,4.
  3. Formuler une conclusion prudente.
Indication
Comparer les écarts absolus, puis tenir compte des tailles d'échantillon.
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  1. Les fréquences sont 3780=0,4625\frac{37}{80}=0{,}4625 et 19585000=0,3916\frac{1958}{5000}=0{,}3916.
  2. Les écarts valent 0,0625 et 0,0084.
  3. Le grand échantillon est ici plus proche de la probabilité, ce qui illustre la stabilisation. Ces deux résultats seuls ne prouvent toutefois pas que tout grand échantillon sera plus proche.

Exercice 6 : Comprendre ce que la simulation montre et ne montre pas

Difficile

Une pièce est simulée 10 000 fois et la fréquence de pile obtenue vaut 0,503. On examine ce que ce résultat permet réellement d'affirmer.

  1. Dire ce que cette fréquence indique sur la simulation réalisée.
  2. Expliquer pourquoi elle ne démontre pas que la probabilité théorique vaut exactement 0,5.
  3. Proposer un contrôle utile du modèle ou du programme.
Indication
Distinguer une observation produite par le hasard d'une propriété démontrée du modèle.
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  1. La fréquence 0,503 est proche de 0,5 et elle est compatible avec le comportement attendu d'une pièce équilibrée sur cet échantillon.
  2. Une fréquence varie d'un échantillon à l'autre. Une seule simulation, même longue, ne prouve pas la valeur exacte d'une probabilité.
  3. On peut répéter plusieurs séries de tailles croissantes et observer la dispersion des fréquences. Un écart systématique inviterait à vérifier le générateur ou l'hypothèse d'équilibre.
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