Développement Limité : Exercices Corrigés

Solution :

On sait que $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \frac{u^4}{4!} + \frac{u^5}{5!} + o(u^5)$

En posant $u = 2x$, on obtient :

$$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^5}{5!} + o(x^5)$$ $$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} + \frac{16x^4}{24} + \frac{32x^5}{120} + o(x^5)$$ $$e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + \frac{2x^4}{3} + \frac{4x^5}{15} + o(x^5)$$

Solution :

La formule usuelle donne : $\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + o(u^4)$

En posant $u = x^2$ :

$$\ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^2}{2} + \frac{(x^2)^3}{3} + o(x^6)$$ $$\ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + o(x^6)$$

Solution :

On utilise : $\sin(u) = u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} + o(u^5)$

Avec $u = 3x$ :

$$\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + \frac{(3x)^5}{120} + o(x^5)$$ $$\sin(3x) = 3x - \frac{27x^3}{6} + \frac{243x^5}{120} + o(x^5)$$ $$\sin(3x) = 3x - \frac{9x^3}{2} + \frac{81x^5}{40} + o(x^5)$$

Solution :

D'une part : $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$

D'autre part : $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$

Par addition :

$$e^x + \cos(x) = 2 + x + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)x^2 + \frac{x^3}{6} + \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{24}\right)x^4 + o(x^4)$$ $$e^x + \cos(x) = 2 + x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12} + o(x^4)$$

Solution :

On a : $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$

Et : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$

Le produit donne :

$$e^x \sin(x) = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\right)\left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^4)$$

En développant et en ne conservant que les termes d'ordre $\leq 4$ :

$$= x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$$ $$= x + x^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)x^3 + \frac{x^4}{6} + o(x^4)$$ $$e^x \sin(x) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{6} + o(x^4)$$

Solution :

On a : $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)$

Et : $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

Le produit s'écrit :

$$\cos(x) \ln(1 + x) = \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) + o(x^3)$$ $$= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{2} + o(x^3)$$ $$= x - \frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right)x^3 + o(x^3)$$ $$\cos(x) \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$

Solution :

On commence par calculer le DL de $\frac{\sin(x)}{x}$ :

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$$ $$\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4)$$

Posons $u = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120}$. On a $\frac{\sin(x)}{x} = 1 + u$.

On utilise alors : $\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$

Puisque $u^2 = \left(-\frac{x^2}{6}\right)^2 + o(x^4) = \frac{x^4}{36} + o(x^4)$, on obtient :

$$\ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{36} + o(x^4)$$ $$= -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{x^4}{72} + o(x^4)$$ $$= -\frac{x^2}{6} + \left(\frac{1}{120} - \frac{1}{72}\right)x^4 + o(x^4)$$ $$\ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} + o(x^4)$$

Solution :

On a : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$

Posons $u = x - \frac{x^3}{6}$. On cherche le DL de $e^u$ :

$$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$$

Calculons $u^2$ en ne gardant que les termes d'ordre $\leq 4$ :

$$u^2 = \left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 + o(x^4)$$

Donc :

$$e^{\sin(x)} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + o(x^4)$$ $$e^{\sin(x)} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$$

Solution :

Posons $u = x + x^2$. On cherche le DL de $\sqrt{1 + u} = (1 + u)^{1/2}$.

La formule du binôme donne :

$$(1 + u)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + o(u^3)$$

Calculons les puissances de $u$ :

$$u = x + x^2$$ $$u^2 = (x + x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + o(x^3)$$ $$u^3 = x^3 + o(x^3)$$

En substituant :

$$\sqrt{1 + x + x^2} = 1 + \frac{1}{2}(x + x^2) - \frac{1}{8}(x^2 + 2x^3) + \frac{x^3}{16} + o(x^3)$$ $$= 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{4} + \frac{x^3}{16} + o(x^3)$$ $$= 1 + \frac{x}{2} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right)x^2 + \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{16}\right)x^3 + o(x^3)$$ $$\sqrt{1 + x + x^2} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} - \frac{3x^3}{16} + o(x^3)$$

Solution :

Posons $u = x + x^2$. On a :

$$\frac{1}{1 + u} = 1 - u + u^2 - u^3 + u^4 + o(u^4)$$

Calculons les puissances de $u$ :

$$u = x + x^2$$ $$u^2 = x^2 + 2x^3 + x^4 + o(x^4)$$ $$u^3 = x^3 + 3x^4 + o(x^4)$$ $$u^4 = x^4 + o(x^4)$$

En substituant et en regroupant par puissances de $x$ :

$$\frac{1}{1 + x + x^2} = 1 - (x + x^2) + (x^2 + 2x^3 + x^4) - (x^3 + 3x^4) + x^4 + o(x^4)$$ $$= 1 - x - x^2 + x^2 + 2x^3 + x^4 - x^3 - 3x^4 + x^4 + o(x^4)$$ $$= 1 - x + (2 - 1)x^3 + (1 - 3 + 1)x^4 + o(x^4)$$ $$\frac{1}{1 + x + x^2} = 1 - x + x^3 - x^4 + o(x^4)$$

Solution :

On a : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$

Et : $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$

On écrit $\cos(x) = 1 - u$ avec $u = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}$, donc :

$$\frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{1 - u} = 1 + u + u^2 + o(u^2)$$

Avec $u^2 = \frac{x^4}{4} + o(x^5)$, on obtient :

$$\frac{1}{\cos(x)} = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^4}{4} + o(x^5) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^5)$$

Donc :

$$\tan(x) = \sin(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right)\left(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}\right) + o(x^5)$$

En effectuant le produit :

$$= x + \frac{x^3}{2} + \frac{5x^5}{24} - \frac{x^3}{6} + o(x^5)$$ $$= x + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)x^3 + \frac{5x^5}{24} + o(x^5)$$ $$\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$$

Solution :

On a : $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

Et : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$

Pour calculer $\frac{1}{\sin(x)}$, on écrit $\sin(x) = x(1 - \frac{x^2}{6})$, donc :

$$\frac{1}{\sin(x)} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^2}{6}} = \frac{1}{x}\left(1 + \frac{x^2}{6} + o(x^3)\right)$$

Ainsi :

$$\frac{\ln(1 + x)}{\sin(x)} = \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) \cdot \frac{1}{x}\left(1 + \frac{x^2}{6}\right) + o(x^3)$$ $$= \left(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3}\right)\left(1 + \frac{x^2}{6}\right) + o(x^3)$$ $$= 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{6} + o(x^3)$$ $$\frac{\ln(1 + x)}{\sin(x)} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2} + o(x^3)$$

Solution :

Calculons les DL du numérateur et du dénominateur :

Numérateur : $e^x - 1 - x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

Dénominateur : $\sin(x) - x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$

Donc :

$$\frac{e^x - 1 - x}{\sin(x) - x} = \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}}{ -\frac{x^3}{6}} + o(1) = \frac{x^2}{ -\frac{x^3}{6}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{3}}{1} + o(1)$$ $$= -\frac{3}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$$

La limite n'existe pas (tend vers $-\infty$).

Solution de la question 1 :

D'après l'exercice 9, on a :

$$f(x) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} + o(x^2)$$

La partie affine du DL est $1 + \frac{x}{2}$, donc l'équation de la tangente est :

$$y = 1 + \frac{x}{2}$$

Solution de la question 2 :

On a : $f(x) - \left(1 + \frac{x}{2}\right) = \frac{3x^2}{8} + o(x^2)$

Comme $\frac{3x^2}{8} > 0$ pour $x \neq 0$, la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0.

Solution :

Posons $h = e^{-x}$. Quand $x \to +\infty$, on a $h \to 0$ et $x = -\ln(h)$.

On a : $\ln(1 + h) = h - \frac{h^2}{2} + o(h^2)$

Donc :

$$f(x) = -\ln(h) + h - \frac{h^2}{2} + o(h^2)$$ $$= -\ln(h) + e^{-x} - \frac{e^{-2x}}{2} + o(e^{-2x})$$

Quand $x \to +\infty$ :

$$f(x) = x + e^{-x} - \frac{e^{-2x}}{2} + o(e^{-2x})$$

La droite $y = x$ est asymptote à la courbe en $+\infty$.

L'écart est : $f(x) - x = e^{-x} - \frac{e^{-2x}}{2} + o(e^{-2x}) \sim e^{-x} > 0$

Donc la courbe est au-dessus de son asymptote pour $x$ grand.

Solution :

Posons $h = x - 2$. Alors $x = 2 + h$ et :

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{h}{2}}$$

En utilisant $\frac{1}{1 + u} = 1 - u + u^2 - u^3 + o(u^3)$ avec $u = \frac{h}{2}$ :

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{h}{2} + \frac{h^2}{4} - \frac{h^3}{8} + o(h^3)\right)$$ $$= \frac{1}{2} - \frac{h}{4} + \frac{h^2}{8} - \frac{h^3}{16} + o(h^3)$$

En remplaçant $h = x - 2$ :

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{(x-2)}{4} + \frac{(x-2)^2}{8} - \frac{(x-2)^3}{16} + o((x-2)^3)$$

Solution :

Posons $h = x - 1$. Alors $x = 1 + h$ et :

$$\ln(x) = \ln(1 + h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} + o(h^3)$$

En remplaçant $h = x - 1$ :

$$\ln(x) = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} + o((x - 1)^3)$$

Solution :

Posons $f(x) = c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4 + c_5x^5 + o(x^5)$.

Alors : $f'(x) = c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + 4c_4x^3 + 5c_5x^4 + o(x^4)$

Et : $\frac{1}{1 - x^2} = 1 + x^2 + x^4 + o(x^5)$

L'équation différentielle devient :

$$c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + 4c_4x^3 + 5c_5x^4 + (1 - x^2)(c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4) = 1 + x^2 + x^4$$

En développant et en identifiant par ordre :

Donc :

$$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^3}{6} - \frac{x^4}{3} + \frac{x^5}{2} + o(x^5)$$

Solution :

On a : $e^{t^2} = 1 + t^2 + \frac{t^4}{2} + o(t^4)$

En intégrant de 0 à $x$ :

$$f(x) = \int_0^x \left(1 + t^2 + \frac{t^4}{2}\right) dt + o(x^5)$$ $$= \left[t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{10}\right]_0^x + o(x^5)$$ $$f(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + o(x^5)$$

Solution :

On écrit : $(\cos x)^{\sin x} = e^{\sin x \cdot \ln(\cos x)}$

Calculons d'abord $\ln(\cos x)$ :

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$$ $$\ln(\cos x) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)$$

Ensuite : $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

Donc :

$$\sin x \cdot \ln(\cos x) = \left(x - \frac{x^3}{6}\right)\left(-\frac{x^2}{2}\right) + o(x^3) = -\frac{x^3}{2} + o(x^3)$$

Enfin :

$$e^{-\frac{x^3}{2}} = 1 - \frac{x^3}{2} + o(x^3)$$ $$(\cos x)^{\sin x} = 1 - \frac{x^3}{2} + o(x^3)$$