Dérivation Première : 13 exercices corrigés

Dérivation en Première : 13 exercices corrigés, du taux de variation à un problème type bac, précédés de 8 questions d'automatismes. On y travaille le nombre dérivé par la définition, l'équation de la tangente, les formules de dérivation (produit, quotient, $g(ax+b)$ ), l'approximation affine, la non-dérivabilité en 0 et un algorithme Python.

Chaque corrigé détaille les calculs et la conclusion attendue sur une copie. Le cours correspondant est Dérivation Première : nombre dérivé, tangente et formules. Pour vérifier une dérivée, la calculatrice de dérivée en ligne affiche les étapes du calcul.

Sommaire6 parties

Automatismes : 8 questions flash

Sans calculatrice, une seule bonne réponse par question. Les quatre premières portent sur les droites et les lectures graphiques, au programme des automatismes de l'épreuve anticipée.

Question 1 : Coefficient directeur entre deux points

Automatisme

Le coefficient directeur de la droite

(AB)

, avec

A(1\,;3)

B(4\,;-3)

, vaut :

$-2$
$2$
$-\frac12$
$-6$

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Réponse A :

\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-3}{4-1}=\dfrac{-6}{3}=-2

. La réponse C vient d'un quotient renversé, la réponse D d'une division oubliée.

Question 2 : Nombre dérivé lu sur une tangente

Automatisme

La tangente à la courbe de

f

au point

A(2\,;1)

passe par

B(4\,;7)

. Alors

f'(2)

vaut :

$1$
$3$
$7$
$\frac13$

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Réponse B.

f'(2)

est le coefficient directeur de la tangente :

\dfrac{7-1}{4-2}=3

. La réponse A confond

f'(2)

avec

f(2)=1

Question 3 : Équation réduite d’une droite

Automatisme

La droite passant par

A(2\,;5)

et de coefficient directeur

-3

a pour équation :

$y=-3x+5$
$y=5x-3$
$y=-3x+11$
$y=-3x-1$

Voir le corrigé

Réponse C.

y=-3x+p

5=-3\times2+p

, donc

p=11

. Contrôle :

-3\times2+11=5

. C'est exactement le calcul d'une tangente

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Question 4 : Tangente horizontale

Automatisme

La courbe de

f

admet une tangente horizontale au point d'abscisse

a

. On peut affirmer que :

$f(a)=0$
$f'(a)=1$
$f$ n'est pas dérivable en $a$
$f'(a)=0$

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Réponse D. Une droite horizontale a un coefficient directeur nul, et celui de la tangente est

f'(a)

. La valeur

f(a)

, elle, peut être quelconque.

Question 5 : Dériver un trinôme

Automatisme

La dérivée de

f(x)=3x^2-5x+2

est :

$f'(x)=3x-5$
$f'(x)=6x-5$
$f'(x)=6x^2-5$
$f'(x)=6x-3$

Voir le corrigé

Réponse B :

(3x^2)'=3\times2x=6x

(-5x)'=-5

et la constante 2 a une dérivée nulle.

Question 6 : Nombre dérivé de l’inverse

Automatisme

Pour

f(x)=\dfrac1x

, le nombre

f'(2)

vaut :

$\frac14$
$-\frac12$
$-\frac14$
$\frac12$

Voir le corrigé

Réponse C :

f'(x)=-\dfrac1{x^2}

, donc

f'(2)=-\dfrac14

. Le signe moins se retrouve sans formule : la fonction inverse est décroissante sur

\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}

Question 7 : Nombre dérivé de la racine carrée

Automatisme

Pour

f(x)=\sqrt x

, le nombre

f'(9)

vaut :

$\frac16$
$\frac13$
$3$
$\frac1{18}$

Voir le corrigé

Réponse A :

f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}

, donc

f'(9)=\dfrac1{2\times3}=\dfrac16

. La réponse D oublie la racine :

\dfrac1{2\times9}

Question 8 : Valeur approchée par la tangente

Automatisme

On sait que

f(3)=5

f'(3)=2

. Une valeur approchée de

f(3{,}01)

est :

$5{,}2$
$5{,}01$
$7{,}01$
$5{,}02$

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Réponse D. Avec

h=0{,}01

f(3+h)\approx f(3)+h\,f'(3)=5+0{,}01\times2=5{,}02

Niveau 1 : taux de variation, nombre dérivé, tangente

Exercice 1 : Vitesse moyenne et vitesse instantanée d’un ballon

Facile

Un ballon est lancé vers le haut. Son altitude, en mètres, à l'instant

t

(en secondes) est

z(t)=-5t^2+20t+1

, pour

t\in[0\,;4]

Calculer le taux de variation de $z$ entre 0 et 1, puis entre 1 et 3. Interpréter.
Montrer que, pour $k\neq0$ , le taux de variation de $z$ entre 2 et $2+k$ vaut $-5k$ . En déduire $z'(2)$ et interpréter.
Calculer $z'(1)$ à l'aide de la définition.

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$z(0)=1$ , $z(1)=-5+20+1=16$ et $z(3)=-45+60+1=16$ . $\begin{aligned}\frac{z(1)-z(0)}{1-0}&=15\\ \frac{z(3)-z(1)}{3-1}&=\frac{0}{2}=0.\end{aligned}$ Pendant la première seconde, le ballon monte à la vitesse moyenne de 15 m/s. Entre 1 s et 3 s, la vitesse moyenne est nulle : le ballon est à la même altitude (16 m) aux deux instants, il est monté puis redescendu.
$z(2)=-20+40+1=21$ et $\begin{aligned}&z(2+k)\\&=-5(4+4k+k^2)\\&\quad+20(2+k)+1\\&=-20-20k-5k^2\\&\quad+40+20k+1\\&=21-5k^2.\end{aligned}$ Le taux vaut $\dfrac{21-5k^2-21}{k}=-5k$ , qui tend vers 0 quand $k$ tend vers 0 : $z'(2)=0$ . À $t=2$ s, la vitesse verticale est nulle : le ballon est au sommet de sa trajectoire, à 21 m.
$z(1+k)=-5(1+2k+k^2)+20+20k+1=16+10k-5k^2$ . Le taux vaut $\dfrac{10k-5k^2}{k}=10-5k$ , qui tend vers 10 : $z'(1)=10$ . À $t=1$ s, le ballon monte à 10 m/s.

Exercice 2 : Nombre dérivé par la définition

Facile

Calculer les nombres dérivés suivants en revenant à la définition (limite du taux de variation).

$f'(1)$ pour $f(x)=2x^2-x+3$ .
$g'(9)$ pour $g(x)=\sqrt x$ .

Indication

Pour la racine carrée, multiplier numérateur et dénominateur par

\sqrt{9+h}+3

: on fait disparaître la différence de racines.

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$f(1)=2-1+3=4$ et, pour $h\neq0$ , $\begin{aligned}&f(1+h)\\&=2(1+2h+h^2)\\&\quad-(1+h)+3\\&=4+3h+2h^2.\end{aligned}$ Le taux vaut $\dfrac{3h+2h^2}{h}=3+2h$ , qui tend vers 3. Donc $f'(1)=3$ . Contrôle avec la formule : $f'(x)=4x-1$ , $f'(1)=3$ .
Pour $h\neq0$ avec $9+h\gt 0$ : $\begin{aligned}&\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\&=\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\&=\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}.\end{aligned}$ Quand $h$ tend vers 0, $\sqrt{9+h}$ tend vers 3, donc le taux tend vers $\dfrac16$ : $g'(9)=\dfrac16$ .

Exercice 3 : De la tangente aux nombres, et retour

Facile

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 3 a pour équation $y=-2x+7$ . Donner $f(3)$ et $f'(3)$ .
On sait que $g(-1)=4$ et $g'(-1)=\frac12$ . Écrire l'équation réduite de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $-1$ .
La courbe d'une fonction $k$ passe par $A(0\,;-1)$ , et sa tangente en $A$ passe par $B(2\,;5)$ . Déterminer $k'(0)$ et l'équation de cette tangente.

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Le coefficient directeur de la tangente est $f'(3)$ , donc $f'(3)=-2$ . La tangente passe par le point de contact $\big(3\,;f(3)\big)$ , donc $f(3)=-2\times3+7=1$ .
$y=g'(-1)\big(x-(-1)\big)+g(-1)=\frac12(x+1)+4$ , soit $y=\frac12x+\frac92$ .
$k'(0)$ est la pente de $(AB)$ : $\dfrac{5-(-1)}{2-0}=3$ . La tangente a pour équation $y=3x-1$ (ordonnée à l'origine $-1$ , lue sur $A$ ).

Niveau 2 : appliquer et combiner les formules

Exercice 4 : Calculer des fonctions dérivées

Moyen

Calculer la dérivée de chaque fonction sur l'intervalle indiqué, sous forme réduite ou factorisée.

$f_1(x)=4x^3-5x^2+7x-2$ sur $\mathbb R$
$f_2(x)=(x^2+1)(3-2x)$ sur $\mathbb R$
$f_3(x)=x\sqrt x$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$
$f_4(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $\mathopen{]}-3\,;+\infty\mathclose{[}$
$f_5(x)=\dfrac{5}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$
$f_6(x)=(1-4x)^3$ sur $\mathbb R$
$f_7(x)=\sqrt{2x+6}$ sur $\mathopen{]}-3\,;+\infty\mathclose{[}$
$f_8(x)=(3x+1)^2$ sur $\mathbb R$ : dériver de deux façons (en développant, puis avec la formule de $g(ax+b)$ ) et comparer. Quelle méthode choisiriez-vous pour $(3x+1)^5$ ?

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Somme de termes : $f_1'(x)=12x^2-10x+7$ .
Produit avec $u=x^2+1$ , $u'=2x$ , $v=3-2x$ , $v'=-2$ : $\begin{aligned}f_2'(x)&=2x(3-2x)\\&\quad+(x^2+1)(-2)\\&=6x-4x^2-2x^2-2\\&=-6x^2+6x-2.\end{aligned}$
Produit avec $u=x$ et $v=\sqrt x$ : $f_3'(x)=\sqrt x+x\times\dfrac1{2\sqrt x}=\sqrt x+\dfrac{\sqrt x}2=\dfrac32\sqrt x$ , car $\dfrac{x}{\sqrt x}=\sqrt x$ .
Quotient avec $u'=2$ et $v'=1$ : $f_4'(x)=\dfrac{2(x+3)-(2x-1)}{(x+3)^2}=\dfrac{7}{(x+3)^2}$ .
$f_5=5\times\dfrac1v$ avec $v=x^2+1$ , qui ne s'annule pas : $f_5'(x)=5\times\left(-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\right)=-\dfrac{10x}{(x^2+1)^2}$ .
Forme $g(ax+b)$ avec $g(X)=X^3$ , $a=-4$ : $f_6'(x)=-4\times3(1-4x)^2=-12(1-4x)^2$ .
Forme $g(ax+b)$ avec $g(X)=\sqrt X$ , $a=2$ ; $2x+6\gt 0$ sur l'intervalle : $f_7'(x)=2\times\dfrac1{2\sqrt{2x+6}}=\dfrac1{\sqrt{2x+6}}$ .
En développant : $f_8(x)=9x^2+6x+1$ , donc $f_8'(x)=18x+6$ . Avec $g(X)=X^2$ et $a=3$ : $f_8'(x)=3\times2(3x+1)=18x+6$ . Les deux résultats coïncident. Pour $(3x+1)^5$ , développer donnerait six termes : la formule donne directement $15(3x+1)^4$ , sous forme factorisée, plus utile pour étudier un signe.

Exercice 5 : Retrouver un trinôme à partir de ses tangentes

Moyen

On cherche une fonction

f(x)=ax^2+bx+c

dont la courbe passe par

A(0\,;1)

. La tangente en

A

a pour coefficient directeur 2, et la courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

Déterminer

a

b

c

, puis vérifier le résultat.

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Méthode : traduire chaque information géométrique par une égalité sur

f

f'

, avec

f'(x)=2ax+b

La courbe passe par $A(0\,;1)$ : $f(0)=1$ , donc $c=1$ .
La tangente en $A$ a pour coefficient directeur 2 : $f'(0)=2$ , donc $b=2$ .
Tangente horizontale en 1 : $f'(1)=0$ , donc $2a+b=0$ et $a=-1$ .

Donc

f(x)=-x^2+2x+1

. Vérification :

f(0)=1

f'(x)=-2x+2

donne

f'(0)=2

f'(1)=0

. Cohérence avec le second degré : le sommet de la parabole est bien en

x=-\frac{b}{2a}=1

, là où la tangente est horizontale.

Exercice 6 : Tangentes parallèles à une droite donnée

Moyen

Soit

f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}

, définie et dérivable sur

\mathbb R\setminus\{-1\}

Montrer que $f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}$ .
Écrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
Déterminer les points de la courbe où la tangente est parallèle à la droite $D : y=\frac14x$ , et écrire ces tangentes.
Existe-t-il une tangente parallèle à la droite $y=-x$ ?

Indication

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur : on résout une équation dont l'inconnue est l'abscisse du point de contact.

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Quotient avec $u=2x+1$ , $v=x+1$ , $u'=2$ , $v'=1$ : $f'(x)=\dfrac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}$ .
$f(0)=1$ et $f'(0)=1$ , donc $y=1\times(x-0)+1$ , soit $y=x+1$ .
On cherche $x\neq-1$ tel que $f'(x)=\frac14$ , c'est-à-dire $(x+1)^2=4$ . Donc $x+1=2$ ou $x+1=-2$ , soit $x=1$ ou $x=-3$ .
- $f(1)=\frac32$ : tangente $y=\frac14(x-1)+\frac32=\frac14x+\frac54$ .
- $f(-3)=\frac{-5}{-2}=\frac52$ : tangente $y=\frac14(x+3)+\frac52=\frac14x+\frac{13}4$ .
Les points cherchés sont $\left(1\,;\tfrac32\right)$ et $\left(-3\,;\tfrac52\right)$ .
Il faudrait $f'(x)=-1$ . Or $f'(x)=\dfrac1{(x+1)^2}\gt 0$ pour tout $x\neq-1$ : aucune tangente n'a un coefficient directeur négatif. La réponse est non.

Exercice 7 : Approximation affine et coût marginal

Moyen

À l'aide de l'approximation affine de $x\mapsto\sqrt x$ en 25, donner sans calculatrice des valeurs approchées de $\sqrt{25{,}3}$ et de $\sqrt{24{,}8}$ .
Le coût de fabrication de $q$ objets est $C(q)$ euros. On sait que $C(100)=2\,500$ et $C'(100)=18$ . Estimer $C(103)$ et interpréter $C'(100)$ .
Un élève écrit $\sqrt{36}\approx5+11\times\frac1{10}=6{,}1$ . Expliquer pourquoi l'approximation est mauvaise.

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Avec $f(x)=\sqrt x$ : $f(25)=5$ et $f'(25)=\dfrac1{2\times5}=\dfrac1{10}$ . Pour $h$ proche de 0, $\sqrt{25+h}\approx5+\dfrac{h}{10}$ .
- $h=0{,}3$ : $\sqrt{25{,}3}\approx5{,}03$ (calculatrice : $5{,}02991\ldots$ ).
- $h=-0{,}2$ : $\sqrt{24{,}8}\approx4{,}98$ (calculatrice : $4{,}97996\ldots$ ).
Les écarts sont inférieurs à $10^{-4}$ .
$C(103)\approx C(100)+3\times C'(100)=2\,500+54=2\,554$ euros. $C'(100)=18$ est le coût marginal : à partir de 100 objets, fabriquer un objet de plus coûte environ 18 €.
L'élève a appliqué la formule avec $a=25$ et $h=11$ . Or $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$ n'est fiable que pour $h$ proche de 0. Ici $\sqrt{36}=6$ : l'erreur vaut $0{,}1$ , plus de mille fois les écarts de la question 1.

Exercice 8 : La vidange d’un réservoir

Moyen

Un réservoir se vide. Le volume d'eau restant, en litres,

t

minutes après l'ouverture de la vanne est

V(t)=0{,}5(40-t)^2

, pour

t\in[0\,;40]

Calculer le taux de variation de $V$ entre 0 et 10. Interpréter.
Calculer $V'(t)$ , puis $V'(10)$ . Interpréter.
À quel instant l'eau s'écoule-t-elle à 20 litres par minute ? Quel volume reste-t-il alors ?
Vérifier que le débit moyen sur toute la vidange est égal au débit instantané trouvé à la question 3.
Estimer $V(10{,}5)$ par approximation affine et comparer à la valeur exacte.

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$V(0)=0{,}5\times1\,600=800$ et $V(10)=0{,}5\times900=450$ , donc $\dfrac{450-800}{10}=-35$ . Pendant les 10 premières minutes, le réservoir perd en moyenne 35 L par minute.
$V(t)=0{,}5\,g(40-t)$ avec $g(X)=X^2$ , $a=-1$ : $V'(t)=0{,}5\times(-1)\times2(40-t)=t-40$ . $V'(10)=-30$ : à $t=10$ min, l'eau s'écoule à 30 L/min.
Un écoulement de 20 L/min signifie $V'(t)=-20$ , soit $t-40=-20$ , donc $t=20$ min. Il reste $V(20)=0{,}5\times400=200$ L.
$V(40)=0$ , donc le taux de variation entre 0 et 40 est $\dfrac{0-800}{40}=-20$ , égal à $V'(20)$ .
$V(10{,}5)\approx V(10)+0{,}5\times V'(10)=450-15=435$ L. Valeur exacte : $0{,}5\times29{,}5^2=435{,}125$ L, soit un écart de $0{,}125$ L.

Exercice 9 : Pentes des sécantes en Python

Moyen

On considère le programme incomplet suivant, pour

f(x)=x^3

def f(x):
    return x**3

def pentes(f, a, liste_h):
    resultats = []
    for h in liste_h:
        resultats.append(round(..., 6))   # ligne à compléter
    return resultats

print(pentes(f, 1, [1, 0.1, 0.01, 0.001]))

Compléter la ligne pour que la liste contienne les coefficients directeurs des sécantes entre les points d'abscisses $a$ et $a+h$ .
Montrer que, pour $h\neq0$ , $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=3+3h+h^2$ . En déduire la liste affichée.
Quelle conjecture la liste suggère-t-elle ? La confirmer avec la dérivée de $f$ .
Écrire, avec une liste en compréhension, une fonction ecarts(f, fp, xs, pas) qui renvoie, pour chaque $x$ de la liste xs, l'écart entre la pente de la sécante entre $x$ et $x+\text{pas}$ et le nombre dérivé $f'(x)$ . Donner sa sortie pour $f(x)=x^3$ , $f'(x)=3x^2$ , xs = [0, 0.5, 1, 1.5] et un pas de $0{,}5$ , puis expliquer ces valeurs.

Voir le corrigé

resultats.append(round((f(a + h) - f(a)) / h, 6))
$(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3$ , donc $\dfrac{(1+h)^3-1}{h}=\dfrac{3h+3h^2+h^3}{h}=3+3h+h^2$ . Pour $h=1$ : 7 ; $h=0{,}1$ : $3{,}31$ ; $h=0{,}01$ : $3{,}0301$ ; $h=0{,}001$ : $3{,}003001$ . Le programme affiche [7.0, 3.31, 3.0301, 3.003001].
Les pentes se rapprochent de 3 : on conjecture $f'(1)=3$ . En effet $f'(x)=3x^2$ et $f'(1)=3$ ; l'écart $3h+h^2$ tend vers 0.
Une version possible :
```
def fp(x):
    return 3 * x**2

def ecarts(f, fp, xs, pas):
    return [round((f(x + pas) - f(x)) / pas - fp(x), 6) for x in xs]

print(ecarts(f, fp, [0, 0.5, 1, 1.5], 0.5))   # [0.25, 1.0, 1.75, 2.5]
```
Le taux entre $x$ et $x+p$ vaut $\dfrac{(x+p)^3-x^3}{p}=3x^2+3xp+p^2$ , donc l'écart avec $f'(x)=3x^2$ est $3xp+p^2$ . Avec $p=0{,}5$ , il vaut $1{,}5x+0{,}25$ : 0,25 ; 1 ; 1,75 ; 2,5. Pour un pas donné, l'écart grandit avec $x$ ; pour un $x$ donné, il tend vers 0 quand le pas tend vers 0.

Niveau 3 : erreurs, cas particuliers et démonstrations

Exercice 10 : Trouver les erreurs dans une copie

Moyen

On demande la tangente à la courbe de

f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}

(sur

\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}

) au point d'abscisse 3. Un élève écrit :

$f'(x)=\dfrac{2x}{1}=2x$ , donc $f'(3)=6$ . De plus $f(3)=\dfrac92$ . La tangente est $y=f(3)(x-3)+f'(3)$ , soit $y=\dfrac92(x-3)+6$ .

Sans refaire de calcul de dérivée, montrer que la droite obtenue ne peut pas être la tangente.
Identifier les deux erreurs de l'élève.
Donner l'équation correcte de la tangente.

Voir le corrigé

La tangente passe par le point de contact $\left(3\,;\tfrac92\right)$ . Or, pour $x=3$ , la droite de l'élève donne $y=\frac92\times0+6=6\neq\frac92$ . Elle ne passe pas par ce point.
Première erreur : la dérivée d'un quotient n'est pas le quotient des dérivées. Deuxième erreur : dans l'équation, $f(a)$ et $f'(a)$ sont intervertis ; la formule est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .
Avec $u=x^2$ , $u'=2x$ , $v=x-1$ , $v'=1$ : $\begin{aligned}f'(x)&=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}\\&=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.\end{aligned}$ $f'(3)=\dfrac{9-6}{4}=\dfrac34$ , donc $y=\dfrac34(x-3)+\dfrac92=\dfrac34x+\dfrac94$ . Contrôle : pour $x=3$ , $\frac94+\frac94=\frac92$ .

Exercice 11 : Valeur absolue et point anguleux

Moyen

Soit

f(x)=|2x-6|

pour

x\in\mathbb R

Écrire $f(x)$ sans valeur absolue sur $\mathopen{]}-\infty\,;3\mathclose{[}$ et sur $[3\,;+\infty\mathclose{[}$ .
En déduire $f'(x)$ sur $\mathopen{]}-\infty\,;3\mathclose{[}$ et sur $\mathopen{]}3\,;+\infty\mathclose{[}$ .
Étudier le taux de variation de $f$ entre 3 et $3+h$ . La fonction $f$ est-elle dérivable en 3 ?

Voir le corrigé

$2x-6\geq0$ équivaut à $x\geq3$ . Donc $f(x)=2x-6$ si $x\geq3$ et $f(x)=-(2x-6)=6-2x$ si $x\lt 3$ .
Sur $\mathopen{]}-\infty\,;3\mathclose{[}$ , $f'(x)=-2$ ; sur $\mathopen{]}3\,;+\infty\mathclose{[}$ , $f'(x)=2$ .
$f(3)=0$ et $f(3+h)=|2h|=2|h|$ . Le taux vaut $\dfrac{2|h|}{h}$ : il est égal à $2$ si $h\gt 0$ et à $-2$ si $h\lt 0$ . Il ne tend pas vers un seul réel, donc $f$ n'est pas dérivable en 3. La courbe forme un « V » de sommet $(3\,;0)$ , avec deux demi-tangentes de pentes $-2$ et $2$ .

On retrouve le résultat avec

f(x)=g(2x-6)

g(X)=|X|

g

n'est pas dérivable en

X=0

, c'est-à-dire en

x=3

Exercice 12 : Racine carrée et fonction x√x en 0

Difficile

Démontrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
Soit $g(x)=x\sqrt x$ sur $[0\,;+\infty\mathclose{[}$ . Démontrer que $g$ est dérivable en 0 et donner $g'(0)$ .
Pourquoi la formule de dérivation d'un produit ne permettait-elle pas d'obtenir $g'(0)$ ? Donner l'équation de la tangente à la courbe de $g$ en l'origine.

Indication

En 0, seules les valeurs

h\gt 0

sont possibles. Écrire

h=\sqrt h\times\sqrt h

pour simplifier chaque taux.

Voir le corrigé

Pour $h\gt 0$ , $\dfrac{\sqrt h-\sqrt0}{h}=\dfrac{\sqrt h}{\sqrt h\times\sqrt h}=\dfrac1{\sqrt h}$ . Quand $h$ tend vers 0, ce quotient devient aussi grand que l'on veut (il vaut $10^n$ pour $h=10^{-2n}$ ). Il n'a pas de limite réelle : la racine carrée n'est pas dérivable en 0.
Pour $h\gt 0$ , $\dfrac{g(h)-g(0)}{h}=\dfrac{h\sqrt h}{h}=\sqrt h$ , qui tend vers 0. Donc $g$ est dérivable en 0 et $g'(0)=0$ .
La formule $(uv)'=u'v+uv'$ exige que $u$ et $v$ soient dérivables au point considéré. Ici $v=\sqrt{\ }$ ne l'est pas en 0 : la formule ne s'applique que sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ , où elle donne $g'(x)=\frac32\sqrt x$ . En 0, il fallait revenir à la définition. La tangente en l'origine a pour équation $y=0\times(x-0)+0$ , soit $y=0$ : c'est l'axe des abscisses.

Exercice 13 : Tangentes issues d’un point extérieur

Difficile

On considère la parabole

\mathcal P : y=x^2

et le point

P(1\,;-3)

, qui n'est pas sur

\mathcal P

Montrer que la tangente à $\mathcal P$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=2ax-a^2$ .
Déterminer les tangentes à $\mathcal P$ qui passent par $P$ .
Existe-t-il une tangente à $\mathcal P$ passant par $Q(1\,;2)$ ?

Indication

L'inconnue est l'abscisse

a

du point de contact : écrire que les coordonnées de

P

vérifient l'équation de la tangente.

Voir le corrigé

Avec $f(x)=x^2$ , $f(a)=a^2$ et $f'(a)=2a$ : $y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$ .
La tangente en $a$ passe par $P$ si et seulement si $-3=2a\times1-a^2$ , soit $a^2-2a-3=0$ . Racine évidente $-1$ , produit des racines $-3$ , donc $a=-1$ ou $a=3$ .
- $a=3$ : $y=6x-9$ , contact au point $(3\,;9)$ .
- $a=-1$ : $y=-2x-1$ , contact au point $(-1\,;1)$ .
Contrôle : $6-9=-3$ et $-2-1=-3$ , les deux droites passent bien par $P$ .
Il faudrait $2=2a-a^2$ , soit $a^2-2a+2=0$ . Son discriminant vaut $4-8=-4\lt 0$ : aucune solution. Aucune tangente ne passe par $Q$ , qui est « à l'intérieur » de la parabole ( $2\gt 1^2$ ).

Problème type bac : la fonction x + 4/x

Problème : tangente, position relative et minimum

Type bac

Soit

f

la fonction définie sur

\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}

par

f(x)=x+\dfrac4x

, et

\mathcal C

sa courbe.

Montrer que $f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$ .
Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal C$ au point d'abscisse 1.
Montrer que $f(x)-(-3x+8)=\dfrac{4(x-1)^2}{x}$ . En déduire la position de $\mathcal C$ par rapport à $T$ .
Donner une valeur approchée de $f(1{,}02)$ par approximation affine, puis l'erreur commise à l'aide de la question 3.
Étudier le signe de $f'$ et en déduire le minimum de $f$ . Application : parmi les rectangles d'aire 4 m², lequel a le plus petit périmètre ?
Existe-t-il des points de $\mathcal C$ où la tangente est parallèle à la droite $y=\frac34x$ ?

Indication

Pour la question 5, un rectangle d'aire 4 de côté

x

a pour autre côté

\frac4x

: son demi-périmètre est

f(x)

Voir le corrigé

$f'(x)=1+4\times\left(-\dfrac1{x^2}\right)=\dfrac{x^2-4}{x^2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$ .
$f(1)=5$ et $f'(1)=\dfrac{(-1)\times3}{1}=-3$ . $T : y=-3(x-1)+5$ , soit $y=-3x+8$ .
Au même dénominateur : $\begin{aligned}&f(x)+3x-8\\&=\frac{x^2+4+3x^2-8x}{x}\\&=\frac{4x^2-8x+4}{x}\\&=\frac{4(x-1)^2}{x}.\end{aligned}$ Sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ , $x\gt 0$ et $(x-1)^2\geq0$ , donc cette différence est positive ou nulle. $\mathcal C$ est au-dessus de $T$ , et ne la touche qu'au point d'abscisse 1.
$f(1{,}02)\approx f(1)+0{,}02\times f'(1)=5-0{,}06=4{,}94$ . La valeur approchée est l'ordonnée sur $T$ , donc l'erreur est $\dfrac{4\times0{,}02^2}{1{,}02}=\dfrac{0{,}0016}{1{,}02}\approx0{,}0016$ : $f(1{,}02)\approx4{,}9416$ .
Sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$ , $x+2\gt 0$ et $x^2\gt 0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $x-2$ .
$x$ $0$ $2$ $+\infty$
$f'(x)$ $\Vert$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\Vert$ $\searrow$ $4$ $\nearrow$
Le minimum de $f$ est $f(2)=2+2=4$ . Un rectangle d'aire 4 m² de côtés $x$ et $\frac4x$ a pour périmètre $2f(x)\geq8$ : le périmètre minimal, 8 m, est obtenu pour $x=2$ , c'est-à-dire pour le carré de côté 2 m.
On résout $f'(x)=\frac34$ : $1-\dfrac4{x^2}=\dfrac34$ équivaut à $\dfrac4{x^2}=\dfrac14$ , soit $x^2=16$ , et $x=4$ car $x\gt 0$ . Avec $f(4)=5$ , la tangente est $y=\frac34(x-4)+5=\frac34x+2$ . Il y a un seul point : $(4\,;5)$ .

Pages liées

Le cours de dérivation en Première : définitions, démonstrations et erreurs fréquentes.
Exercices de variations et d'optimisation, la suite naturelle de ce chapitre.
Calcul de dérivées : exercices corrigés, pour plus d'entraînement technique.

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\Vert$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$