Dérivation et tangente Première : 7 exercices corrigés

Le nombre dérivé est d'abord retrouvé par un taux d'accroissement, puis utilisé comme pente d'une tangente. Les exercices distinguent calcul en un point, équation de droite et recherche d'une tangente parallèle à une direction imposée.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Dérivation et tangente. La définition et les cas limites sont approfondis dans la dérivabilité.

Bases de Dérivation et tangente : Taux de variation exact

Exercice 1 : Taux de variation exact

Facile

Pour f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x, calculer le taux de variation entre 2 et 2+h2+h.

  1. Écrire le quotient.
  2. Simplifier pour h≠0h\neq0.
  3. Passer à la limite lorsque hh tend vers 0.
Indication
Développer f(2+h)f(2+h) avant de diviser par hh.
Voir le corrigé
  1. Le taux de variation entre 2 et 2+h2+h est f(2+h)−f(2)h\frac{f(2+h)-f(2)}{h}, avec h≠0h\neq0.
  2. On a f(2)=−2f(2)=-2 et f(2+h)=−2+h+h2f(2+h)=-2+h+h^2. Le quotient devient h+h2h=1+h\frac{h+h^2}{h}=1+h.
  3. Lorsque hh tend vers 0, 1+h1+h tend vers 1. Ainsi f′(2)=1f'(2)=1.

Exercice 2 : Équation d’une tangente

Moyen

Soit g(x)=x3−2x+1g(x)=x^3-2x+1. Déterminer la tangente au point d'abscisse 1.

  1. Calculer g(1)g(1).
  2. Calculer g′(1)g'(1).
  3. Écrire l'équation de la tangente.
Indication
Utiliser y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).
Voir le corrigé
  1. g(1)=1−2+1=0g(1)=1-2+1=0.
  2. g′(x)=3x2−2g'(x)=3x^2-2, donc g′(1)=1g'(1)=1.
  3. La tangente en x=1x=1 est y=g′(1)(x−1)+g(1)=x−1y=g'(1)(x-1)+g(1)=x-1.

Choisir une méthode : Déterminer la tangente à une parabole

Exercice 3 : Déterminer la tangente à une parabole

Moyen

Pour f(x)=x2−3x+1f(x)=x^2-3x+1, on cherche la tangente au point d'abscisse 2.

  1. Calculer la fonction dérivée.
  2. Déterminer le point de contact et le nombre dérivé en 2.
  3. Écrire puis réduire l'équation de la tangente.
  4. Vérifier que la droite passe par le point de contact.
Indication
Identifier le domaine et la forme de la fonction.
Voir le corrigé
  1. La dérivée est f′(x)=2x−3f'(x)=2x-3.
  2. f(2)=4−6+1=−1f(2)=4-6+1=-1 et f′(2)=1f'(2)=1.
  3. La tangente est y=−1+1(x−2)y=-1+1(x-2). Après réduction, y=x−3y=x-3.
  4. Pour x=2x=2, la droite donne bien y=−1y=-1 et passe par le point de contact.

Exercice 4 : Tangente de pente imposée sur une parabole

Difficile

On considère f(x)=x2+4x−1f(x)=x^2+4x-1. Chercher les tangentes parallèles à y=6x+2y=6x+2.

  1. Traduire le parallélisme par une équation sur f'.
  2. Déterminer l'abscisse du point de contact.
  3. Calculer le point.
  4. Écrire l'équation de la tangente.
Indication
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Voir le corrigé
  1. Une tangente parallèle à y=6x+2y=6x+2 doit avoir pour pente 6. On résout donc f′(x)=6f'(x)=6.
  2. Comme f′(x)=2x+4f'(x)=2x+4, 2x+4=62x+4=6 donne x=1x=1.
  3. Le point de contact est (1;f(1))=(1;4)(1;f(1))=(1;4).
  4. La tangente est y=6(x−1)+4=6x−2y=6(x-1)+4=6x-2. Sa pente est bien 6.

Exercice 5 : Nombre dérivé par un taux d’accroissement

Difficile

Soit f(x)=3x2−2xf(x)=3x^2-2x. Calculer f′(1)f'(1) à partir de la définition.

  1. Former f(1+h)−f(1)h\frac{f(1+h)-f(1)}h.
  2. Simplifier pour h non nul.
  3. Passer à la limite et interpréter le résultat.
Indication
Développer f(1+h)f(1+h) avant de soustraire f(1)f(1).
Voir le corrigé
  1. f(1)=1f(1)=1 et f(1+h)=1+4h+3h2f(1+h)=1+4h+3h^2, donc le quotient vaut 4h+3h2h\frac{4h+3h^2}{h}.
  2. Pour h≠0h\neq0, il se simplifie en 4+3h4+3h.
  3. Lorsque hh tend vers 0, le quotient tend vers 4. Ainsi f′(1)=4f'(1)=4, coefficient directeur de la tangente en abscisse 1.

Approfondir Dérivation et tangente : Deux tangentes de même direction sur une cubique

Exercice 6 : Dériver la fonction carré par la définition

Difficile

On veut calculer le nombre dérivé de la fonction carré en un réel aa directement à partir du taux d'accroissement.

  1. Écrire le quotient (a+h)2−a2h\frac{(a+h)^2-a^2}{h} pour h≠0h\neq0.
  2. Développer puis simplifier ce quotient.
  3. Passer à la limite lorsque hh tend vers zéro.
Indication
Développer (a+h)2(a+h)^2 avant de simplifier par hh.
Voir le corrigé
  1. Le quotient demandé est (a+h)2−a2h\frac{(a+h)^2-a^2}{h}.
  2. Le numérateur vaut 2ah+h22ah+h^2. Pour h≠0h\neq0, le quotient se simplifie en 2a+h2a+h.
  3. Lorsque hh tend vers 0, 2a+h2a+h tend vers 2a2a. La dérivée de la fonction carré en aa vaut donc 2a2a.

Exercice 7 : Deux tangentes de même direction sur une cubique

Difficile

Pour g(x)=x3−3xg(x)=x^3-3x, chercher les points où la tangente est parallèle à la droite y=9x+2y=9x+2.

  1. Traduire le parallélisme avec la dérivée.
  2. Déterminer les abscisses puis les points.
  3. Écrire les deux équations de tangente.
Indication
Résoudre d'abord g′(x)=9g'(x)=9, puis construire une tangente pour chaque abscisse obtenue.
Voir le corrigé
  1. g′(x)=3x2−3g'(x)=3x^2-3. Il faut g′(x)=9g'(x)=9.
  2. 3x2−3=93x^2-3=9 donne x=±2x=\pm2. Les points sont (2;2)(2;2) et (−2;−2)(-2;-2).
  3. Les tangentes sont y=9(x−2)+2=9x−16y=9(x-2)+2=9x-16 et y=9(x+2)−2=9x+16y=9(x+2)-2=9x+16.
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