Carrés, cubes et puissances 5ème : 10 exercices

Ces exercices corrigés sur les carrés, les cubes et les puissances en 5ème apprennent à lire $a^n$ , à relier une multiplication répétée à une écriture compacte et à calculer les valeurs usuelles. Le cours sur les carrés, cubes et puissances fournit les définitions et les repères nécessaires.

La série accorde autant d’importance au sens qu’au résultat : elle distingue $3^2$ de $3\times2$ , fait verbaliser les parenthèses et relie $c^2$ à une aire, $c^3$ à un volume. Elle prolonge les habitudes de calcul du programme de mathématiques de 5ème et le travail sur les priorités opératoires.

Table des Matières

Lire et écrire une puissance

L’exposant indique le nombre de facteurs identiques. Une puissance n’est ni une multiplication par l’exposant ni un simple ajout décoratif au nombre de départ.

Exercice 1 : Du produit à la notation

Facile

Écrire chaque produit sous la forme d’une puissance, puis nommer la base et l’exposant.

$7\times7$
$4\times4\times4$
$10\times10\times10\times10$
$a\times a\times a$

Indication

La base est le facteur répété ; l’exposant compte combien de fois il apparaît.

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$7\times7=7^2$ : base $7$ , exposant $2$ .
$4\times4\times4=4^3$ : base $4$ , exposant $3$ .
Le produit de quatre facteurs $10$ vaut $10^4$ .
$a\times a\times a=a^3$ : la lettre $a$ est la base.

L’exposant compte les facteurs ; il ne signifie pas que l’on multiplie la base par ce nombre.

Exercice 2 : Lire sans ambiguïté

Facile

Traduire chaque écriture par une phrase et un produit.

$9^2$
$5^3$
$(-2)^2$

Indication

Lisez « neuf au carré », « cinq au cube » et observez que les parenthèses incluent le signe négatif dans la base.

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$9^2$ se lit « neuf au carré » et vaut $9\times9$ . $5^3$ se lit « cinq au cube » et vaut $5\times5\times5$ . $(-2)^2$ est le carré de $-2$ : $(-2)\times(-2)$ . Les parenthèses montrent que la base entière est $-2$ , pas seulement $2$ .

Exercice 3 : Une affirmation trompeuse

Moyen

Un élève écrit : « $6^3=6\times3$ , car l’exposant indique combien de fois on multiplie. »

Corriger son raisonnement et calculer $6^3$ .

Indication

L’exposant indique le nombre de facteurs égaux à la base, pas le second facteur d’un produit.

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La phrase doit être reformulée : l’exposant $3$ indique que le facteur $6$ apparaît trois fois. Ainsi $6^3=6\times6\times6=36\times6=216$ . Le calcul $6\times3=18$ ne représente aucune puissance de base $6$ . La première erreur se trouve donc dans la traduction, avant même le calcul.

Calculer carrés et cubes usuels

Les carrés de $0$ à $12$ constituent des repères utiles. Les cubes simples se construisent par deux multiplications successives, sans formule supplémentaire.

Exercice 4 : La chaîne des carrés

Facile

Compléter la suite de valeurs sans calculatrice.

Calculer $0^2$ , $1^2$ , $2^2$ , $3^2$ et $4^2$ .
Calculer $5^2$ , $6^2$ , $7^2$ et $8^2$ .
Calculer $9^2$ , $10^2$ , $11^2$ et $12^2$ .
Expliquer pourquoi deux carrés consécutifs augmentent de nombres impairs.
Utiliser ce constat pour retrouver $13^2$ à partir de $12^2$ .

Indication

Observez par exemple $6^2-5^2=11$ . Les écarts successifs sont $1,3,5,7,\ldots$ .

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Les valeurs sont $0,1,4,9,16$ .
On obtient $25,36,49,64$ .
On obtient $81,100,121,144$ .
$(n+1)^2-n^2$ se voit géométriquement en ajoutant une bordure de $2n+1$ carreaux à un carré de côté $n$ . Les écarts sont donc impairs.
L’impair suivant $144$ est $25$ , donc $13^2=144+25=169$ .

Exercice 5 : Calculer des cubes

Moyen

Calculer en écrivant au moins une multiplication intermédiaire.

$2^3$
$4^3$
$5^3$
$10^3$

Indication

Calculez d’abord le carré de la base, puis multipliez encore une fois par cette base.

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$2^3=2\times2\times2=8$ . $4^3=16\times4=64$ . $5^3=25\times5=125$ . $10^3=100\times10=1\,000$ . Chaque résultat vient de trois facteurs identiques ; écrire l’étape intermédiaire permet de distinguer le cube du triple.

Exercice 6 : Retrouver la base

Moyen

Chaque valeur est le carré ou le cube d’un entier positif. Retrouver cet entier.

$\square^2=81$
$\square^3=125$

Indication

Utilisez la liste des carrés usuels et testez les petits cubes.

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Comme $9\times9=81$ , la première base positive est $9$ . Comme $5\times5\times5=125$ , la seconde base est $5$ . La consigne impose un entier positif ; sans cette précision, $(-9)^2=81$ fournirait aussi une base possible pour le carré.

Respecter les priorités et les parenthèses

Une puissance se calcule avant les multiplications, additions et soustractions qui l’entourent. Les parenthèses peuvent toutefois changer la base et donc toute la valeur.

Exercice 7 : Expressions proches, résultats différents

Moyen

Calculer chaque expression en détaillant l’ordre des opérations.

$3+2^2$
$(3+2)^2$
$3\times2^2$
$(3\times2)^2$

Indication

Repérez la base de chaque carré avant d’effectuer l’addition ou la multiplication extérieure.

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$3+2^2=3+4=7$ .
$(3+2)^2=5^2=25$ .
$3\times2^2=3\times4=12$ .
$(3\times2)^2=6^2=36$ .

Les parenthèses agrandissent la base de la puissance. Elles ne peuvent donc pas être supprimées sans justification.

Exercice 8 : Placer des parenthèses

Difficile

On part des symboles $2+3^2$ . Ajouter des parenthèses, sans changer l’ordre des nombres, pour obtenir une valeur différente de $11$ .

Proposer une écriture et calculer sa valeur.
Expliquer pourquoi il n’existe que deux interprétations essentielles avec ces symboles.
Comparer les deux résultats.

Indication

Les parenthèses peuvent faire de $2+3$ la base du carré.

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Sans parenthèses, $2+3^2=2+9=11$ . En écrivant $(2+3)^2$ , la base devient $5$ , donc la valeur est $25$ . Les deux structures essentielles sont « ajouter $2$ au carré de $3$ » et « élever au carré la somme de $2$ et $3$ ». Leur écart vaut $25-11=14$ . Des parenthèses autour de $3$ seul ne changeraient rien.

Relier les puissances à des formules

Le carré apparaît naturellement dans une aire et le cube dans un volume. La notation compacte prend alors un sens géométrique, et les unités changent elles aussi.

Exercice 9 : Aire, volume et unités

Moyen

Un carré a pour côté $7$ cm. Un cube a pour arête $4$ cm.

Écrire puis calculer l’aire du carré.
Écrire puis calculer le volume du cube.
Expliquer pourquoi les unités sont $\text{cm}^2$ et $\text{cm}^3$ .
Que devient l’aire si le côté du carré passe de $7$ cm à $14$ cm ?

Indication

Utilisez $A=c^2$ et $V=c^3$ . Pour la dernière question, comparez $14^2$ à $7^2$ .

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$A=7^2=49\ \text{cm}^2$ .
$V=4^3=64\ \text{cm}^3$ .
L’aire compte des carrés-unités, donc deux dimensions ; le volume compte des cubes-unités, donc trois dimensions.
La nouvelle aire vaut $14^2=196\ \text{cm}^2$ , soit $4\times49$ . Doubler le côté multiplie l’aire par $2^2=4$ .

Exercice 10 : Évaluer une formule littérale

Difficile

On définit $P=2a^2+3b$ . Calculer $P$ pour $a=4$ et $b=5$ .

Écrire la substitution complète avant de calculer.
Calculer la valeur de $P$ .

Indication

Remplacez les lettres en gardant les puissances visibles, puis respectez l’ordre : carré, multiplications, addition.

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La substitution donne $P=2\times4^2+3\times5$ . On calcule d’abord $4^2=16$ , puis $2\times16=32$ et $3\times5=15$ . Ainsi $P=32+15=47$ . Écrire $2\times4^2$ avant de calculer évite de confondre $2a^2$ avec $(2a)^2$ , qui vaudrait $64$ .