Calcul littéral 3ème : 13 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de calcul littéral en 3ème font travailler la traduction, la substitution et le choix entre forme développée ou factorisée. Le cours de calcul littéral présente une méthode de vérification à chaque étape.

Les calculs avec exposants réutilisent les règles sur les puissances. Les trois exercices de synthèse demandent de prouver ou de réfuter, afin de ne pas réduire l'algèbre à des automatismes.

Traduire une situation et substituer une valeur

Une lettre représente un nombre. Avant de calculer, les parenthèses conservent le signe de la valeur remplacée et la structure de l'expression.

Exercice 1 : Du texte à l’expression littérale

Facile

On choisit un nombre xx. Traduire les expressions suivantes : son triple diminué de 55 ; le carré de sa somme avec 44 ; le produit de son opposé par x−2x-2.

  1. Écrire les trois expressions.
  2. Calculer chacune pour x=−1x=-1.
Indication

Le carré de la somme impose des parenthèses. L'opposé de xx s'écrit −x-x.

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  1. Les expressions sont 3x−53x-5, (x+4)2(x+4)^2 et (−x)(x−2)(-x)(x-2).
  2. Pour x=−1x=-1, elles valent respectivement −8-8, 99 et −3-3.

Exercice 2 : Substitution avec un nombre négatif

Moyen

On pose A=2x2−3x+1A=2x^2-3x+1 et B=(2x−3)(x+1)B=(2x-3)(x+1). Calculer AA et BB pour x=−2x=-2.

  1. Remplacer xx par −2-2 en conservant les parenthèses.
  2. Comparer les deux résultats.
  3. Dire si cette comparaison prouve que A=BA=B pour tout xx.
Indication

Écrivez (−2)2(-2)^2, et non −22-2^2.

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  1. A=2(−2)2−3(−2)+1=8+6+1=15A=2(-2)^2-3(-2)+1=8+6+1=15 et B=(−7)(−1)=7B=(-7)(-1)=7.
  2. Pour x=−2x=-2, les résultats sont différents.
  3. Cette valeur suffit à prouver que les expressions ne sont pas identiques. À l'inverse, une seule égalité numérique n'aurait pas suffi à prouver une identité.

Exercice 3 : Périmètre en fonction de xx

Moyen

Un triangle a pour côtés x+3x+3, 2x−12x-1 et 3x+23x+2, exprimés en centimètres.

  1. Exprimer puis réduire son périmètre.
  2. Le calculer pour x=4x=4.
  3. Vérifier si ces trois longueurs peuvent former un triangle non aplati.
Indication

Le périmètre est la somme des trois côtés, sans multiplier par 22.

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  1. P=(x+3)+(2x−1)+(3x+2)=6x+4P=(x+3)+(2x-1)+(3x+2)=6x+4.
  2. Pour x=4x=4, P=28P=28 cm.
  3. Les côtés valent 77, 77 et 1414 cm. Comme 7+7=147+7=14, l'inégalité triangulaire n'est pas stricte : ces longueurs forment une figure aplatie, pas un triangle non dégénéré.

Réduire et développer sans perdre les signes

Réduire consiste à regrouper les termes de même nature. Développer transforme un produit en somme en appliquant la distributivité à chaque terme.

Exercice 4 : Regrouper les termes semblables

Facile

Réduire C=7x2−3x+5−2x2+8x−11C=7x^2-3x+5-2x^2+8x-11.

  1. Regrouper séparément les termes en x2x^2, en xx et les constantes.
  2. Donner la forme réduite.
Indication

On ne peut pas additionner un terme en x2x^2 avec un terme en xx.

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  1. Les coefficients donnent (7−2)x2+(−3+8)x+(5−11)(7-2)x^2+(-3+8)x+(5-11).
  2. Ainsi C=5x2+5x−6C=5x^2+5x-6.

Exercice 5 : Simple distributivité avec soustraction

Moyen

Développer et réduire D=5(2x−3)−4(1−3x)D=5(2x-3)-4(1-3x).

  1. Développer chaque produit.
  2. Réduire l'expression.
  3. Vérifier pour x=0x=0 dans les deux formes.
Indication

Le signe moins devant 4(1−3x)4(1-3x) agit sur les deux termes du produit.

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  1. D=10x−15−4+12xD=10x-15-4+12x.
  2. Donc D=22x−19D=22x-19.
  3. Pour x=0x=0, la forme initiale donne −15−4=−19-15-4=-19, comme la forme réduite.

Exercice 6 : Double distributivité

Moyen

Développer et réduire E=(3x−2)(2x+5)E=(3x-2)(2x+5).

  1. Écrire les quatre produits.
  2. Réduire le résultat.
Indication

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

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  1. E=6x2+15x−4x−10E=6x^2+15x-4x-10.
  2. Après réduction, E=6x2+11x−10E=6x^2+11x-10.

Exercice 7 : Développer un carré sans oublier le terme double

Difficile

Développer F=(2x−3)2−(x+1)(4x−5)F=(2x-3)^2-(x+1)(4x-5).

  1. Développer le carré (2x−3)2(2x-3)^2.
  2. Développer le second produit.
  3. Soustraire puis réduire.
  4. Contrôler le résultat pour x=1x=1.
Indication

Utilisez (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2, puis distribuez le signe moins au second développement.

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  1. (2x−3)2=4x2−12x+9(2x-3)^2=4x^2-12x+9.
  2. (x+1)(4x−5)=4x2−x−5(x+1)(4x-5)=4x^2-x-5.
  3. F=4x2−12x+9−(4x2−x−5)=−11x+14F=4x^2-12x+9-(4x^2-x-5)=-11x+14.
  4. Pour x=1x=1, la forme initiale vaut 1−(−2)=31-(-2)=3, et −11+14=3-11+14=3.

Factoriser et choisir la forme utile

La forme factorisée révèle un produit ou un facteur commun. La forme développée facilite souvent une comparaison ou le calcul d'une somme.

Exercice 8 : Extraire un facteur commun

Facile

Factoriser G=15x2−20xG=15x^2-20x, puis H=7x(x−3)+5(x−3)H=7x(x-3)+5(x-3).

  1. Trouver le facteur commun maximal de GG.
  2. Repérer la parenthèse commune dans HH.
  3. Écrire les deux formes factorisées.
Indication

Dans GG, le nombre 55 et la lettre xx sont communs. Dans HH, considérez (x−3)(x-3) comme un seul facteur.

Voir le corrigé
  1. Le facteur commun maximal de GG est 5x5x.
  2. Le facteur commun de HH est x−3x-3.
  3. G=5x(3x−4)G=5x(3x-4) et H=(x−3)(7x+5)H=(x-3)(7x+5).

Exercice 9 : Reconnaître une différence de deux carrés

Moyen

On donne I=(3x−4)2−25I=(3x-4)^2-25.

  1. Identifier les deux carrés.
  2. Factoriser avec a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b).
  3. Développer la réponse pour contrôler l'égalité.
Indication

Écrivez 25=5225=5^2 avant d'appliquer l'identité.

Voir le corrigé
  1. Les deux carrés sont (3x−4)2(3x-4)^2 et 525^2.
  2. I=(3x−9)(3x+1)I=(3x-9)(3x+1).
  3. Le produit développé vaut 9x2−24x−99x^2-24x-9. La forme initiale donne aussi 9x2−24x+16−25=9x2−24x−99x^2-24x+16-25=9x^2-24x-9.

Exercice 10 : Choisir entre trois formes équivalentes

Difficile

Une même expression est donnée sous trois formes : J=(x+3)2−(x+3)(x−1)J=(x+3)^2-(x+3)(x-1), J=4(x+3)J=4(x+3) et J=4x+12J=4x+12.

  1. Justifier l'égalité entre les trois formes.
  2. Choisir la forme la plus rapide pour calculer JJ lorsque x=97x=97.
  3. Choisir la forme qui permet de repérer immédiatement une valeur de xx donnant J=0J=0.
  4. Indiquer la forme la plus pratique pour comparer JJ à 2020.
Indication

Factorisez d'abord la forme initiale par x+3x+3. Chaque forme répond plus directement à une question différente.

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  1. J=(x+3)[(x+3)−(x−1)]=4(x+3)=4x+12J=(x+3)[(x+3)-(x-1)]=4(x+3)=4x+12.
  2. Pour x=97x=97, 4(x+3)=4×100=4004(x+3)=4\times100=400 est le calcul le plus court.
  3. La forme factorisée donne immédiatement x=−3x=-3.
  4. La forme réduite 4x+124x+12 permet de résoudre directement 4x+12=204x+12=20.

Démontrer, réfuter et modéliser

Une identité doit être vraie pour toutes les valeurs admises. Un contre-exemple suffit à réfuter une affirmation, tandis qu'une preuve générale demande une transformation exacte.

Exercice 11 : Repérer une erreur de signe

Moyen

Un élève développe K=−(2x−5)(x+3)K=-(2x-5)(x+3) et obtient −2x2+x−15-2x^2+x-15.

  1. Développer d'abord le produit sans le signe extérieur.
  2. Appliquer ensuite l'opposé.
  3. Identifier précisément l'erreur de l'élève.
Indication

Le signe moins extérieur doit changer le signe de chacun des quatre termes du développement.

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  1. (2x−5)(x+3)=2x2+6x−5x−15=2x2+x−15(2x-5)(x+3)=2x^2+6x-5x-15=2x^2+x-15.
  2. Donc K=−2x2−x+15K=-2x^2-x+15.
  3. L'élève a changé le signe du terme en x2x^2, mais pas ceux de xx et de la constante.

Exercice 12 : Produit de deux entiers consécutifs

Difficile

Soit nn un entier. On compare (n+1)2−n2(n+1)^2-n^2 et 2n+12n+1.

  1. Développer la première expression.
  2. Prouver l'identité annoncée.
  3. En déduire que la différence de deux carrés consécutifs est toujours impaire.
  4. Illustrer avec deux carrés consécutifs au choix.
Indication

Après développement, les termes en n2n^2 doivent disparaître.

Voir le corrigé
  1. (n+1)2−n2=n2+2n+1−n2(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2.
  2. La différence se réduit à 2n+12n+1, donc l'identité est vraie pour tout entier nn.
  3. Un nombre de la forme 2n+12n+1 est impair.
  4. Par exemple, 62−52=36−25=11=2×5+16^2-5^2=36-25=11=2\times5+1.

Exercice 13 : Deux tarifs à comparer

Difficile

Une salle propose le tarif A : 1818 euros d'abonnement puis 44 euros par séance. Le tarif B coûte 77 euros par séance sans abonnement. On note xx le nombre de séances.

  1. Exprimer les deux coûts en fonction de xx.
  2. Calculer les coûts pour x=5x=5 puis x=10x=10.
  3. Déterminer à partir de combien de séances le tarif A devient strictement moins cher.
  4. Interpréter le résultat dans le contexte.
Indication

Comparez 18+4x18+4x et 7x7x. Le nombre de séances est un entier naturel.

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  1. A(x)=18+4xA(x)=18+4x et B(x)=7xB(x)=7x.
  2. Pour 55 séances, les coûts sont 3838 et 3535 euros. Pour 1010, ils sont 5858 et 7070 euros.
  3. 18+4x<7x18+4x\lt7x équivaut à 18<3x18\lt3x, donc x>6x\gt6.
  4. Comme xx est entier, le tarif A devient strictement plus avantageux à partir de 77 séances.
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