Arithmétique 3ème : 13 exercices corrigés

Ces exercices corrigés d'arithmétique en 3ème entraînent les critères de divisibilité, la décomposition en facteurs premiers et la simplification de fractions. Le cours d'arithmétique de 3ème fixe les méthodes et le vocabulaire.

La série mêle calcul direct, justification et problèmes de groupements. Une révision sur les nombres premiers permet de retrouver rapidement les facteurs utiles sans remplacer le raisonnement.

Justifier une divisibilité

Un critère permet de tester un entier écrit en chiffres ; une factorisation ou une identité permet de démontrer une propriété pour toute une famille d'entiers.

Exercice 1 : Deux chiffres à retrouver

Moyen

On considère le nombre N=4a7bN=4a7b, où aa et bb sont des chiffres. On veut que NN soit divisible par 44, 55 et 99.

  1. Utiliser les critères de 44 et de 55 pour déterminer bb.
  2. Décider s'il reste nécessaire d'utiliser le critère de 99 pour chercher aa.
  3. Donner tous les nombres possibles et vérifier.
Indication

La divisibilité par 55 impose b=0b=0 ou 55, puis les deux derniers chiffres doivent former un multiple de 44.

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  1. Si b=0b=0, les deux derniers chiffres donnent 7070, non divisible par 44. Si b=5b=5, 7575 ne l'est pas davantage.
  2. Aucune valeur de bb ne satisfait simultanément les critères de 44 et 55, donc il n'existe aucun chiffre aa à chercher.
  3. Aucun nombre de la forme 4a7b4a7b ne convient. Ce constat évite d'appliquer inutilement le critère de 99.

Exercice 2 : Somme de trois entiers consécutifs

Moyen

Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 33.

  1. Écrire les trois entiers à partir de nn.
  2. Factoriser leur somme.
  3. Conclure pour tout entier nn.
  4. Vérifier avec trois entiers consécutifs négatifs.
Indication

Les trois entiers peuvent s'écrire n−1n-1, nn et n+1n+1.

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  1. On choisit n−1,n,n+1n-1,n,n+1.
  2. Leur somme vaut (n−1)+n+(n+1)=3n(n-1)+n+(n+1)=3n.
  3. Comme 3n3n est un multiple de 33, la propriété est vraie pour tout entier.
  4. Par exemple, −5−4−3=−12-5-4-3=-12, divisible par 33.

Exercice 3 : Reste d’une expression

Difficile

Un entier nn laisse le reste 44 dans la division par 77. Un élève écrit n=7q+4n=7q+4, puis 3n+5=21q+123n+5=21q+12, et annonce le reste 55.

  1. Écrire n=7q+4n=7q+4.
  2. Identifier le terme oublié dans le développement de l'élève.
  3. Effectuer correctement la division euclidienne de 3n+53n+5.
  4. Donner le reste cherché et le vérifier sur un exemple.
Indication

Après substitution, séparez un multiple de 77 et un reste strictement inférieur à 77.

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  1. On a bien n=7q+4n=7q+4 pour un entier qq.
  2. L'élève a développé 3n3n, mais il a oublié le terme +5+5 : 3n+5=21q+12+53n+5=21q+12+5.
  3. Le calcul correct donne 21q+17=7(3q+2)+321q+17=7(3q+2)+3.
  4. Le reste est 33. Par exemple, n=11n=11 donne 3n+5=38=7×5+33n+5=38=7\times5+3.

Décomposer en facteurs premiers

Une décomposition complète facilite les tests de primalité, les carrés parfaits et la recherche de facteurs communs. Les exposants permettent de lire rapidement les diviseurs.

Exercice 4 : Tester la primalité de trois nombres

Facile

Déterminer si 137137, 187187 et 221221 sont premiers.

  1. Lister les diviseurs premiers à tester pour 137137.
  2. Étudier 187187.
  3. Étudier 221221.
Indication

Il suffit de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à la racine carrée du nombre étudié.

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  1. Comme 137<12\sqrt{137}\lt12, on teste 2,3,5,7,112,3,5,7,11. Aucun ne divise 137137, qui est premier.
  2. 187=11×17187=11\times17, donc il est composé.
  3. 221=13×17221=13\times17, donc il est composé.

Exercice 5 : Décompositions et nombre de diviseurs

Moyen

Décomposer 756756 et 1 2601\,260 en facteurs premiers.

  1. Décomposer les deux nombres.
  2. Calculer leur plus grand diviseur commun.
  3. Calculer leur plus petit multiple commun.
  4. Vérifier la relation PGCD⁡(a,b)×PPCM⁡(a,b)=ab\operatorname{PGCD}(a,b)\times\operatorname{PPCM}(a,b)=ab.
Indication

Pour le PGCD, gardez les exposants minimaux ; pour le PPCM, les exposants maximaux.

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  1. 756=22×33×7756=2^2\times3^3\times7 et 1 260=22×32×5×71\,260=2^2\times3^2\times5\times7.
  2. Le PGCD vaut 22×32×7=2522^2\times3^2\times7=252.
  3. Le PPCM vaut 22×33×5×7=3 7802^2\times3^3\times5\times7=3\,780.
  4. 252×3 780=952 560252\times3\,780=952\,560, et 756×1 260=952 560756\times1\,260=952\,560.

Exercice 6 : Compléter pour obtenir un carré parfait

Moyen

On donne A=25×32×73A=2^5\times3^2\times7^3.

  1. Dire pourquoi AA n'est pas un carré parfait.
  2. Trouver le plus petit entier par lequel multiplier AA pour obtenir un carré.
  3. Trouver le plus grand carré parfait qui divise AA.
Indication

Dans un carré parfait, tous les exposants de la décomposition sont pairs.

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  1. Les exposants 55 de 22 et 33 de 77 sont impairs.
  2. Il faut multiplier par 2×7=142\times7=14, donnant 26×32×742^6\times3^2\times7^4.
  3. Le plus grand carré divisant AA est 24×32×72=(22×3×7)2=8422^4\times3^2\times7^2=(2^2\times3\times7)^2=84^2.

Rendre une fraction irréductible

Les facteurs premiers communs se simplifient une seule fois sous forme de produit. Une preuve d'irréductibilité doit montrer qu'aucun facteur premier ne reste commun.

Exercice 7 : Trois fractions à simplifier

Facile

Rendre irréductibles 7561 260\dfrac{756}{1\,260}, 9351 445\dfrac{935}{1\,445} et 2 0791 386\dfrac{2\,079}{1\,386}.

  1. Simplifier la première à l'aide du PGCD.
  2. Décomposer puis simplifier la deuxième.
  3. Simplifier la troisième et contrôler l'irréductibilité.
Indication

La première utilise le PGCD 252252. Pour les suivantes, testez d'abord les petits facteurs premiers.

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  1. 756/1 260=3/5756/1\,260=3/5.
  2. 935=5×11×17935=5\times11\times17 et 1 445=5×1721\,445=5\times17^2, donc la fraction devient 11/1711/17.
  3. 2 079=33×7×112\,079=3^3\times7\times11 et 1 386=2×32×7×111\,386=2\times3^2\times7\times11, donc la fraction devient 3/23/2, irréductible.

Exercice 8 : Simplifier avant de multiplier

Moyen

Calculer B=154225×405308B=\dfrac{154}{225}\times\dfrac{405}{308} sous forme irréductible.

  1. Décomposer les quatre entiers et simplifier les facteurs communs avant de multiplier.
  2. Donner le résultat final et le contrôler par une écriture décimale.
Indication

On a 154=2×7×11154=2\times7\times11 et 308=22×7×11308=2^2\times7\times11.

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  1. 154=2×7×11154=2\times7\times11, 225=32×52225=3^2\times5^2, 405=34×5405=3^4\times5, 308=22×7×11308=2^2\times7\times11. Après simplification, il reste 322×5\dfrac{3^2}{2\times5}.
  2. B=9/10=0,9B=9/10=0{,}9, valeur cohérente avec le produit initial.

Exercice 9 : Une fraction dépendant d’un entier

Difficile

Pour un entier naturel nn, on considère F=6n+94n+6F=\dfrac{6n+9}{4n+6}.

  1. Factoriser numérateur et dénominateur.
  2. Simplifier FF lorsque cela est possible.
  3. Préciser la condition sur nn garantissant un dénominateur non nul.
  4. Conclure sur la valeur de FF pour tout entier naturel.
Indication

Les deux expressions contiennent le facteur 2n+32n+3.

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  1. 6n+9=3(2n+3)6n+9=3(2n+3) et 4n+6=2(2n+3)4n+6=2(2n+3).
  2. F=3/2F=3/2 si 2n+3≠02n+3\ne0.
  3. Pour un entier naturel, 2n+3⩾32n+3\geqslant3, donc le dénominateur n'est jamais nul.
  4. Ainsi F=3/2F=3/2 pour tout entier naturel nn.

Résoudre des problèmes de groupement et de périodicité

Le PGCD maximise une taille commune sans reste. Le PPCM cherche le premier instant ou la première quantité où plusieurs cycles se retrouvent.

Exercice 10 : Équipes identiques avec deux effectifs

Moyen

Un tournoi réunit 168168 joueuses et 252252 joueurs. On veut former le plus grand nombre d'équipes ayant toutes la même composition et utilisant tout le monde.

  1. Calculer le nombre maximal d'équipes.
  2. Donner la composition d'une équipe.
  3. Vérifier les effectifs reconstruits.
Indication

Le nombre d'équipes doit diviser les deux effectifs.

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  1. PGCD⁡(168,252)=84\operatorname{PGCD}(168,252)=84, donc on forme 8484 équipes.
  2. Chaque équipe compte 168/84=2168/84=2 joueuses et 252/84=3252/84=3 joueurs.
  3. 84×2=16884\times2=168 et 84×3=25284\times3=252.

Exercice 11 : Trois signaux périodiques

Moyen

Trois balises clignotent toutes les 1818, 2424 et 3030 secondes. Elles s'allument ensemble à 1414 h 0000 min 0000 s.

  1. Décomposer les trois périodes.
  2. Calculer leur PPCM.
  3. Donner l'heure de la prochaine coïncidence.
Indication

Le prochain instant commun est le plus petit multiple positif des trois périodes.

Voir le corrigé
  1. 18=2×3218=2\times3^2, 24=23×324=2^3\times3, 30=2×3×530=2\times3\times5.
  2. Le PPCM vaut 23×32×5=3602^3\times3^2\times5=360 s.
  3. 360360 s représentent 66 min, donc les balises coïncident à nouveau à 1414 h 0606.

Exercice 12 : Dalles carrées pour une cour

Difficile

Une cour rectangulaire mesure 7,567{,}56 m sur 5,405{,}40 m. On veut utiliser les plus grandes dalles carrées possibles, sans découpe.

  1. Convertir les dimensions en centimètres.
  2. Calculer le côté maximal d'une dalle.
  3. Calculer le nombre de dalles sur chaque dimension.
  4. Calculer le nombre total et vérifier l'aire.
Indication

Le côté entier en centimètres doit être un diviseur commun de 756756 et 540540.

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  1. Les dimensions sont 756756 cm et 540540 cm.
  2. PGCD⁡(756,540)=108\operatorname{PGCD}(756,540)=108, donc le côté vaut 108108 cm.
  3. Il faut 77 dalles par 55, car 756/108=7756/108=7 et 540/108=5540/108=5.
  4. Il faut 3535 dalles. Leur aire totale 35×1082=408 240 cm235\times108^2=408\,240\,\text{cm}^2 égale 756×540756\times540.

Exercice 13 : Choisir une taille de paquets

Difficile

Un atelier doit conditionner 462462 vis et 330330 écrous en sachets séparés, tous de même taille, sans reste. Chaque sachet doit contenir plus de 1010 et moins de 3030 pièces.

  1. Déterminer les diviseurs communs des deux quantités dans l'intervalle demandé.
  2. Choisir toutes les tailles possibles.
  3. Pour la plus grande taille, calculer le nombre total de sachets.
Indication

Commencez par le PGCD, puis listez seulement ses diviseurs compris strictement entre 1010 et 3030.

Voir le corrigé
  1. PGCD⁡(462,330)=66\operatorname{PGCD}(462,330)=66. Ses diviseurs concernés sont 1111 et 2222.
  2. Les tailles possibles sont donc 1111 ou 2222 pièces.
  3. Avec 2222 pièces, on obtient 462/22=21462/22=21 sachets de vis et 330/22=15330/22=15 sachets d'écrous, soit 3636 sachets.
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