Addition et soustraction des relatifs 5ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés d’addition et de soustraction des nombres relatifs en 5ème font passer du sens du déplacement aux calculs enchaînés. Le cours sur l’addition et la soustraction des relatifs présente les méthodes.

La progression suppose maîtrisés le signe, l’opposé et la comparaison, puis développe des stratégies de contrôle dans le parcours de mathématiques de 5ème.

Additionner des nombres relatifs

Le signe du résultat dépend des signes des termes et, lorsqu’ils diffèrent, de leurs distances à zéro.

Exercice 1 : Prévoir le signe

Facile

Sans calculer exactement, prévoir le signe de \((-8)+(-5)\), \(12+(-4)\), \((-15)+7\) et \((-3)+9\).

  1. Donner le signe des quatre sommes.
  2. Calculer ensuite pour vérifier.
Indication

Deux négatifs donnent une somme négative. Avec des signes contraires, comparez les distances à zéro.

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Les signes prévus sont négatif, positif, négatif, positif. Les calculs confirment : \(-8-5=-13\), \(12-4=8\), \(-15+7=-8\) et \(-3+9=6\).

Exercice 2 : Sommes variées

Facile

Calculer \(A=(-7)+11\), \(B=4{,}5+(-9)\), \(C=(-3{,}2)+(-1{,}8)\) et \(D=16+(-16)\).

  1. Calculer A et B.
  2. Calculer C et D.
  3. Interpréter le résultat de D avec la notion d’opposé.
  4. Classer les quatre résultats.
Indication

Les nombres opposés ont une somme nulle.

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\(A=4\), \(B=-4{,}5\), \(C=-5\) et \(D=0\). Le résultat de D est nul car \(16\) et \(-16\) sont opposés. Par ordre croissant : \(C=-5

Exercice 3 : Déplacements sur une droite

Moyen

Un pion part de l’abscisse \(-2\), avance de \(7\) unités vers la droite, puis de \(4\) unités vers la gauche.

  1. Traduire le premier déplacement par une addition.
  2. Donner la position après ce déplacement.
  3. Traduire le trajet entier par une seule somme.
  4. Donner la position finale.
  5. Comparer le déplacement total à zéro.
Indication

Vers la droite correspond à un ajout positif ; vers la gauche, à un ajout négatif.

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  1. \((-2)+7\).
  2. Le pion atteint \(5\).
  3. Le trajet entier s’écrit \((-2)+7+(-4)\).
  4. La position finale est \(1\).
  5. Le déplacement total vaut \(7+(-4)=3>0\) : le pion est finalement trois unités à droite de son départ.

Transformer et effectuer une soustraction

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé ; cette transformation rend le calcul lisible.

Exercice 4 : Passer à une somme

Facile

Transformer puis calculer : \(7-(-3)\), \((-5)-4\), \((-8)-(-2)\) et \(3{,}5-6\).

  1. Réécrire les quatre différences comme des sommes.
  2. Calculer les quatre résultats.
  3. Repérer le calcul où soustraire augmente la valeur.
Indication

Remplacez « soustraire \(b\) » par « ajouter l’opposé de \(b\) ».

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Les sommes sont \(7+3\), \((-5)+(-4)\), \((-8)+2\) et \(3{,}5+(-6)\). Les résultats sont \(10\), \(-9\), \(-6\) et \(-2{,}5\). Dans le premier calcul, soustraire \(-3\) augmente la valeur, car cela revient à ajouter \(3\).

Exercice 5 : Différence de températures

Moyen

La température passe de \(-6^\circ\text{C}\) le matin à \(3^\circ\text{C}\) l’après-midi.

  1. Écrire le calcul de la variation.
  2. Calculer cette variation.
Indication

Une variation est valeur finale moins valeur initiale.

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La variation vaut \(3-(-6)=3+6=9\). La température a donc augmenté de \(9^\circ\text{C}\). Le résultat positif est cohérent avec une hausse.

Exercice 6 : Réparer une règle mal appliquée

Moyen

Pour calculer \((-11)-(-7)\), Yanis écrit \(-11-7=-18\).

  1. Localiser l’erreur, corriger le calcul et proposer une vérification sur une droite graduée.
Indication

L’opposé de \(-7\) est \(+7\), pas \(-7\).

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Yanis n’a pas changé le signe du nombre soustrait. On écrit \((-11)-(-7)=(-11)+7=-4\). Sur une droite graduée, partir de \(-11\) et ajouter \(7\) revient à avancer de sept unités vers la droite, ce qui conduit bien à \(-4\).

Maîtriser les calculs enchaînés et les nombres manquants

On transforme les soustractions avant de regrouper intelligemment les termes.

Exercice 7 : Une chaîne sans parenthèses

Moyen

Calculer \(E=-7+12-5-(-3)+(-8)\) et \(F=4{,}5-7+(-2{,}5)-(-6)\).

  1. Transformer E en somme.
  2. Calculer E en regroupant des termes utiles.
  3. Transformer puis calculer F.
  4. Contrôler le signe de chaque résultat.
Indication

Regroupez si possible les opposés ou les nombres qui donnent un entier simple.

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\(E=-7+12+(-5)+3+(-8)\). On peut regrouper \(12+3=15\) et \(-7-5-8=-20\), donc \(E=-5\). Pour F : \(4{,}5+(-7)+(-2{,}5)+6\). Or \(4{,}5-2{,}5=2\) et \(-7+6=-1\), donc \(F=1\). Les signes sont cohérents avec les regroupements obtenus.

Exercice 8 : Trouver le terme absent

Moyen

Compléter : \((-7)+\square=5\), \(\square-(-4)=-3\), \(8-\square=13\).

  1. Résoudre la première égalité.
  2. Résoudre la deuxième.
  3. Résoudre la troisième.
Indication

Testez la valeur trouvée dans l’égalité d’origine.

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  1. Il faut ajouter \(12\), car \(-7+12=5\).
  2. \(x-(-4)=x+4=-3\), donc \(x=-7\).
  3. \(8-x=13\) exige \(x=-5\), puisque \(8-(-5)=13\).

Exercice 9 : Une pyramide additive

Difficile

Dans une pyramide, chaque case est la somme des deux cases situées juste en dessous. La base vaut \(-4\), \(7\), \(-2\), \(5\).

  1. Calculer les trois cases du rang suivant.
  2. Calculer les deux cases du troisième rang.
  3. Calculer le sommet.
  4. Modifier seulement le dernier nombre de la base pour que le sommet vaille \(0\).
  5. Justifier la valeur choisie.
Indication

Construisez d’abord toute la pyramide. Pour la modification, notez \(x\) à la place de \(5\).

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Le deuxième rang vaut \(3,5,3\). Le troisième vaut \(8,8\), donc le sommet vaut \(16\). Avec \(x\) à la dernière place, le deuxième rang devient \(3,5,x-2\), puis le troisième \(8,x+3\), et le sommet \(x+11\). Pour obtenir \(0\), il faut \(x=-11\). Vérification : la base \(-4,7,-2,-11\) conduit aux rangs \(3,5,-13\), puis \(8,-8\), puis \(0\).

Modéliser et vérifier

Un contexte indique le sens du signe ; la réponse finale doit interpréter la valeur obtenue.

Exercice 10 : Bilan d’un compte

Moyen

Un compte affiche \(-18\) €. On y verse \(35\) €, puis on débite \(12\) € et on annule un débit de \(5\) €.

  1. Écrire une seule expression.
  2. Calculer le nouveau solde.
  3. Expliquer comment traduire l’annulation du débit.
Indication

Annuler un débit de \(5\) € revient à ajouter \(5\) €.

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L’expression est \(-18+35-12+5\). On obtient \(17-12+5=10\). Le nouveau solde est donc 10 €. L’annulation retire l’effet d’un montant négatif ; elle est traduite ici par une addition de \(5\).

Exercice 11 : Comparer deux variations d’altitude

Difficile

Le trajet A passe de \(-25\) m à \(18\) m. Le trajet B passe de \(42\) m à \(-6\) m.

  1. Calculer la variation du trajet A.
  2. Calculer la variation du trajet B.
  3. Interpréter les signes.
  4. Comparer les amplitudes des deux variations.
Indication

Variation = altitude finale − altitude initiale. L’amplitude est la distance entre les deux altitudes.

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Pour A : \(18-(-25)=43\) m, c’est une montée. Pour B : \(-6-42=-48\) m, c’est une descente. Le signe indique le sens, tandis que les amplitudes sont \(43\) m et \(48\) m. Le trajet B connaît donc la variation la plus grande en valeur absolue, de \(5\) m.

Exercice 12 : Deux méthodes à confronter

Difficile

Calculer \(G=-18-(-7)+13-22+(-3)\). Salomé calcule de gauche à droite ; Idriss regroupe les positifs et les négatifs.

  1. Effectuer le calcul par la méthode de Salomé.
  2. Effectuer le calcul par la méthode d’Idriss.
  3. Expliquer pourquoi les deux méthodes donnent le même résultat.
Indication

Commencez dans les deux cas par transformer la soustraction de \(-7\).

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De gauche à droite : \(-18+7=-11\), puis \(2\), puis \(-20\), puis \(-23\). Par regroupement : \(7+13=20\) et \(-18-22-3=-43\), donc \(20-43=-23\). Après transformation en somme, l’associativité et la commutativité de l’addition autorisent le regroupement sans changer la valeur.

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