L’addition et la soustraction de fractions en 5ème répondent à une question concrète : comment réunir ou comparer des parts qui n’ont pas toujours la même taille ? On peut additionner des cinquièmes entre eux, mais un demi et un tiers doivent d’abord être exprimés avec une unité de partage commune.
La méthode complète comporte trois décisions : faut-il transformer les fractions, quel dénominateur commun choisir, et le résultat doit-il être simplifié ? Les exemples sont accompagnés de contrôles qui empêchent d’appliquer une règle sans comprendre.
Pourquoi le dénominateur doit être commun
Additionner des fractions revient à compter des parts de même nature. On additionne \(2\) mètres et \(3\) mètres parce que l’unité est la même ; de façon analogue, on additionne des septièmes avec des septièmes.
Dénominateur commun
Un dénominateur commun est un même nombre utilisé comme dénominateur de plusieurs fractions égales aux fractions de départ. Il transforme les parts en morceaux de même taille.
Erreur fréquente : on n’additionne pas les dénominateurs. \(\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}\), et non \(\frac{5}{14}\), car les septièmes restent des septièmes.
Fractions de même dénominateur
Addition et soustraction avec des parts identiques
Pour un dénominateur non nul \(b\) :
Le dénominateur \(b\) décrit la taille des parts ; seuls les nombres de parts se combinent. Ainsi \(\frac{9}{13}-\frac{4}{13}=\frac{5}{13}\).
Après le calcul, on examine toujours si le numérateur et le dénominateur possèdent un diviseur commun. Une écriture simplifiée rend la valeur plus facile à lire.
Quand un dénominateur est multiple de l’autre
Si l’un des dénominateurs est déjà un multiple de l’autre, il devient naturellement le dénominateur commun. Pour \(\frac{3}{4}+\frac{5}{12}\), le nombre \(12\) est un multiple de \(4\).
Seule la première fraction a été transformée. Le facteur \(3\) qui fait passer \(4\) à \(12\) doit multiplier également le numérateur. La dernière étape simplifie par \(2\).
Chercher un multiple commun efficace
Pour \(\frac{5}{6}-\frac{3}{8}\), aucun dénominateur ne divise l’autre. On liste quelques multiples : ceux de \(6\) sont \(6,12,18,24,\ldots\), ceux de \(8\) sont \(8,16,24,\ldots\). Le premier multiple commun est \(24\).
Le produit \(6\times8=48\) aurait aussi fonctionné, mais il aurait créé de plus grands nombres avant une simplification. Choisir \(24\) rend la méthode plus courte.
La recherche des multiples communs prolonge directement le cours sur les multiples, diviseurs et critères de divisibilité.
Arbre de décision pour choisir la transformation
| Observation | Décision | Exemple |
|---|---|---|
| Même dénominateur | Calculer directement | \(\frac{2}{9}+\frac{4}{9}\) |
| Un dénominateur multiple de l’autre | Choisir le plus grand | \(\frac{1}{3}+\frac{5}{12}\) |
| Dénominateurs différents sans divisibilité | Chercher un multiple commun | \(\frac{2}{5}+\frac{3}{7}\) |
| Résultat non irréductible | Simplifier à la fin | \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) |
Cette observation initiale évite un automatisme coûteux. Multiplier systématiquement les deux dénominateurs fonctionne, mais peut produire des calculs inutiles et masquer des facteurs communs simples.
Sommes de trois fractions : préparer avant d’enchaîner
Pour trois fractions, on peut chercher un dénominateur commun à toutes avant de calculer. Cette stratégie limite les simplifications intermédiaires et rend la structure visible.
Le résultat \(1\) a un sens visuel : les trois parts complètent exactement une unité. Ce contrôle par la quantité est aussi important que le calcul symbolique.
Astuce : avant de calculer, encadrer chaque fraction. Une somme de deux fractions positives inférieures à \(1\) ne peut pas devenir \(12\).
Résoudre un problème et interpréter la fraction finale
Une randonnée est composée de \(\frac{3}{8}\) du trajet en forêt et de \(\frac{1}{4}\) le long d’une rivière. La part déjà décrite est :
La part restante vaut \(1-\frac58=\frac38\). Écrire le calcul ne suffit pas : il faut préciser que \(\frac38\) du trajet se déroule dans les autres paysages. L’unité ici est le trajet entier.
Si le trajet mesure \(24\) km, la partie restante est \(\frac38\times24=9\) km. On passe alors d’une proportion du tout à une distance.
Contrôles qui repèrent une erreur
- Signe : une addition de fractions positives doit être supérieure à chacune d’elles.
- Ordre de grandeur : \(\frac12+\frac13\) est supérieur à \(\frac12\) mais inférieur à \(1\).
- Dénominateur : après mise au même dénominateur, toutes les fractions doivent réellement conserver leur valeur.
- Simplification : le résultat doit être réduit si un facteur commun subsiste.
Erreur fréquente : simplifier en « barrant » des termes à travers une addition est interdit. On simplifie des facteurs dans un produit, ou le numérateur et le dénominateur d’une seule fraction.
Les fractions égales et la simplification utilisées dans ces contrôles sont développées dans le cours Fractions 5ème : quotient, égalité et comparaison.
Problème complet : réservoir rempli en plusieurs étapes
Un réservoir est rempli à \(\frac{2}{5}\) le matin. On ajoute \(\frac{1}{3}\) de sa capacité l’après-midi, puis on utilise \(\frac{1}{4}\) de sa capacité le soir. La quantité finale est :
Le résultat est compris entre \(0\) et \(1\), ce qui convient à une fraction de capacité. Il est inférieur à la quantité atteinte l’après-midi, \(\frac{11}{15}\), car une partie a été utilisée le soir.
Si la capacité vaut \(600\) L, le volume final est \(\frac{29}{60}\times600=290\) L. Le calcul des fractions et l’interprétation avec une unité sont deux étapes distinctes.
Dénominateur commun : plus petit n’est pas toujours obligatoire
Pour \(\frac{7}{12}+\frac{5}{18}\), le plus petit multiple commun de \(12\) et \(18\) est \(36\). Il donne \(\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}\).
Le produit \(216\) serait aussi un dénominateur commun, mais produirait \(\frac{126}{216}+\frac{60}{216}\), puis une simplification. La méthode resterait correcte, mais moins efficace.
Le bon critère n’est donc pas « trouver absolument le plus petit nombre » au prix d’une longue recherche. On cherche un multiple commun facile à reconnaître et qui garde des calculs raisonnables. Avec \(8\) et \(15\), le produit \(120\) est déjà le premier multiple commun car les deux nombres n’ont aucun facteur commun supérieur à \(1\).
Addition et soustraction de fractions 5ème : l’essentiel à retenir
Pour réussir une addition ou une soustraction de fractions en 5ème, il faut d’abord fabriquer des parts de même taille, combiner les numérateurs, conserver le dénominateur commun puis simplifier. Le choix du multiple commun dépend de la structure des dénominateurs.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 insiste sur ce sens du quotient et sur la justification des transformations, pas seulement sur l’obtention d’un résultat.