Addition et soustraction de fractions 5ème : 13 exercices corrigés

Ces exercices corrigés d’addition et de soustraction de fractions en 5ème font travailler le sens des parts avant la technique. On commence avec des dénominateurs identiques, puis on choisit un dénominateur commun efficace, on simplifie et on contrôle l’ordre de grandeur. Le cours sur l’addition et la soustraction de fractions rappelle chaque méthode utile.

Les treize situations ne forment pas une simple liste de calculs. Elles demandent aussi d’expliquer un choix, de réparer une copie, de comparer deux méthodes et d’interpréter une fraction dans un contexte. Cette série appartient au parcours de mathématiques de 5ème et réutilise naturellement la notion de fractions égales étudiée dans le cours sur les fractions.

Réunir ou retirer des parts de même taille

Lorsque les dénominateurs sont identiques, les parts ont déjà la même taille. Le calcul porte sur leur nombre, tandis que le dénominateur reste inchangé.

Exercice 1 : Automatismes avec un dénominateur commun

Facile

Calculer sans transformer les fractions. Donner chaque résultat sous sa forme simplifiée.

  1. \(\frac{3}{11}+\frac{5}{11}\)
  2. \(\frac{13}{17}-\frac{6}{17}\)
  3. \(\frac{7}{12}+\frac{2}{12}\)
  4. \(\frac{19}{15}-\frac{4}{15}\)
Indication

Les dénominateurs décrivent la taille des parts. Additionnez ou soustrayez seulement les numérateurs, puis cherchez un diviseur commun.

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  1. \(\frac{3}{11}+\frac{5}{11}=\frac{8}{11}\).
  2. \(\frac{13}{17}-\frac{6}{17}=\frac{7}{17}\).
  3. \(\frac{7}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9}{12}=\frac34\), après simplification par \(3\).
  4. \(\frac{19}{15}-\frac{4}{15}=\frac{15}{15}=1\).

Le dénominateur ne s’additionne pas : des douzièmes réunis restent des douzièmes.

Exercice 2 : Retrouver un numérateur manquant

Moyen

Chaque égalité est exacte. Déterminer le nombre représenté par \(n\).

  1. \(\frac{n}{13}+\frac{4}{13}=\frac{11}{13}\)
  2. \(\frac{17}{20}-\frac{n}{20}=\frac35\)
Indication

Exprimez d’abord le résultat avec le dénominateur déjà présent. La seconde égalité utilise \(\frac35=\frac{12}{20}\).

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Dans la première égalité, \(n+4=11\), donc \(n=7\). On vérifie :
\(\frac7{13}+\frac4{13}=\frac{11}{13}\).

Pour la seconde, \(\frac35=\frac{12}{20}\). Il faut donc \(17-n=12\), soit \(n=5\).
La vérification donne \(\frac{17}{20}-\frac5{20}=\frac{12}{20}=\frac35\).

Exercice 3 : Décider sans effectuer tout le calcul

Moyen

Lina affirme que \(\frac{23}{31}-\frac{9}{31}\) est supérieur à \(\frac12\). A-t-elle raison ?

  1. Répondre en justifiant par une comparaison exacte, sans écriture décimale.
Indication

Calculez la différence, puis comparez-la à \(\frac12\) par produits en croix.

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La différence vaut \(\frac{14}{31}\). Pour la comparer à \(\frac12\),
on compare \(14\times2=28\) et \(31\times1=31\). Comme \(28<31\),
\(\frac{14}{31}<\frac12\). Lina a donc tort. Cette justification exacte évite
une approximation décimale inutile.

Choisir un dénominateur commun efficace

Le bon réflexe n’est pas de multiplier automatiquement les dénominateurs. On observe d’abord si l’un est multiple de l’autre, puis on cherche un multiple commun simple.

Exercice 4 : Un dénominateur est multiple de l’autre

Facile

Effectuer les calculs en transformant une seule fraction lorsque c’est possible.

  1. \(\frac34+\frac5{12}\)
  2. \(\frac7{10}-\frac15\)
  3. \(\frac29+\frac13\)
  4. \(\frac{11}{14}-\frac37\)
  5. \(\frac58+\frac3{16}\)
Indication

Choisissez respectivement \(12\), \(10\), \(9\), \(14\) et \(16\) comme dénominateurs communs.

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  1. \(\frac34+\frac5{12}=\frac9{12}+\frac5{12}=\frac{14}{12}=\frac76\).
  2. \(\frac7{10}-\frac15=\frac7{10}-\frac2{10}=\frac12\).
  3. \(\frac29+\frac13=\frac29+\frac39=\frac59\).
  4. \(\frac{11}{14}-\frac37=\frac{11}{14}-\frac6{14}=\frac5{14}\).
  5. \(\frac58+\frac3{16}=\frac{10}{16}+\frac3{16}=\frac{13}{16}\).

À chaque fois, multiplier aussi le numérateur conserve la valeur de la fraction transformée.

Exercice 5 : Chercher le premier multiple commun

Moyen

Pour chaque paire, trouver un dénominateur commun plus petit que le produit des deux dénominateurs, puis calculer.

  1. \(\frac56-\frac38\)
  2. \(\frac7{12}+\frac5{18}\)
  3. \(\frac{11}{15}-\frac7{20}\)
Indication

Listez quelques multiples : \(6\) et \(8\) rencontrent \(24\), \(12\) et \(18\) rencontrent \(36\), \(15\) et \(20\) rencontrent \(60\).

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  1. \(\frac56-\frac38=\frac{20}{24}-\frac9{24}=\frac{11}{24}\).
  2. \(\frac7{12}+\frac5{18}=\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}\).
  3. \(\frac{11}{15}-\frac7{20}=\frac{44}{60}-\frac{21}{60}=\frac{23}{60}\).

Les résultats sont déjà irréductibles. Le produit des dénominateurs aurait fonctionné, mais aurait créé des nombres plus grands et une simplification supplémentaire.

Exercice 6 : Comparer deux méthodes correctes

Moyen

Noé calcule \(\frac7{12}+\frac5{18}\) avec le dénominateur \(216\). Maya utilise \(36\).

  1. Montrer que les deux méthodes conduisent au même résultat.
  2. Expliquer pourquoi la méthode de Maya est plus efficace.
Indication

Avec \(216\), transformez les fractions en multipliant respectivement par \(18\) et \(12\), puis simplifiez le résultat.

Voir le corrigé

Noé obtient \(\frac{126}{216}+\frac{60}{216}=\frac{186}{216}\).
En simplifiant par \(6\), puis éventuellement en observant directement le quotient,
\(\frac{186}{216}=\frac{31}{36}\). Maya calcule immédiatement
\(\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}\).

Les deux méthodes sont exactes, car \(216\) et \(36\) sont des multiples communs.
Maya manipule toutefois des nombres plus petits et évite une simplification longue :
son choix réduit le risque d’erreur.

Exercice 7 : Additionner trois fractions

Difficile

Préparer chaque somme avec un seul dénominateur commun avant d’additionner.

  1. \(\frac12+\frac13+\frac16\)
  2. \(\frac34+\frac5{12}-\frac18\)
  3. \(\frac25+\frac3{10}+\frac14\)
  4. Donner pour chaque résultat un contrôle d’ordre de grandeur.
Indication

Les dénominateurs communs utiles sont \(6\), \(24\) et \(20\). Comparez ensuite le résultat à \(1\) ou à des fractions simples.

Voir le corrigé
  1. \(\frac12+\frac13+\frac16=\frac36+\frac26+\frac16=1\).
  2. \(\frac34+\frac5{12}-\frac18=\frac{18}{24}+\frac{10}{24}-\frac3{24}=\frac{25}{24}=1+\frac1{24}\).
  3. \(\frac25+\frac3{10}+\frac14=\frac8{20}+\frac6{20}+\frac5{20}=\frac{19}{20}\).
  4. La première somme complète l’unité ; la deuxième doit dépasser légèrement \(1\) ; la troisième reste sous \(1\). Ces observations concordent avec les résultats.

Expliquer une stratégie et diagnostiquer les erreurs

Une correction de qualité ne donne pas seulement une fraction finale : elle localise la première étape fausse et explique le principe qui a été oublié.

Exercice 8 : Réparer trois copies

Moyen

Chaque ligne contient une erreur. La repérer, l’expliquer et proposer le calcul correct.

  1. \(\frac27+\frac37=\frac5{14}\)
  2. \(\frac34+\frac16=\frac49+\frac19=\frac59\)
  3. \(\frac58-\frac14=\frac48=\frac12\)
Indication

Contrôlez successivement la taille des parts, l’équivalence des fractions et le sens de la soustraction.

Voir le corrigé
  1. Les septièmes restent des septièmes : \(\frac27+\frac37=\frac57\).
  2. Passer de \(4\) à \(9\) n’utilise pas un facteur entier commun. On choisit \(12\) :
    \(\frac34+\frac16=\frac9{12}+\frac2{12}=\frac{11}{12}\).
  3. \(\frac14=\frac28\), pas \(\frac18\). Donc
    \(\frac58-\frac14=\frac58-\frac28=\frac38\).

Dans chaque cas, la première égalité fausse suffit à invalider toute la suite.

Exercice 9 : Trouver l’intrus parmi quatre calculs

Difficile

Trois expressions ont pour valeur \(\frac34\) : \(\frac12+\frac14\), \(\frac78-\frac18\), \(\frac56-\frac1{12}\), \(\frac23+\frac1{12}\).

  1. Identifier l’intrus et justifier sans utiliser de calculatrice.
Indication

Transformez chaque paire avec le plus petit dénominateur commun utile.

Voir le corrigé

\(\frac12+\frac14=\frac34\) et
\(\frac78-\frac18=\frac68=\frac34\). De plus,
\(\frac56-\frac1{12}=\frac{10}{12}-\frac1{12}=\frac9{12}=\frac34\).
En revanche, \(\frac23+\frac1{12}=\frac8{12}+\frac1{12}=\frac9{12}=\frac34\) :
les quatre expressions conviennent. L’énoncé lui-même est donc erroné. Le véritable
travail consistait à ne pas forcer l’existence d’un intrus.

Exercice 10 : Construire un calcul sous contraintes

Difficile

On dispose une seule fois de chacune des fractions \(\frac12\), \(\frac13\), \(\frac16\) et des signes \(+\) ou \(-\).

  1. Construire une expression valant \(1\).
  2. Construire une expression valant \(\frac23\).
  3. Construire une expression valant \(0\).
  4. Dire si l’on peut obtenir \(\frac56\) en utilisant les trois fractions.
  5. Justifier les quatre réponses avec un dénominateur commun.
Indication

Exprimez tout en sixièmes : \(\frac12=\frac36\), \(\frac13=\frac26\), \(\frac16=\frac16\).

Voir le corrigé
  1. \(\frac12+\frac13+\frac16=\frac{3+2+1}{6}=1\).
  2. \(\frac12+\frac13-\frac16=\frac{3+2-1}{6}=\frac46=\frac23\).
  3. \(\frac12-\frac13-\frac16=\frac{3-2-1}{6}=0\).
  4. Les sommes signées possibles des numérateurs \(3\), \(2\) et \(1\) donnent \(6\), \(4\), \(2\), \(0\) et leurs opposés, jamais \(5\). On ne peut donc pas obtenir \(\frac56\) en utilisant les trois fractions une fois chacune.
  5. Le passage aux sixièmes prouve les valeurs et l’impossibilité annoncée.

Résoudre des problèmes avec des fractions

Dans un problème, l’unité doit être identifiée avant le calcul. La réponse finale précise ce que représente la fraction obtenue et, si nécessaire, la convertit en quantité.

Exercice 11 : Le parcours d’une randonnée

Moyen

Un parcours comprend \(\frac38\) de forêt et \(\frac14\) de bord de rivière. Le reste traverse des prés.

  1. Quelle fraction du parcours est déjà décrite ?
  2. Quelle fraction traverse les prés ?
Indication

Transformez \(\frac14\) en huitièmes, puis soustrayez la part obtenue à l’unité.

Voir le corrigé

La forêt et la rivière occupent
\(\frac38+\frac14=\frac38+\frac28=\frac58\) du parcours.
La part des prés vaut donc \(1-\frac58=\frac38\).
La somme des trois parts est bien \(\frac38+\frac28+\frac38=1\), ce qui contrôle la répartition.

Exercice 12 : Un réservoir rempli en plusieurs étapes

Difficile

Un réservoir est rempli à \(\frac5{12}\) le matin. On ajoute \(\frac7{18}\) de sa capacité l’après-midi. Sa capacité totale est de \(360\) L.

  1. Calculer la fraction remplie après les deux apports.
  2. Le réservoir déborde-t-il ?
  3. Calculer le volume d’eau présent.
  4. Déterminer le volume encore disponible.
Indication

Utilisez \(36\) comme dénominateur commun, puis appliquez la fraction obtenue à \(360\).

Voir le corrigé
  1. \(\frac5{12}+\frac7{18}=\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}\).
  2. Comme \(\frac{29}{36}<1\), il n’y a pas de débordement.
  3. \(\frac{29}{36}\times360=29\times10=290\) L sont présents.
  4. Il reste \(360-290=70\) L, ce qui correspond aussi à
    \(\frac7{36}\times360=70\) L.

Exercice 13 : Comparer deux plans de lecture

Difficile

Zoé lit \(\frac25\) d’un roman lundi puis \(\frac14\) mardi. Amir lit \(\frac13\) lundi puis \(\frac7{20}\) mardi. Les fractions portent sur le livre entier.

  1. Calculer la part lue par Zoé.
  2. Calculer la part lue par Amir.
  3. Qui a lu la plus grande part et de combien ?
Indication

Pour Zoé, travaillez en vingtièmes ; pour Amir, en soixantièmes. Comparez ensuite les deux totaux avec un dénominateur commun.

Voir le corrigé

Zoé a lu \(\frac25+\frac14=\frac8{20}+\frac5{20}=\frac{13}{20}\).
Amir a lu \(\frac13+\frac7{20}=\frac{20}{60}+\frac{21}{60}=\frac{41}{60}\).
Or \(\frac{13}{20}=\frac{39}{60}\). Amir a donc lu davantage, avec un écart de
\(\frac{41}{60}-\frac{39}{60}=\frac2{60}=\frac1{30}\) du roman.
La comparaison porte bien sur le même tout : le livre entier.

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