Les développements limités constituent un outil fondamental en analyse mathématique pour approximer localement une fonction par un polynôme. Cette page propose une série d’exercices corrigés progressifs couvrant les différentes techniques de calcul : utilisation des formules usuelles, opérations algébriques, compositions de fonctions, quotients et applications pratiques. Chaque exercice est accompagné d’indications méthodologiques et de solutions détaillées étape par étape, permettant une maîtrise complète des développements limités au voisinage de zéro et en d’autres points.
Développements limités des fonctions usuelles
Exercice 1 : Calcul direct avec l’exponentielle
Facile
Déterminer le développement limité de la fonction \( f(x) = e^{2x} \) à l’ordre 5 au voisinage de 0.
Indication
Utilisez la formule du développement limité de \( e^u \) en remplaçant \( u \) par \( 2x \).
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Solution :
On sait que \( e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \frac{u^4}{4!} + \frac{u^5}{5!} + o(u^5) \)
En posant \( u = 2x \), on obtient :
\[ e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^5}{5!} + o(x^5) \]
\[ e^{2x} = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} + \frac{16x^4}{24} + \frac{32x^5}{120} + o(x^5) \]
\[ e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + \frac{2x^4}{3} + \frac{4x^5}{15} + o(x^5) \]
Exercice 2 : Développement limité du logarithme népérien
Facile
Calculer le développement limité de \( f(x) = \ln(1 + x^2) \) à l’ordre 6 au voisinage de 0.
Indication
Utilisez la formule de \( \ln(1 + u) \) en substituant \( u = x^2 \), puis tronquez à l’ordre 6.
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Solution :
La formule usuelle donne : \( \ln(1 + u) = u – \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} – \frac{u^4}{4} + o(u^4) \)
En posant \( u = x^2 \) :
\[ \ln(1 + x^2) = x^2 – \frac{(x^2)^2}{2} + \frac{(x^2)^3}{3} + o(x^6) \]
\[ \ln(1 + x^2) = x^2 – \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + o(x^6) \]
Exercice 3 : Fonctions trigonométriques composées
Facile
Déterminer le développement limité de \( f(x) = \sin(3x) \) à l’ordre 5 au voisinage de 0.
Indication
Remplacez \( x \) par \( 3x \) dans la formule du développement limité de \( \sin(x) \).
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Solution :
On utilise : \( \sin(u) = u – \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} + o(u^5) \)
Avec \( u = 3x \) :
\[ \sin(3x) = 3x – \frac{(3x)^3}{6} + \frac{(3x)^5}{120} + o(x^5) \]
\[ \sin(3x) = 3x – \frac{27x^3}{6} + \frac{243x^5}{120} + o(x^5) \]
\[ \sin(3x) = 3x – \frac{9x^3}{2} + \frac{81x^5}{40} + o(x^5) \]
Opérations sur les développements limités
Exercice 4 : Somme de développements limités
Facile
Calculer le développement limité de \( f(x) = e^x + \cos(x) \) à l’ordre 4 au voisinage de 0.
Indication
Calculez séparément les DL de \( e^x \) et \( \cos(x) \) à l’ordre 4, puis additionnez-les.
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Solution :
D’une part : \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \)
D’autre part : \( \cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \)
Par addition :
\[ e^x + \cos(x) = 2 + x + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\right)x^2 + \frac{x^3}{6} + \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{24}\right)x^4 + o(x^4) \]
\[ e^x + \cos(x) = 2 + x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12} + o(x^4) \]
Exercice 5 : Produit de développements limités
Moyen
Déterminer le développement limité de \( f(x) = e^x \sin(x) \) à l’ordre 4 au voisinage de 0.
Indication
Calculez le produit des DL de \( e^x \) et \( \sin(x) \) en ne gardant que les termes d’ordre inférieur ou égal à 4.
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Solution :
On a : \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \)
Et : \( \sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + o(x^4) \)
Le produit donne :
\[ e^x \sin(x) = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\right)\left(x – \frac{x^3}{6}\right) + o(x^4) \]
En développant et en ne conservant que les termes d’ordre \( \leq 4 \) :
\[ = x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} – \frac{x^3}{6} + o(x^4) \]
\[ = x + x^2 + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{6}\right)x^3 + \frac{x^4}{6} + o(x^4) \]
\[ e^x \sin(x) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{6} + o(x^4) \]
Exercice 6 : Produit de fonctions trigonométriques
Moyen
Calculer le développement limité de \( f(x) = \cos(x) \ln(1 + x) \) à l’ordre 3 au voisinage de 0.
Indication
Effectuez le produit des développements limités de \( \cos(x) \) et \( \ln(1 + x) \), puis tronquez.
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Solution :
On a : \( \cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2} + o(x^3) \)
Et : \( \ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \)
Le produit s’écrit :
\[ \cos(x) \ln(1 + x) = \left(1 – \frac{x^2}{2}\right)\left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) + o(x^3) \]
\[ = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^3}{2} + o(x^3) \]
\[ = x – \frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{2}\right)x^3 + o(x^3) \]
\[ \cos(x) \ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{6} + o(x^3) \]
Composition de développements limités
Exercice 7 : Composition logarithme-sinus
Moyen
Déterminer le développement limité de \( f(x) = \ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) \) à l’ordre 4 au voisinage de 0.
Indication
Écrivez d’abord le DL de \( \frac{\sin(x)}{x} \) sous la forme \( 1 + u(x) \), puis composez avec \( \ln(1 + u) \).
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Solution :
On commence par calculer le DL de \( \frac{\sin(x)}{x} \) :
\[ \sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5) \]
\[ \frac{\sin(x)}{x} = 1 – \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4) \]
Posons \( u = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} \). On a \( \frac{\sin(x)}{x} = 1 + u \).
On utilise alors : \( \ln(1 + u) = u – \frac{u^2}{2} + o(u^2) \)
Puisque \( u^2 = \left(-\frac{x^2}{6}\right)^2 + o(x^4) = \frac{x^4}{36} + o(x^4) \), on obtient :
\[ \ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} – \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{36} + o(x^4) \]
\[ = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} – \frac{x^4}{72} + o(x^4) \]
\[ = -\frac{x^2}{6} + \left(\frac{1}{120} – \frac{1}{72}\right)x^4 + o(x^4) \]
\[ \ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} – \frac{x^4}{180} + o(x^4) \]
Exercice 8 : Exponentielle composée
Moyen
Calculer le développement limité de \( f(x) = e^{\sin(x)} \) à l’ordre 4 au voisinage de 0.
Indication
Utilisez la composition : calculez d’abord le DL de \( \sin(x) \), puis composez avec \( e^u \).
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Solution :
On a : \( \sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + o(x^4) \)
Posons \( u = x – \frac{x^3}{6} \). On cherche le DL de \( e^u \) :
\[ e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2) \]
Calculons \( u^2 \) en ne gardant que les termes d’ordre \( \leq 4 \) :
\[ u^2 = \left(x – \frac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 + o(x^4) \]
Donc :
\[ e^{\sin(x)} = 1 + \left(x – \frac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + o(x^4) \]
\[ e^{\sin(x)} = 1 + x + \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{6} + o(x^4) \]
Exercice 9 : Composition avec racine carrée
Difficile
Déterminer le développement limité de \( f(x) = \sqrt{1 + x + x^2} \) à l’ordre 3 au voisinage de 0.
Indication
Utilisez la formule \( (1 + u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} – \frac{u^2}{8} + \frac{u^3}{16} + o(u^3) \) avec \( u = x + x^2 \).
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Solution :
Posons \( u = x + x^2 \). On cherche le DL de \( \sqrt{1 + u} = (1 + u)^{1/2} \).
La formule du binôme donne :
\[ (1 + u)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}u – \frac{1}{8}u^2 + \frac{1}{16}u^3 + o(u^3) \]
Calculons les puissances de \( u \) :
\[ u = x + x^2 \]
\[ u^2 = (x + x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + o(x^3) \]
\[ u^3 = x^3 + o(x^3) \]
En substituant :
\[ \sqrt{1 + x + x^2} = 1 + \frac{1}{2}(x + x^2) – \frac{1}{8}(x^2 + 2x^3) + \frac{x^3}{16} + o(x^3) \]
\[ = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2} – \frac{x^2}{8} – \frac{x^3}{4} + \frac{x^3}{16} + o(x^3) \]
\[ = 1 + \frac{x}{2} + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{8}\right)x^2 + \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{16}\right)x^3 + o(x^3) \]
\[ \sqrt{1 + x + x^2} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} – \frac{3x^3}{16} + o(x^3) \]
Quotients et divisions suivant les puissances croissantes
Exercice 10 : Quotient simple
Moyen
Calculer le développement limité de \( f(x) = \frac{1}{1 + x + x^2} \) à l’ordre 4 au voisinage de 0.
Indication
Écrivez \( \frac{1}{1 + x + x^2} = \frac{1}{1 + u} \) avec \( u = x + x^2 \), puis utilisez la formule géométrique.
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Solution :
Posons \( u = x + x^2 \). On a :
\[ \frac{1}{1 + u} = 1 – u + u^2 – u^3 + u^4 + o(u^4) \]
Calculons les puissances de \( u \) :
\[ u = x + x^2 \]
\[ u^2 = x^2 + 2x^3 + x^4 + o(x^4) \]
\[ u^3 = x^3 + 3x^4 + o(x^4) \]
\[ u^4 = x^4 + o(x^4) \]
En substituant et en regroupant par puissances de \( x \) :
\[ \frac{1}{1 + x + x^2} = 1 – (x + x^2) + (x^2 + 2x^3 + x^4) – (x^3 + 3x^4) + x^4 + o(x^4) \]
\[ = 1 – x – x^2 + x^2 + 2x^3 + x^4 – x^3 – 3x^4 + x^4 + o(x^4) \]
\[ = 1 – x + (2 – 1)x^3 + (1 – 3 + 1)x^4 + o(x^4) \]
\[ \frac{1}{1 + x + x^2} = 1 – x + x^3 – x^4 + o(x^4) \]
Exercice 11 : Tangente
Difficile
Déterminer le développement limité de \( f(x) = \tan(x) \) à l’ordre 5 au voisinage de 0.
Indication
Utilisez \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) et effectuez la division suivant les puissances croissantes.
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Solution :
On a : \( \sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5) \)
Et : \( \cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5) \)
On écrit \( \cos(x) = 1 – u \) avec \( u = \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{24} \), donc :
\[ \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{1 – u} = 1 + u + u^2 + o(u^2) \]
Avec \( u^2 = \frac{x^4}{4} + o(x^5) \), on obtient :
\[ \frac{1}{\cos(x)} = 1 + \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{24} + \frac{x^4}{4} + o(x^5) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^5) \]
Donc :
\[ \tan(x) = \sin(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} = \left(x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right)\left(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}\right) + o(x^5) \]
En effectuant le produit :
\[ = x + \frac{x^3}{2} + \frac{5x^5}{24} – \frac{x^3}{6} + o(x^5) \]
\[ = x + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{6}\right)x^3 + \frac{5x^5}{24} + o(x^5) \]
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5) \]
Exercice 12 : Quotient de logarithme par sinus
Difficile
Calculer le développement limité de \( f(x) = \frac{\ln(1 + x)}{\sin(x)} \) à l’ordre 3 au voisinage de 0.
Indication
Effectuez le produit de \( \ln(1 + x) \) par \( \frac{1}{\sin(x)} \). Attention aux ordres nécessaires.
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Solution :
On a : \( \ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \)
Et : \( \sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + o(x^4) \)
Pour calculer \( \frac{1}{\sin(x)} \), on écrit \( \sin(x) = x(1 – \frac{x^2}{6}) \), donc :
\[ \frac{1}{\sin(x)} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 – \frac{x^2}{6}} = \frac{1}{x}\left(1 + \frac{x^2}{6} + o(x^3)\right) \]
Ainsi :
\[ \frac{\ln(1 + x)}{\sin(x)} = \left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) \cdot \frac{1}{x}\left(1 + \frac{x^2}{6}\right) + o(x^3) \]
\[ = \left(1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3}\right)\left(1 + \frac{x^2}{6}\right) + o(x^3) \]
\[ = 1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{6} + o(x^3) \]
\[ \frac{\ln(1 + x)}{\sin(x)} = 1 – \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2} + o(x^3) \]
Applications : calculs de limites et étude locale
Exercice 13 : Limite d’une forme indéterminée
Moyen
Calculer la limite suivante en utilisant les développements limités :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{\sin(x) – x} \]
Indication
Développez le numérateur et le dénominateur à un ordre suffisant pour lever l’indétermination.
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Solution :
Calculons les DL du numérateur et du dénominateur :
Numérateur : \( e^x – 1 – x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) – 1 – x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) \)
Dénominateur : \( \sin(x) – x = x – \frac{x^3}{6} + o(x^3) – x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3) \)
Donc :
\[ \frac{e^x – 1 – x}{\sin(x) – x} = \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}}{ -\frac{x^3}{6}} + o(1) = \frac{x^2}{ -\frac{x^3}{6}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{3}}{1} + o(1) \]
\[ = -\frac{3}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]
La limite n’existe pas (tend vers \( -\infty \)).
Exercice 14 : Équation de la tangente
Facile
Soit \( f(x) = \sqrt{1 + x + x^2} \). À l’aide d’un développement limité :
- Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d’abscisse \( x = 0 \).
- Étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de 0.
Indication
Le DL à l’ordre 2 suffit : la partie affine donne la tangente, le signe du terme en \( x^2 \) indique la position.
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Solution de la question 1 :
D’après l’exercice 9, on a :
\[ f(x) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} + o(x^2) \]
La partie affine du DL est \( 1 + \frac{x}{2} \), donc l’équation de la tangente est :
\[ y = 1 + \frac{x}{2} \]
Solution de la question 2 :
On a : \( f(x) – \left(1 + \frac{x}{2}\right) = \frac{3x^2}{8} + o(x^2) \)
Comme \( \frac{3x^2}{8} > 0 \) pour \( x \neq 0 \), la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0.
Exercice 15 : Asymptote et position relative
Difficile
Soit \( f(x) = x + \ln(1 + e^{-x}) \). Déterminer une équation de l’asymptote à la courbe de \( f \) en \( +\infty \) et étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Indication
Posez \( h = e^{-x} \) qui tend vers 0 quand \( x \to +\infty \), puis calculez le DL de \( f \) en fonction de \( h \).
Voir le corrigé
Solution :
Posons \( h = e^{-x} \). Quand \( x \to +\infty \), on a \( h \to 0 \) et \( x = -\ln(h) \).
On a : \( \ln(1 + h) = h – \frac{h^2}{2} + o(h^2) \)
Donc :
\[ f(x) = -\ln(h) + h – \frac{h^2}{2} + o(h^2) \]
\[ = -\ln(h) + e^{-x} – \frac{e^{-2x}}{2} + o(e^{-2x}) \]
Quand \( x \to +\infty \) :
\[ f(x) = x + e^{-x} – \frac{e^{-2x}}{2} + o(e^{-2x}) \]
La droite \( y = x \) est asymptote à la courbe en \( +\infty \).
L’écart est : \( f(x) – x = e^{-x} – \frac{e^{-2x}}{2} + o(e^{-2x}) \sim e^{-x} > 0 \)
Donc la courbe est au-dessus de son asymptote pour \( x \) grand.
Développements limités en un point quelconque
Exercice 16 : DL en un point \( a \neq 0 \)
Moyen
Calculer le développement limité de \( f(x) = \frac{1}{x} \) à l’ordre 3 au voisinage de \( x = 2 \).
Indication
Posez \( h = x – 2 \), donc \( x = 2 + h \), et calculez le DL en fonction de \( h \) qui tend vers 0.
Voir le corrigé
Solution :
Posons \( h = x – 2 \). Alors \( x = 2 + h \) et :
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{h}{2}} \]
En utilisant \( \frac{1}{1 + u} = 1 – u + u^2 – u^3 + o(u^3) \) avec \( u = \frac{h}{2} \) :
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2}\left(1 – \frac{h}{2} + \frac{h^2}{4} – \frac{h^3}{8} + o(h^3)\right) \]
\[ = \frac{1}{2} – \frac{h}{4} + \frac{h^2}{8} – \frac{h^3}{16} + o(h^3) \]
En remplaçant \( h = x – 2 \) :
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2} – \frac{(x-2)}{4} + \frac{(x-2)^2}{8} – \frac{(x-2)^3}{16} + o((x-2)^3) \]
Exercice 17 : Logarithme en un point quelconque
Moyen
Déterminer le développement limité de \( f(x) = \ln(x) \) à l’ordre 3 au voisinage de \( x = 1 \).
Indication
Posez \( h = x – 1 \) et utilisez \( \ln(x) = \ln(1 + h) \).
Voir le corrigé
Solution :
Posons \( h = x – 1 \). Alors \( x = 1 + h \) et :
\[ \ln(x) = \ln(1 + h) = h – \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} + o(h^3) \]
En remplaçant \( h = x – 1 \) :
\[ \ln(x) = (x – 1) – \frac{(x – 1)^2}{2} + \frac{(x – 1)^3}{3} + o((x – 1)^3) \]
Exercices avancés et situations complexes
Exercice 18 : Utilisation de la dérivée
Difficile
Soit \( f \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^\infty \) sur \( \mathbb{R} \) telle que :
\[ f'(x) + (1 – x^2)f(x) = \frac{1}{1 – x^2} \]
Sachant que \( f(0) = 0 \), déterminer le développement limité de \( f \) à l’ordre 5 en 0.
Indication
Écrivez \( f(x) = c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4 + c_5x^5 + o(x^5) \), dérivez, et identifiez les coefficients.
Voir le corrigé
Solution :
Posons \( f(x) = c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4 + c_5x^5 + o(x^5) \).
Alors : \( f'(x) = c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + 4c_4x^3 + 5c_5x^4 + o(x^4) \)
Et : \( \frac{1}{1 – x^2} = 1 + x^2 + x^4 + o(x^5) \)
L’équation différentielle devient :
\[ c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + 4c_4x^3 + 5c_5x^4 + (1 – x^2)(c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4) = 1 + x^2 + x^4 \]
En développant et en identifiant par ordre :
| Ordre | Équation | Coefficient |
|---|---|---|
| 0 | \( c_1 = 1 \) | \( c_1 = 1 \) |
| 1 | \( 2c_2 + c_1 = 0 \) | \( c_2 = -\frac{1}{2} \) |
| 2 | \( 3c_3 + c_2 – c_1 = 1 \) | \( c_3 = \frac{5}{6} \) |
| 3 | \( 4c_4 + c_3 – c_2 = 0 \) | \( c_4 = -\frac{1}{3} \) |
| 4 | \( 5c_5 + c_4 – c_3 = 1 \) | \( c_5 = \frac{1}{2} \) |
Donc :
\[ f(x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{5x^3}{6} – \frac{x^4}{3} + \frac{x^5}{2} + o(x^5) \]
Exercice 19 : Intégration d’un développement limité
Moyen
Calculer le développement limité de \( f(x) = \int_0^x e^{t^2} \, dt \) à l’ordre 5 au voisinage de 0.
Indication
Calculez d’abord le DL de \( e^{t^2} \) à l’ordre 4, puis intégrez terme à terme.
Voir le corrigé
Solution :
On a : \( e^{t^2} = 1 + t^2 + \frac{t^4}{2} + o(t^4) \)
En intégrant de 0 à \( x \) :
\[ f(x) = \int_0^x \left(1 + t^2 + \frac{t^4}{2}\right) dt + o(x^5) \]
\[ = \left[t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{10}\right]_0^x + o(x^5) \]
\[ f(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + o(x^5) \]
Exercice 20 : Puissance fractionnaire composée
Difficile
Déterminer le développement limité de \( f(x) = (\cos x)^{\sin x} \) à l’ordre 3 au voisinage de 0.
Indication
Utilisez l’identité \( a^b = e^{b \ln a} \), puis composez les développements limités.
Voir le corrigé
Solution :
On écrit : \( (\cos x)^{\sin x} = e^{\sin x \cdot \ln(\cos x)} \)
Calculons d’abord \( \ln(\cos x) \) :
\[ \cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \]
\[ \ln(\cos x) = \ln\left(1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) = -\frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{12} + o(x^4) \]
Ensuite : \( \sin x = x – \frac{x^3}{6} + o(x^3) \)
Donc :
\[ \sin x \cdot \ln(\cos x) = \left(x – \frac{x^3}{6}\right)\left(-\frac{x^2}{2}\right) + o(x^3) = -\frac{x^3}{2} + o(x^3) \]
Enfin :
\[ e^{-\frac{x^3}{2}} = 1 – \frac{x^3}{2} + o(x^3) \]
\[ (\cos x)^{\sin x} = 1 – \frac{x^3}{2} + o(x^3) \]