Le théorème fondamental de l’algèbre est l’un des résultats les plus importants des mathématiques. Il affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine dans l’ensemble des nombres complexes. Ce théorème, aussi appelé théorème de d’Alembert-Gauss, garantit que l’extension du corps des réels vers les complexes est suffisante pour résoudre toutes les équations polynomiales. Autrement dit, il n’est pas nécessaire d’inventer de nouveaux nombres au-delà de \( \mathbb{C} \).
Définitions préliminaires
Polynôme à coefficients complexes
Un polynôme \( P(z) \) à coefficients complexes est une expression de la forme :
P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0
\]
où \( a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{C} \) sont les coefficients, \( a_n \neq 0 \), et \( n \) est le degré du polynôme.
Racine d’un polynôme
Un nombre complexe \( \alpha \in \mathbb{C} \) est une racine (ou zéro) du polynôme \( P(z) \) si et seulement si :
P(\alpha) = 0
\]
Cela signifie qu’en substituant \( \alpha \) dans le polynôme, on obtient la valeur nulle.
Énoncé du théorème fondamental de l’algèbre
Théorème de d’Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans \( \mathbb{C} \).
De manière formelle : soit \( P(z) \in \mathbb{C}[z] \) un polynôme de degré \( n \geq 1 \). Alors il existe au moins un nombre complexe \( \alpha \in \mathbb{C} \) tel que \( P(\alpha) = 0 \).
Corollaire : Factorisation complète
Tout polynôme de degré \( n \geq 1 \) à coefficients complexes possède exactement \( n \) racines (comptées avec leur multiplicité) et peut être factorisé sous la forme :
P(z) = a_n (z – \alpha_1)(z – \alpha_2) \cdots (z – \alpha_n)
\]
où \( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{C} \) sont les racines du polynôme (certaines pouvant être égales en cas de racines multiples).
Hypothèses et conditions d’application
Pour que le théorème fondamental de l’algèbre s’applique, il faut que :
- Le polynôme soit non constant, c’est-à-dire de degré \( n \geq 1 \)
- Les coefficients appartiennent au corps des nombres complexes \( \mathbb{C} \) (ou à un sous-corps comme \( \mathbb{R} \), \( \mathbb{Q} \), \( \mathbb{Z} \))
- On recherche les racines dans \( \mathbb{C} \)
Attention : Le théorème ne s’applique pas aux polynômes constants (degré 0). Un polynôme constant \( P(z) = c \) avec \( c \neq 0 \) n’a évidemment aucune racine.
Corps algébriquement clos : comprendre la structure de C
Le théorème fondamental de l’algèbre peut être reformulé en termes de clôture algébrique.
Corps algébriquement clos
Un corps \( K \) est dit algébriquement clos si tout polynôme non constant à coefficients dans \( K \) admet au moins une racine dans \( K \).
Le corps \( \mathbb{C} \) est algébriquement clos
Le théorème de d’Alembert-Gauss affirme précisément que \( \mathbb{C} \) est algébriquement clos. En d’autres termes, il n’est pas nécessaire d’étendre davantage l’ensemble des nombres complexes pour trouver les racines de n’importe quel polynôme complexe.
Par contraste, le corps des nombres réels \( \mathbb{R} \) n’est pas algébriquement clos. Par exemple, le polynôme \( P(x) = x^2 + 1 \) n’a aucune racine réelle, mais admet deux racines complexes : \( i \) et \( -i \).
Interprétation intuitive
Pourquoi tout polynôme complexe doit-il avoir une racine ? Voici une explication intuitive :
- Comportement à l’infini : Lorsque \( |z| \) devient très grand, le terme de plus haut degré domine. Ainsi, \( |P(z)| \to +\infty \) quand \( |z| \to +\infty \).
- Continuité du module : La fonction \( z \mapsto |P(z)| \) est continue sur tout le plan complexe.
- Existence d’un minimum : Puisque \( |P(z)| \) tend vers l’infini à l’infini et est continue, elle atteint nécessairement un minimum en un certain point \( z_0 \in \mathbb{C} \).
- Le minimum est nul : On peut démontrer (ce n’est pas trivial) que si \( P(z_0) \neq 0 \), alors on peut trouver un point proche où \( |P(z)| \) est encore plus petit, ce qui contredit la minimalité. Donc \( P(z_0) = 0 \).
Interprétation graphique
Bien que les nombres complexes ne puissent pas être représentés sur une droite réelle, on peut visualiser certains aspects du théorème :
Pour un polynôme à coefficients réels, on peut aussi observer que :
- Les racines réelles correspondent aux intersections du graphe avec l’axe des abscisses
- Les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées : si \( \alpha = a + bi \) est racine, alors \( \overline{\alpha} = a – bi \) l’est aussi
Démonstration (approche de Cauchy-Argand)
Nous présentons ici une démonstration classique, accessible au niveau lycée-université, qui utilise des notions d’analyse élémentaire.
Étape 1 : Réduction au cas où \( a_0 \neq 0 \)
Soit \( P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0 \) avec \( n \geq 1 \) et \( a_n \neq 0 \).
Si \( a_0 = 0 \), alors \( P(0) = 0 \), et 0 est une racine évidente. On peut donc supposer \( a_0 \neq 0 \).
Étape 2 : Existence d’un minimum du module
Considérons la fonction \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{R}^+ \) définie par \( f(z) = |P(z)| \).
Comportement à l’infini : Pour \( |z| \) suffisamment grand, on a :
|P(z)| = |a_n| |z|^n \left| 1 + \frac{a_{n-1}}{a_n z} + \cdots + \frac{a_0}{a_n z^n} \right|
\]
Quand \( |z| \to +\infty \), les termes \( \frac{a_k}{a_n z^{n-k}} \to 0 \), donc \( |P(z)| \sim |a_n| |z|^n \to +\infty \).
Il existe donc un rayon \( R > 0 \) tel que pour tout \( |z| > R \), on ait \( |P(z)| > |P(0)| \).
Compacité : L’ensemble \( K = \{ z \in \mathbb{C} : |z| \leq R \} \) est un compact (fermé borné de \( \mathbb{C} \)).
La fonction \( f \) étant continue sur \( K \), elle atteint son minimum en un point \( z_0 \in K \).
Posons \( m = |P(z_0)| \). Pour tout \( z \in \mathbb{C} \), on a \( |P(z)| \geq m \).
Étape 3 : Le minimum est nécessairement nul
Supposons par l’absurde que \( m > 0 \), c’est-à-dire \( P(z_0) \neq 0 \).
En effectuant un changement de variable \( w = z – z_0 \), on peut réécrire le polynôme sous la forme :
P(z_0 + w) = b_0 + b_k w^k + b_{k+1} w^{k+1} + \cdots + b_n w^n
\]
où \( b_0 = P(z_0) \neq 0 \), et \( k \geq 1 \) est le plus petit indice tel que \( b_k \neq 0 \).
Choisissons \( w \) de la forme \( w = t \omega \) où \( t \in \mathbb{R}^+ \) est petit et \( \omega \) est une racine \( k \)-ième de \( -\frac{b_0}{b_k} \) :
\omega^k = -\frac{b_0}{b_k}
\]
Alors :
P(z_0 + t\omega) &= b_0 + b_k (t\omega)^k + O(t^{k+1}) \\
&= b_0 + b_k t^k \omega^k + O(t^{k+1}) \\
&= b_0 – b_0 t^k + O(t^{k+1}) \\
&= b_0(1 – t^k) + O(t^{k+1})
\end{align*}
Pour \( t \) suffisamment petit, on a \( |P(z_0 + t\omega)| < |b_0| = |P(z_0)| = m \), ce qui contredit la minimalité de \( m \).
Donc nécessairement \( m = 0 \), c’est-à-dire \( P(z_0) = 0 \). Le polynôme admet bien une racine.
Exemples et exercices résolus
Exemple 1 : Polynôme du second degré
Énoncé : Factoriser le polynôme \( P(z) = z^2 – 2z + 2 \) dans \( \mathbb{C} \).
Solution :
Calculons le discriminant :
\Delta = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4
\]
Le discriminant est négatif, donc le polynôme n’a pas de racines réelles. Les racines complexes sont :
z_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i
\]
Le polynôme se factorise donc :
P(z) = (z – (1+i))(z – (1-i))
\]
On observe que les racines sont bien conjuguées : \( \overline{1+i} = 1-i \).
Exemple 2 : Polynôme du troisième degré
Énoncé : Sachant que \( z = i \) est racine du polynôme \( P(z) = z^3 – iz^2 – z + i \), factoriser complètement \( P(z) \).
Solution :
Puisque \( i \) est racine, \( (z – i) \) divise \( P(z) \). Effectuons la division euclidienne :
P(z) = (z – i)(z^2 + 0z – 1) = (z – i)(z^2 – 1)
\]
On factorise ensuite \( z^2 – 1 \) :
P(z) = (z – i)(z – 1)(z + 1)
\]
Les trois racines sont donc : \( i, 1, -1 \).
Exercice résolu : Nombre de racines
Question : Combien de racines complexes possède le polynôme \( P(z) = 2z^5 – 3z^4 + z^2 – 7 \) ?
Réponse : D’après le théorème fondamental de l’algèbre, un polynôme de degré \( n \) possède exactement \( n \) racines (comptées avec multiplicité). Ici, le degré est 5, donc \( P(z) \) possède exactement 5 racines complexes.
Cas particulier : polynômes à coefficients réels
Lorsqu’un polynôme a tous ses coefficients réels, ses racines complexes non réelles apparaissent toujours par paires conjuguées.
Propriété des racines conjuguées
Soit \( P(x) \in \mathbb{R}[x] \) un polynôme à coefficients réels. Si \( \alpha = a + bi \) (avec \( b \neq 0 \)) est une racine de \( P \), alors son conjugué \( \overline{\alpha} = a – bi \) est aussi racine de \( P \), avec la même multiplicité.
Conséquence : Un polynôme réel de degré impair possède toujours au moins une racine réelle (car les racines complexes viennent par paires, et un nombre impair moins un nombre pair reste impair, donc au moins 1 racine réelle).
Applications du théorème fondamental de l’algèbre
Ce théorème a des conséquences profondes dans de nombreux domaines :
- Algèbre linéaire : Réduction d’endomorphismes, diagonalisation des matrices
- Analyse : Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles, calcul de primitives
- Théorie des nombres : Toute extension algébrique de \( \mathbb{Q} \) peut être plongée dans \( \mathbb{C} \)
- Physique et ingénierie : Résolution d’équations différentielles, analyse de circuits électriques, traitement du signal
Pourquoi ce théorème est-il fondamental ?
Le terme « fondamental » dans le nom de ce théorème n’est pas usurpé. Voici pourquoi ce résultat est si important :
- Complétude algébrique : Il montre que \( \mathbb{C} \) est « suffisant » pour résoudre toutes les équations polynomiales. Pas besoin d’inventer de nouveaux nombres !
- Lien entre algèbre et analyse : Paradoxalement, bien que son énoncé soit purement algébrique, toutes les démonstrations connues font appel à des outils d’analyse (continuité, compacité, théorème de Liouville, etc.)
- Reconnaissance des nombres complexes : Historiquement, ce théorème a joué un rôle crucial dans l’acceptation des nombres complexes par la communauté mathématique
- Fondement de nombreuses théories : Il est à la base de résultats importants en théorie de Galois, en analyse complexe, et en algèbre commutative
Histoire et démonstrations célèbres
L’histoire du théorème fondamental de l’algèbre est fascinante et s’étend sur plusieurs siècles :
- 1746 : Jean le Rond d’Alembert propose la première tentative de démonstration (incomplète)
- 1799 : Carl Friedrich Gauss présente sa première démonstration (également incomplète selon les standards modernes)
- 1814 : Jean-Robert Argand propose une démonstration géométrique élégante
- XIXe siècle : Gauss propose au total quatre démonstrations différentes du théorème
Aujourd’hui, on connaît de nombreuses preuves utilisant des techniques variées : analyse complexe (théorème de Liouville, théorème de Rouché), topologie algébrique (théorie de l’homotopie), algèbre (théorie de Galois), et même probabilités (mouvement brownien) !
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre le nombre de racines distinctes et le degré : Un polynôme de degré \( n \) a \( n \) racines comptées avec multiplicité. Par exemple, \( (z-1)^3 \) a degré 3 mais une seule racine distincte (1, de multiplicité 3).
- Oublier les racines complexes : Le théorème garantit l’existence de racines dans \( \mathbb{C} \), pas dans \( \mathbb{R} \). Un polynôme réel peut très bien n’avoir aucune racine réelle.
- Penser que le théorème donne une méthode pour trouver les racines : Le théorème est existentiel, il garantit l’existence mais ne fournit pas de formule explicite (sauf pour les degrés 1, 2, 3, et 4).
- Appliquer le théorème aux polynômes constants : Le théorème nécessite \( n \geq 1 \).