Maîtriser la résolution d’équations de degré second est une compétence fondamentale en mathématiques. Cette page propose des exercices progressifs pour travailler les différentes méthodes : calcul du discriminant, factorisation directe, reconnaissance d’identités remarquables, et résolution d’équations avec paramètres. Chaque exercice est accompagné d’indications pédagogiques et de solutions détaillées pour faciliter l’apprentissage du trinôme du second degré.
Résolution par le discriminant
Les exercices suivants vous permettent de vous entraîner au calcul du discriminant \( \Delta = b^2 – 4ac \) et à l’application des formules de résolution selon le signe de \( \Delta \).
Exercice 1 : Équation simple avec discriminant positif
Facile
Résoudre l’équation suivante dans \( \mathbb{R} \) :
\[ x^2 – 5x + 6 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \times 1 \times 6 = 25 – 24 = 1 \]
Comme \( \Delta = 1 > 0 \), l’équation admet deux solutions distinctes.
Calcul des solutions :
\[ x_1 = \frac{-(-5) – \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 – 1}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]
Conclusion :
L’ensemble des solutions est \( S = \{2 ; 3\} \).
Exercice 2 : Équation avec discriminant nul
Facile
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation :
\[ 4x^2 – 12x + 9 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ \Delta = (-12)^2 – 4 \times 4 \times 9 = 144 – 144 = 0 \]
Solution unique :
Comme \( \Delta = 0 \), l’équation possède une solution double :
\[ x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-12)}{2 \times 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
Ensemble solution :
\( S = \left\{\frac{3}{2}\right\} \)
Exercice 3 : Équation sans solution réelle
Facile
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :
\[ 2x^2 + x + 3 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ \Delta = 1^2 – 4 \times 2 \times 3 = 1 – 24 = -23 \]
Conclusion :
Puisque \( \Delta = -23 < 0 \), l’équation n’admet aucune solution réelle.
\( S = \emptyset \)
Exercice 4 : Équation avec racines irrationnelles
Moyen
Résoudre l’équation suivante et donner les solutions sous forme exacte :
\[ 3x^2 – 7x + 2 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ \Delta = (-7)^2 – 4 \times 3 \times 2 = 49 – 24 = 25 \]
Solutions :
Comme \( \Delta = 25 > 0 \) et \( \sqrt{25} = 5 \) :
\[ x_1 = \frac{7 – 5}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
\[ x_2 = \frac{7 + 5}{2 \times 3} = \frac{12}{6} = 2 \]
Résultat :
\( S = \left\{\frac{1}{3} ; 2\right\} \)
Exercice 5 : Équation à coefficients fractionnaires
Moyen
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :
\[ \frac{1}{2}x^2 – 2x + 1 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\( \Delta = 16 – 8 = 8 \)
\[ x_1 = \frac{4 – \sqrt{8}}{2} = \frac{4 – 2\sqrt{2}}{2} = 2 – \sqrt{2} \]
\[ x_2 = \frac{4 + \sqrt{8}}{2} = 2 + \sqrt{2} \]
Méthode 2 : Directe
Avec \( a = \frac{1}{2} \), \( b = -2 \), \( c = 1 \) :
\( \Delta = 4 – 4 \times \frac{1}{2} \times 1 = 4 – 2 = 2 \)
Conclusion :
\( S = \{2 – \sqrt{2} ; 2 + \sqrt{2}\} \)
Résolution par factorisation directe
Ces exercices privilégient les techniques de factorisation sans calcul systématique du discriminant : facteur commun, identités remarquables, et produits évidents.
Exercice 6 : Factorisation par mise en évidence
Facile
Résoudre sans utiliser le discriminant :
\[ x^2 + 5x = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ x^2 + 5x = x(x + 5) = 0 \]Règle du produit nul :
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
Donc : \( x = 0 \) ou \( x + 5 = 0 \)
D’où : \( x = 0 \) ou \( x = -5 \)
Solution :
\( S = \{-5 ; 0\} \)
Exercice 7 : Identité remarquable \( a^2 – b^2 \)
Facile
Résoudre en reconnaissant une identité remarquable :
\[ x^2 – 9 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
Factorisation :
\[ x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) = 0 \]
Solutions :
\( x – 3 = 0 \) donc \( x = 3 \)
\( x + 3 = 0 \) donc \( x = -3 \)
Résultat :
\( S = \{-3 ; 3\} \)
Exercice 8 : Identité remarquable \( (a-b)^2 \)
Facile
Résoudre l’équation suivante :
\[ x^2 – 6x + 9 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
Résolution :
\[ (x – 3)^2 = 0 \]
Un carré est nul si et seulement si la base est nulle.
Donc \( x – 3 = 0 \), soit \( x = 3 \)
Solution double :
\( S = \{3\} \)
Exercice 9 : Factorisation d’une expression factorisée
Moyen
Résoudre l’équation :
\[ (2x – 1)(x + 3) – (2x – 1)(4x – 5) = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ (2x – 1)(x + 3) – (2x – 1)(4x – 5) = (2x – 1)[(x + 3) – (4x – 5)] \]Simplification :
\[ (x + 3) – (4x – 5) = x + 3 – 4x + 5 = -3x + 8 \]
Équation factorisée :
\[ (2x – 1)(-3x + 8) = 0 \]
Solutions :
\( 2x – 1 = 0 \) donne \( x = \frac{1}{2} \)
\( -3x + 8 = 0 \) donne \( x = \frac{8}{3} \)
Résultat :
\( S = \left\{\frac{1}{2} ; \frac{8}{3}\right\} \)
Exercice 10 : Équation avec coefficient nul
Facile
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :
\[ 5x^2 – 20 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ 5x^2 = 20 \]
\[ x^2 = 4 \]Extraction de la racine :
\( x = \sqrt{4} = 2 \) ou \( x = -\sqrt{4} = -2 \)
Alternative – Factorisation :
\[ 5x^2 – 20 = 5(x^2 – 4) = 5(x – 2)(x + 2) = 0 \]
Solution :
\( S = \{-2 ; 2\} \)
Mise sous forme canonique et résolution
La forme canonique permet de transformer une équation du second degré en une expression du type \( a(x – \alpha)^2 + \beta = 0 \), facilitant ainsi la résolution graphique et algébrique.
Exercice 11 : Forme canonique directe
Moyen
Soit l’équation donnée sous forme canonique :
\[ 2(x – 1)^2 – 8 = 0 \]
- Résoudre cette équation.
- Donner les coordonnées du sommet de la parabole associée.
Indication
Voir le corrigé
\[ 2(x – 1)^2 – 8 = 0 \]
\[ 2(x – 1)^2 = 8 \]
\[ (x – 1)^2 = 4 \]
\[ x – 1 = \pm 2 \]Donc \( x = 1 + 2 = 3 \) ou \( x = 1 – 2 = -1 \)
\( S = \{-1 ; 3\} \)
Solution de la question 2 :
L’équation initiale peut s’écrire : \( f(x) = 2(x – 1)^2 – 8 \)
La forme canonique est \( a(x – \alpha)^2 + \beta \) avec \( \alpha = 1 \) et \( \beta = -8 \)
Le sommet de la parabole a pour coordonnées \( S(1 ; -8) \)
Exercice 12 : Transformation en forme canonique
Moyen
Mettre l’équation suivante sous forme canonique puis la résoudre :
\[ x^2 + 4x – 5 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\( 2p = 4 \) donc \( p = 2 \)
\[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 – 4 \]
Forme canonique :
\[ x^2 + 4x – 5 = (x + 2)^2 – 4 – 5 = (x + 2)^2 – 9 = 0 \]
Résolution :
\[ (x + 2)^2 = 9 \]
\[ x + 2 = \pm 3 \]
\( x = -2 + 3 = 1 \) ou \( x = -2 – 3 = -5 \)
Solution :
\( S = \{-5 ; 1\} \)
Exercice 13 : Forme canonique avec coefficient \( a \neq 1 \)
Difficile
Déterminer la forme canonique de l’expression suivante, puis résoudre l’équation associée :
\[ 3x^2 – 12x + 9 = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) \]Complétion du carré :
Dans \( x^2 – 4x \), on a \( 2p = 4 \) donc \( p = 2 \)
\[ x^2 – 4x = (x – 2)^2 – 4 \]
Forme canonique :
\[ 3(x^2 – 4x + 3) = 3[(x – 2)^2 – 4 + 3] = 3[(x – 2)^2 – 1] = 3(x – 2)^2 – 3 \]
Résolution :
\[ 3(x – 2)^2 – 3 = 0 \]
\[ 3(x – 2)^2 = 3 \]
\[ (x – 2)^2 = 1 \]
\[ x – 2 = \pm 1 \]
\( x = 2 + 1 = 3 \) ou \( x = 2 – 1 = 1 \)
Solution :
\( S = \{1 ; 3\} \)
Équations avec paramètres
Les équations paramétrées comportent un ou plusieurs paramètres (souvent notés \( m \), \( k \), ou \( a \)) qu’il faut déterminer selon des conditions données sur le nombre ou la nature des solutions.
Exercice 14 : Déterminer le paramètre pour deux solutions distinctes
Difficile
Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre \( m \) l’équation suivante admet-elle deux solutions distinctes ?
\[ x^2 + 2mx + (m – 3) = 0 \]
Indication
Voir le corrigé
\[ \Delta = (2m)^2 – 4 \times 1 \times (m – 3) \]
\[ \Delta = 4m^2 – 4m + 12 \]
\[ \Delta = 4(m^2 – m + 3) \]
Condition pour deux solutions distinctes :
On cherche \( \Delta > 0 \), soit \( 4(m^2 – m + 3) > 0 \)
Comme \( 4 > 0 \), il faut \( m^2 – m + 3 > 0 \)
Étude du signe de \( m^2 – m + 3 \) :
Discriminant de ce trinôme : \( \Delta’ = 1 – 12 = -11 < 0 \)
Le coefficient de \( m^2 \) étant positif et \( \Delta’ < 0 \), le trinôme est toujours strictement positif.
Conclusion :
L’équation admet deux solutions distinctes pour toute valeur de \( m \in \mathbb{R} \).
Exercice 15 : Paramètre pour une solution double
Difficile
Déterminer la valeur du paramètre \( k \) pour laquelle l’équation suivante admet une solution double, puis calculer cette solution.
\[ kx^2 – 6x + 4 = 0 \] (avec \( k \neq 0 \))
Indication
Voir le corrigé
\[ \Delta = (-6)^2 – 4 \times k \times 4 = 36 – 16k \]
Condition \( \Delta = 0 \) :
\[ 36 – 16k = 0 \]
\[ 16k = 36 \]
\[ k = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} \]
Calcul de la solution double :
Pour \( k = \frac{9}{4} \), la solution est :
\[ x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \times \frac{9}{4}} = \frac{6}{\frac{9}{2}} = \frac{6 \times 2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \]
Conclusion :
Pour \( k = \frac{9}{4} \), l’équation admet une solution double \( x_0 = \frac{4}{3} \).
Exercice 16 : Condition sur les coefficients
Difficile
Montrer que si les coefficients \( a \) et \( c \) d’une équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) sont de signes opposés, alors l’équation admet nécessairement deux solutions réelles distinctes.
Indication
Voir le corrigé
Conséquence sur \( ac \) :
Si \( a \) et \( c \) sont de signes opposés, alors \( ac < 0 \).
Calcul de \( \Delta \) :
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Puisque \( ac < 0 \), on a \( -4ac > 0 \)
De plus, \( b^2 \geq 0 \) pour tout réel \( b \)
Conclusion :
\( \Delta = b^2 – 4ac \) est la somme de deux termes positifs ou nuls, dont au moins un (\( -4ac \)) est strictement positif.
Donc \( \Delta > 0 \), ce qui implique que l’équation admet deux solutions réelles distinctes.
Applications et problèmes concrets
Les équations du second degré modélisent de nombreuses situations concrètes en géométrie, physique et optimisation. Ces exercices mettent en pratique la résolution dans des contextes appliqués.
Exercice 17 : Problème géométrique
Moyen
Un rectangle a une aire de 48 m² et son périmètre est de 28 m. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
Indication
Voir le corrigé
- Aire : \( L \times \ell = 48 \)
- Périmètre : \( 2(L + \ell) = 28 \), donc \( L + \ell = 14 \)
Transformation :
De \( L + \ell = 14 \), on tire \( \ell = 14 – L \)
En substituant dans l’équation d’aire :
\[ L(14 – L) = 48 \]
\[ 14L – L^2 = 48 \]
\[ -L^2 + 14L – 48 = 0 \]
\[ L^2 – 14L + 48 = 0 \]
Résolution :
\( \Delta = 196 – 192 = 4 \)
\[ L_1 = \frac{14 – 2}{2} = 6 \quad \text{et} \quad L_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8 \]
Conclusion :
Les dimensions du rectangle sont 6 m et 8 m.
(Si \( L = 6 \) alors \( \ell = 8 \), et réciproquement)
Exercice 18 : Trajectoire parabolique
Difficile
Un ballon est lancé depuis le sol. Sa hauteur \( h \) (en mètres) en fonction du temps \( t \) (en secondes) est donnée par :
\[ h(t) = -5t^2 + 20t \]
- À quels instants le ballon touche-t-il le sol ?
- Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
- À quel instant cette hauteur maximale est-elle atteinte ?
Indication
Voir le corrigé
\[ -5t^2 + 20t = 0 \]
\[ t(-5t + 20) = 0 \]
Donc \( t = 0 \) (instant de lancement) ou \( -5t + 20 = 0 \), soit \( t = 4 \)
Le ballon touche le sol à \( t = 0 \) s et à \( t = 4 \) s.
Solution de la question 2 :
La hauteur maximale correspond à l’ordonnée du sommet de la parabole.
L’abscisse du sommet est : \( t_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = \frac{20}{10} = 2 \) s
La hauteur maximale est :
\[ h(2) = -5 \times 4 + 20 \times 2 = -20 + 40 = 20 \text{ m} \]
Solution de la question 3 :
La hauteur maximale de 20 m est atteinte à \( t = 2 \) s.
Vérification par forme canonique :
\[ h(t) = -5t^2 + 20t = -5(t^2 – 4t) = -5[(t – 2)^2 – 4] = -5(t – 2)^2 + 20 \]
On retrouve bien le sommet \( S(2 ; 20) \).