Dans ce cours complet, nous explorerons en profondeur la théorie de l’intégrale de Riemann, ses applications pratiques et ses liens avec d’autres concepts d’analyse. Que vous prépariez un examen universitaire ou cherchiez à approfondir vos connaissances, ce guide vous accompagnera étape par étape.
Subdivisions et fonctions bornées
Subdivision d’un intervalle
Pour construire l’intégrale de Riemann, nous devons d’abord comprendre comment découper un intervalle en morceaux plus petits.
Définition : Subdivision
Soit \([a, b]\) un intervalle fermé avec \(a < b\). Une subdivision (ou partition) de \([a, b]\) est une suite finie de points :
\sigma = (x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n)
\]
telle que :
a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b \]
Chaque sous-intervalle \([x_{i-1}, x_i]\) constitue un « morceau » de l’intervalle initial. La subdivision découpe ainsi \([a, b]\) en \(n\) parties.
![Intégrale de Riemann - Subdivision d'un intervalle [a,b]](https://pediamath.com/wp-content/uploads/2025/12/1000146978-300x158.webp)
Pas d’une subdivision
Définition : Pas de subdivision
Le pas (ou norme) d’une subdivision \(\sigma = (x_0, x_1, \ldots, x_n)\) est défini par :
\delta(\sigma) = \max_{1 \leq i \leq n} (x_i – x_{i-1})
\]
C’est la longueur du plus grand sous-intervalle de la subdivision.
Subdivision plus fine
On dit qu’une subdivision \(\sigma’\) est plus fine qu’une subdivision \(\sigma\) si tous les points de \(\sigma\) appartiennent à \(\sigma’\). Autrement dit, \(\sigma’\) contient plus de points de découpage.
Les sommes de Riemann : première approche intuitive
L’idée centrale de Riemann est d’approximer l’aire sous une courbe en la découpant en rectangles. Mais comment choisir la hauteur de chaque rectangle ?
Construction d’une somme de Riemann
Définition : Somme de Riemann
Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) une fonction bornée, \(\sigma = (x_0, x_1, \ldots, x_n)\) une subdivision de \([a, b]\), et pour chaque \(i \in \{1, \ldots, n\}\), soit \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\) un point arbitraire.
La somme de Riemann associée à \(f\), \(\sigma\) et aux points \((\xi_i)\) est :
S(f, \sigma, (\xi_i)) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)(x_i – x_{i-1})
\]
Géométriquement, si \(f(\xi_i) > 0\), le terme \(f(\xi_i)(x_i – x_{i-1})\) représente l’aire d’un rectangle de base \((x_i – x_{i-1})\) et de hauteur \(f(\xi_i)\).
Somme de Riemann régulière
Un cas particulier important est celui de la subdivision régulière, où tous les sous-intervalles ont la même longueur \(\frac{b-a}{n}\).
Dans ce cas, en prenant \(\xi_i = a + i\frac{b-a}{n}\) (extrémité droite de chaque sous-intervalle), la somme de Riemann devient :
S_n(f) = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a + i\frac{b-a}{n}\right)
\]
Cette formule est extrêmement utile pour calculer des limites de suites.
Sommes de Darboux et critère d’intégrabilité
Le mathématicien français Gaston Darboux a introduit une approche plus systématique en utilisant les valeurs extrémales de la fonction sur chaque sous-intervalle.
Définition des sommes de Darboux
Définition : Sommes de Darboux
Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) une fonction bornée et \(\sigma = (x_0, x_1, \ldots, x_n)\) une subdivision de \([a, b]\).
Pour chaque \(i \in \{1, \ldots, n\}\), on pose :
m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \quad \text{et} \quad M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)
\]
La somme de Darboux inférieure est :
s(f, \sigma) = \sum_{i=1}^{n} m_i (x_i – x_{i-1})
\]
La somme de Darboux supérieure est :
S(f, \sigma) = \sum_{i=1}^{n} M_i (x_i – x_{i-1})
\]
Propriétés essentielles
Propriété 1 : Encadrement
Pour toute subdivision \(\sigma\), on a toujours :
s(f, \sigma) \leq S(f, \sigma)
\]
Propriété 2 : Raffinement
Si \(\sigma’\) est une subdivision plus fine que \(\sigma\), alors :
s(f, \sigma) \leq s(f, \sigma’) \leq S(f, \sigma’) \leq S(f, \sigma)
\]
Autrement dit, affiner une subdivision fait augmenter les sommes inférieures et diminuer les sommes supérieures.
Intégrales de Darboux
On définit ensuite deux nombres remarquables :
\underline{I}(f) = \sup_{\sigma} s(f, \sigma) \quad \text{(intégrale de Darboux inférieure)}
\]
\[
\overline{I}(f) = \inf_{\sigma} S(f, \sigma) \quad \text{(intégrale de Darboux supérieure)}
\]
où le supremum et l’infimum sont pris sur toutes les subdivisions possibles de \([a, b]\).
Propriété fondamentale
On a toujours : \(\underline{I}(f) \leq \overline{I}(f)\)
Définition rigoureuse de l’intégrale de Riemann
Nous sommes maintenant prêts à donner la définition formelle de l’intégrale de Riemann.
Définition : Fonction Riemann-intégrable
Une fonction bornée \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est dite Riemann-intégrable (ou simplement intégrable) sur \([a, b]\) si :
\underline{I}(f) = \overline{I}(f)
\]
Dans ce cas, cette valeur commune est appelée intégrale de Riemann de \(f\) sur \([a, b]\), notée :
\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b f
\]
Remarque importante : La variable d’intégration (ici \(x\) ou \(t\)) est une variable muette : elle n’a aucune signification en dehors du symbole intégral. L’intégrale est un nombre qui ne dépend que de la fonction \(f\) et des bornes \(a\) et \(b\).
Critère pratique d’intégrabilité (Critère de Riemann)
Théorème : Critère de Riemann-intégrabilité
Une fonction bornée \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est Riemann-intégrable si et seulement si :
\forall \varepsilon > 0, \; \exists \sigma \text{ subdivision de } [a,b] \text{ telle que } S(f, \sigma) – s(f, \sigma) < \varepsilon \]
Ce critère signifie qu’on peut rendre la différence entre les sommes supérieures et inférieures aussi petite que l’on veut en choisissant une subdivision suffisamment fine.
Quelles fonctions sont Riemann-intégrables ?
Maintenant que nous avons la définition, une question naturelle se pose : quelles fonctions peut-on intégrer au sens de Riemann ?
Les fonctions continues
Théorème fondamental
Toute fonction continue sur un segment \([a, b]\) est Riemann-intégrable.
Preuve (esquisse) : La continuité uniforme garantit que pour \(\varepsilon > 0\) donné, on peut trouver \(\delta > 0\) tel que pour toute subdivision de pas inférieur à \(\delta\), l’oscillation de \(f\) sur chaque sous-intervalle est petite, rendant \(S(f, \sigma) – s(f, \sigma) < \varepsilon\).
Les fonctions monotones
Théorème
Toute fonction monotone (croissante ou décroissante) sur \([a, b]\) est Riemann-intégrable.
Les fonctions continues par morceaux
Une fonction est dite continue par morceaux si elle est continue sauf en un nombre fini de points.
Théorème
Toute fonction continue par morceaux sur \([a, b]\) est Riemann-intégrable.
Caractérisation de Lebesgue
En 1903, le mathématicien Henri Lebesgue a donné une caractérisation remarquable de l’intégrabilité au sens de Riemann.
Théorème de caractérisation (Lebesgue)
Une fonction bornée \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est Riemann-intégrable si et seulement si l’ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle (c’est-à-dire négligeable).
Exemple de fonction NON intégrable
Exemple : La fonction de Dirichlet
Considérons la fonction indicatrice des rationnels sur \([0, 1]\) :
f(x) = \begin{cases}
1 & \text{si } x \in \mathbb{Q} \\
0 & \text{si } x \notin \mathbb{Q}
\end{cases}
\]
Pour toute subdivision \(\sigma\), on a :
- \(m_i = 0\) (il y a toujours des irrationnels dans chaque sous-intervalle)
- \(M_i = 1\) (il y a toujours des rationnels dans chaque sous-intervalle)
Donc \(s(f, \sigma) = 0\) et \(S(f, \sigma) = 1\) pour toute subdivision. On a \(\underline{I}(f) = 0 \neq 1 = \overline{I}(f)\).
Conclusion : Cette fonction n’est pas Riemann-intégrable car elle est discontinue partout.
Propriétés fondamentales de l’intégrale de Riemann
L’intégrale de Riemann possède des propriétés algébriques et analytiques essentielles.
Linéarité
Théorème : Linéarité de l’intégrale
Soient \(f, g : [a, b] \to \mathbb{R}\) deux fonctions Riemann-intégrables et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). Alors \(\lambda f + \mu g\) est Riemann-intégrable et :
\int_a^b (\lambda f(x) + \mu g(x)) \, dx = \lambda \int_a^b f(x) \, dx + \mu \int_a^b g(x) \, dx
\]
Positivité
Théorème : Positivité
Si \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est Riemann-intégrable et \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [a, b]\), alors :
\int_a^b f(x) \, dx \geq 0
\]
Croissance
Corollaire : Croissance de l’intégrale
Si \(f, g : [a, b] \to \mathbb{R}\) sont Riemann-intégrables avec \(f(x) \leq g(x)\) pour tout \(x \in [a, b]\), alors :
\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx
\]
Relation de Chasles
Théorème : Relation de Chasles
Si \(f\) est Riemann-intégrable sur un intervalle \(I\) et si \(a, b, c \in I\), alors :
\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx
\]
Cette propriété permet de découper une intégrale ou de recoller des intégrales adjacentes.
Inégalité de la moyenne
Théorème : Inégalité de la moyenne
Si \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est Riemann-intégrable et si \(m \leq f(x) \leq M\) pour tout \(x \in [a, b]\), alors :
m(b – a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b – a)
\]
Formule de la moyenne
Théorème de la moyenne
Si \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est continue, alors il existe \(c \in [a, b]\) tel que :
\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b – a)
\]
Géométriquement, cela signifie qu’il existe un point où la hauteur \(f(c)\) donne un rectangle de même aire que l’aire sous la courbe.
Théorème fondamental de l’analyse
Le lien profond entre dérivation et intégration est établi par le théorème fondamental de l’analyse.
Fonction définie par une intégrale
Théorème fondamental de l’analyse (première partie)
Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) une fonction continue. Pour tout \(x \in [a, b]\), définissons :
F(x) = \int_a^x f(t) \, dt
\]
Alors :
- \(F\) est continue sur \([a, b]\)
- \(F\) est dérivable sur \([a, b]\) et \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in [a, b]\)
Autrement dit, \(F\) est une primitive de \(f\).
Interprétation : Ce théorème affirme que toute fonction continue admet une primitive, et qu’on peut la construire explicitement par intégration.
Calcul d’intégrales par primitives
Théorème fondamental de l’analyse (deuxième partie)
Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) une fonction continue. Si \(F\) est une primitive quelconque de \(f\) sur \([a, b]\), alors :
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b
\]
Conséquence pratique : Pour calculer une intégrale, il suffit de trouver une primitive et d’évaluer la différence entre ses valeurs aux bornes !
Exemple d’application
Calculons \(\displaystyle \int_0^1 x^2 \, dx\).
Solution :
Une primitive de \(f(x) = x^2\) est \(F(x) = \frac{x^3}{3}\). Donc :
\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}
\]
Comparaison : Intégrale de Riemann vs Intégrale de Lebesgue
La question revient souvent : quelle est la différence entre l’intégrale de Riemann et l’intégrale de Lebesgue ?
Différences conceptuelles
| Aspect | Intégrale de Riemann | Intégrale de Lebesgue |
|---|---|---|
| Découpage | Découpe l’axe des x (domaine) | Découpe l’axe des y (image) |
| Classe de fonctions | Fonctions avec discontinuités de mesure nulle | Classe beaucoup plus large (fonctions mesurables) |
| Passage à la limite | Conditions restrictives | Théorèmes puissants (convergence dominée) |
| Simplicité | Plus intuitive et accessible | Nécessite la théorie de la mesure |
Quand utiliser quelle intégrale ?
- Pour l’enseignement secondaire et premier cycle : L’intégrale de Riemann suffit amplement pour les fonctions usuelles (polynômes, trigonométriques, exponentielles).
- Pour l’analyse fonctionnelle et les probabilités : L’intégrale de Lebesgue devient indispensable.
- Bonne nouvelle : Quand une fonction est Riemann-intégrable, les deux intégrales coïncident !
Exercices corrigés détaillés
Exercice 1 : Calcul d’intégrale par sommes de Riemann
Énoncé
Calculer \(\displaystyle \int_0^2 (3x + 1) \, dx\) en utilisant des sommes de Riemann avec une subdivision régulière, puis vérifier avec une primitive.
Solution détaillée
Méthode 1 : Sommes de Riemann
On subdivise \([0, 2]\) en \(n\) sous-intervalles égaux de longueur \(\Delta x = \frac{2}{n}\).
Les points de la subdivision sont : \(x_i = 0 + i \cdot \frac{2}{n} = \frac{2i}{n}\) pour \(i = 0, 1, \ldots, n\).
Prenons \(\xi_i = x_i = \frac{2i}{n}\) (extrémité droite). La somme de Riemann est :
S_n &= \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x \\
&= \sum_{i=1}^{n} \left(3 \cdot \frac{2i}{n} + 1\right) \cdot \frac{2}{n} \\
&= \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{6i}{n} + 1\right) \cdot \frac{2}{n} \\
&= \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{12i}{n^2} + \frac{2}{n}\right) \\
&= \frac{12}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i + \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} 1
\end{align*}
Utilisons les formules : \(\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\) et \(\sum_{i=1}^{n} 1 = n\).
S_n &= \frac{12}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2}{n} \cdot n \\
&= \frac{12(n+1)}{2n} + 2 \\
&= \frac{6(n+1)}{n} + 2 \\
&= 6\left(1 + \frac{1}{n}\right) + 2 \\
&= 6 + \frac{6}{n} + 2 \\
&= 8 + \frac{6}{n}
\end{align*}
Quand \(n \to +\infty\) :
\int_0^2 (3x + 1) \, dx = \lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left(8 + \frac{6}{n}\right) = 8
\]
Méthode 2 : Avec une primitive
Une primitive de \(f(x) = 3x + 1\) est \(F(x) = \frac{3x^2}{2} + x\).
\int_0^2 (3x + 1) \, dx = \left[\frac{3x^2}{2} + x\right]_0^2 = \left(\frac{3 \cdot 4}{2} + 2\right) – 0 = 6 + 2 = 8
\]
Conclusion : Les deux méthodes donnent le même résultat : \(\boxed{8}\)
Exercice 2 : Intégrabilité d’une fonction
Énoncé
Montrer que la fonction \(f(x) = |x|\) est Riemann-intégrable sur \([-1, 1]\) et calculer son intégrale.
Solution
\(f(x) = |x|\) est continue sur \([-1, 1]\) (elle est continue en tout point, y compris en \(x = 0\) où les limites à gauche et à droite valent 0).
Toute fonction continue sur un segment est Riemann-intégrable. Donc \(f\) est Riemann-intégrable sur \([-1, 1]\).
Calcul de l’intégrale :
On utilise la relation de Chasles en coupant en \(x = 0\) :
\int_{-1}^{1} |x| \, dx &= \int_{-1}^{0} |x| \, dx + \int_{0}^{1} |x| \, dx \\
&= \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx \\
&= \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} \\
&= \left(0 – \left(-\frac{1}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} – 0\right) \\
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\
&= 1
\end{align*}
Réponse : \(\boxed{\int_{-1}^{1} |x| \, dx = 1}\)
Exercice 3 : Calcul avec changement de variable (avancé)
Énoncé
Calculer \(\displaystyle I = \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx\).
Solution
On utilise la formule trigonométrique : \(\sin^2(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{2}\).
I &= \int_0^{\pi/2} \frac{1 – \cos(2x)}{2} \, dx \\
&= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1 – \cos(2x)) \, dx \\
&= \frac{1}{2} \left[\int_0^{\pi/2} 1 \, dx – \int_0^{\pi/2} \cos(2x) \, dx\right] \\
&= \frac{1}{2} \left[x – \frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi/2} \\
&= \frac{1}{2} \left[\left(\frac{\pi}{2} – \frac{\sin(\pi)}{2}\right) – \left(0 – \frac{\sin(0)}{2}\right)\right] \\
&= \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{2} – 0\right] \\
&= \frac{\pi}{4}
\end{align*}
Résultat : \(\boxed{\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{4}}\)
⚠️ Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier la valeur absolue : \(\int_a^b f(x) dx\) peut être négatif ! L’intégrale mesure l’aire signée.
- Confondre primitive et intégrale : Une primitive est une fonction, une intégrale définie est un nombre.
- Mal appliquer les bornes : Toujours calculer \(F(b) – F(a)\) dans cet ordre !
- Négliger la continuité : Le théorème fondamental nécessite que \(f\) soit continue.
- Mauvaise utilisation de Chasles : Vérifiez bien l’ordre et les signes des bornes.
Conclusion
L’intégrale de Riemann constitue un outil mathématique fondamental qui a révolutionné l’analyse au XIXe siècle. Des sommes de Darboux au théorème fondamental de l’analyse, nous avons exploré comment cette construction rigoureuse permet de calculer des aires, de résoudre des équations différentielles et de modéliser des phénomènes physiques.
Points clés à retenir :
- Une fonction est Riemann-intégrable si ses discontinuités forment un ensemble négligeable
- Les sommes de Riemann et de Darboux permettent d’approximer l’intégrale
- Le théorème fondamental établit le lien profond entre dérivation et intégration
- L’intégrale de Riemann suffit pour la plupart des applications pratiques
Bien que l’intégrale de Lebesgue l’ait dépassée en généralité, l’intégrale de Riemann reste incontournable dans l’enseignement et les applications courantes. Maîtriser cette théorie est essentiel pour tout étudiant en mathématiques, physique ou ingénierie.
❓ Questions fréquentes (FAQ)
Qu’est-ce que l’intégrale de Riemann ?
L’intégrale de Riemann est une méthode mathématique permettant de calculer l’aire sous la courbe d’une fonction sur un intervalle donné, en approximant cette aire par des sommes de rectangles. Elle a été développée par Bernhard Riemann en 1854.
Quelle est la différence entre sommes de Riemann et sommes de Darboux ?
Les sommes de Riemann utilisent une valeur arbitraire de la fonction dans chaque sous-intervalle de la subdivision, tandis que les sommes de Darboux utilisent systématiquement le supremum (somme supérieure) et l’infimum (somme inférieure) de la fonction sur chaque sous-intervalle. Les sommes de Darboux sont plus systématiques et facilitent les preuves théoriques.
Quelle fonction est Riemann-intégrable ?
Une fonction bornée est Riemann-intégrable si ses points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle. En pratique, toutes les fonctions continues, monotones ou continues par morceaux sur un segment sont Riemann-intégrables. Par exemple, les polynômes, les fonctions trigonométriques et exponentielles usuelles sont toutes Riemann-intégrables.
Quelle est la différence entre intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue ?
L’intégrale de Riemann découpe l’axe des abscisses (le domaine de la fonction) en sous-intervalles, tandis que l’intégrale de Lebesgue découpe l’axe des ordonnées (l’image de la fonction). L’intégrale de Lebesgue permet d’intégrer une classe beaucoup plus large de fonctions et possède de meilleures propriétés pour le passage à la limite. Cependant, pour les fonctions usuelles Riemann-intégrables, les deux intégrales coïncident.
Comment calculer une intégrale de Riemann en pratique ?
Grâce au théorème fondamental de l’analyse, il suffit de trouver une primitive \(F\) de la fonction \(f\) à intégrer, puis de calculer \(\int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)\). C’est la méthode la plus efficace pour calculer des intégrales définies.
Pourquoi étudie-t-on encore l’intégrale de Riemann ?
Malgré l’existence de l’intégrale de Lebesgue plus générale, l’intégrale de Riemann reste fondamentale car elle est plus intuitive, plus facile à visualiser géométriquement, et suffisante pour la quasi-totalité des applications pratiques en physique, ingénierie et sciences appliquées. Elle constitue également une excellente introduction pédagogique aux concepts d’intégration.