L’arithmétique dans N est un Arithmétique dans l’ensemble des nombres entiers naturels est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres, leur divisibilité et leurs relations. Ce cours explore les concepts essentiels comme les nombres premiers, le PGCD, le PPCM et l’algorithme d’Euclide, indispensables pour résoudre des problèmes concrets en cryptographie, informatique et ingénierie.
1. L’ensemble des nombres entiers naturels N
Définition
Tous les nombres entiers naturels composent un ensemble noté N (ensemble des naturels). On écrit :
Vocabulaire et symboles
- Le nombre 0 est le nombre entier naturel nul.
- Les nombres entiers naturels non nuls composent un ensemble noté \( \mathbb{N}^* \) :\[ \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, \ldots\} \]
- \( 7 \in \mathbb{N} \) signifie que 7 est un nombre entier naturel
- \( -8 \notin \mathbb{N} \) signifie que -8 n’est pas un nombre entier naturel
2. Les nombres pairs et impairs
Définitions
Un nombre entier naturel \( a \) est dit pair s’il existe un entier naturel \( k \) tel que :
Un nombre entier naturel \( a \) est dit impair s’il existe un entier naturel \( k \) tel que :
Propriétés importantes
Pour tout \( k \in \mathbb{N} \) :
- \( 2k \) est toujours pair
- \( 2k + 1 \) est toujours impair
- \( 3k \) est un multiple de \( k \)
| Parité de \( a \) | Parité de \( b \) | Parité de \( a + b \) | Parité de \( a – b \) | Parité de \( a \times b \) |
|---|---|---|---|---|
| pair | pair | pair | pair | pair |
| pair | impair | impair | impair | pair |
| impair | impair | pair | pair | impair |
Remarque
Un nombre entier naturel est soit pair soit impair, mais jamais les deux à la fois.
3. Diviseurs et multiples d’un nombre
Définition : Multiple
Soient \( a \) et \( b \) deux éléments de \( \mathbb{N} \). On dit que \( a \) est un multiple de \( b \) s’il existe un nombre entier naturel \( n \) tel que :
Exemple
On a \( 145 = 5 \times 29 \), donc 145 est un multiple de 5 et aussi un multiple de 29.
Définition : Diviseur
Soient \( a \) et \( b \) deux éléments de \( \mathbb{N} \). On dit que \( b \) est un diviseur de \( a \) s’il existe un nombre entier naturel \( n \) tel que :
Exemple
On a \( 145 = 5 \times 29 \), donc 5 et 29 sont des diviseurs de 145.
Remarques importantes
- Le nombre 0 est un multiple de tous les nombres entiers naturels
- Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels
- Tout nombre est diviseur et multiple de lui-même
Division euclidienne
Pour tout entier naturel \( a \) (dividende) et tout entier naturel \( b \neq 0 \) (diviseur), il existe deux entiers naturels uniques \( q \) (quotient) et \( r \) (reste) tels que :
4. Critères de divisibilité
Propriété fondamentale
Soit \( n \) un nombre entier naturel. Le nombre \( n \) est divisible par :
- 2 si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
- 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3
- 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4
- 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5
- 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9
Exemples d’application
Exemple 1 : Le nombre 4725
- 4725 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5
- 4725 est divisible par 3 car \( 4 + 7 + 2 + 5 = 18 \) et 18 est divisible par 3
- 4725 est divisible par 9 car \( 4 + 7 + 2 + 5 = 18 \) et 18 est divisible par 9
Exemple 2 : Le nombre 1628
- 1628 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8 (pair)
- 1628 est divisible par 4 car 28 (les deux derniers chiffres) est divisible par 4
5. Les nombres premiers et la factorisation
Propriété 1 : Définition d’un nombre premier
Un nombre entier naturel \( p \) non nul et différent de 1 est dit premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemple
Les nombres premiers inférieurs à 30 sont :
Propriété 2 : Décomposition en facteurs premiers
On admet que tout nombre entier naturel non nul et différent de 1 s’écrit sous la forme d’un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
Exemple
Décomposons le nombre 640 :
Les facteurs premiers de 640 sont 2 et 5.
Technique de décomposition
Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on divise successivement par les nombres premiers dans l’ordre croissant (2, 3, 5, 7, 11, …) jusqu’à obtenir 1.
Exemple : Décomposition de 1344
| Nombre | Diviseur premier |
|---|---|
| 1344 | 2 |
| 672 | 2 |
| 336 | 2 |
| 168 | 2 |
| 84 | 2 |
| 42 | 2 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 | — |
Donc :
6. PGCD et PPCM
Définition 1 : PGCD
Soient \( a \) et \( b \) deux éléments non nuls de \( \mathbb{N} \). Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de \( a \) et \( b \) est le plus grand diviseur commun des nombres \( a \) et \( b \). On note \( \text{PGCD}(a; b) \).
Exemple
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15
Les diviseurs communs sont : 1, 3
Donc \( \text{PGCD}(12; 15) = 3 \)
Définition 2 : Nombres premiers entre eux
Soient \( a \) et \( b \) deux éléments de \( \mathbb{N} \). Si le plus grand diviseur commun des nombres \( a \) et \( b \) est 1, alors on dit que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.
Exemple
Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, 8
Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15
Donc \( \text{PGCD}(8; 15) = 1 \), d’où 8 et 15 sont premiers entre eux.
Définition 3 : PPCM
Soient \( a \) et \( b \) deux éléments de \( \mathbb{N} \). Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de \( a \) et \( b \) est le plus petit multiple commun non nul des nombres \( a \) et \( b \). On note \( \text{PPCM}(a; b) \).
Exemple
Les multiples de 12 sont : 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, …
Les multiples de 8 sont : 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
Les multiples communs non nuls sont : 24, 48, 72, …
Donc \( \text{PPCM}(12; 8) = 24 \)
Propriétés de calcul
Propriété 1 : Calcul du PGCD
Le PGCD de deux nombres est le produit des facteurs premiers communs munis du plus petit exposant trouvé dans la décomposition de \( a \) et \( b \).
Propriété 2 : Calcul du PPCM
Le PPCM de deux nombres est le produit de tous les facteurs premiers munis du plus grand exposant trouvé dans la décomposition de \( a \) et \( b \).
Exemple d’application
Calculons \( \text{PGCD}(640; 1344) \) et \( \text{PPCM}(640; 1344) \) :
\begin{align*}
640 &= 2^7 \times 5 \\
1344 &= 2^6 \times 3 \times 7
\end{align*}
\]
Pour le PGCD, on prend les facteurs communs avec le plus petit exposant :
Pour le PPCM, on prend tous les facteurs avec le plus grand exposant :
7. Algorithme d’Euclide
Principe de l’algorithme
L’algorithme d’Euclide est une méthode efficace pour calculer le PGCD de deux nombres, notamment lorsque ces nombres sont grands. Il repose sur des divisions euclidiennes successives. Le PGCD recherché est toujours le dernier reste non nul obtenu.
Propriété fondamentale
Pour tous entiers naturels \( a \) et \( b \) avec \( b \neq 0 \), si on effectue la division euclidienne :
Alors :
Exemple détaillé
Calculons \( \text{PGCD}(1053; 325) \) par l’algorithme d’Euclide :
| Dividende | Diviseur | Quotient | Reste |
|---|---|---|---|
| 1053 | 325 | 3 | 78 |
| 325 | 78 | 4 | 13 |
| 78 | 13 | 6 | 0 |
Explications des étapes :
\begin{align*}
1053 &= 325 \times 3 + 78 \\
325 &= 78 \times 4 + 13 \\
78 &= 13 \times 6 + 0
\end{align*}
\]
Le dernier reste non nul est 13, donc :
Méthode générale
- Effectuer la division euclidienne de \( a \) par \( b \)
- Si le reste \( r = 0 \), alors \( \text{PGCD}(a; b) = b \)
- Sinon, recommencer avec \( a = b \) et \( b = r \)
- Répéter jusqu’à obtenir un reste nul
- Le dernier reste non nul est le PGCD recherché
Résumé du cours
- N est l’ensemble des entiers naturels : \( \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \)
- Un nombre est pair s’il s’écrit \( 2k \), impair s’il s’écrit \( 2k + 1 \)
- \( a \) est un multiple de \( b \) si \( a = b \times n \)
- \( b \) est un diviseur de \( a \) si \( a = b \times n \)
- Un nombre premier n’a que 1 et lui-même comme diviseurs
- Le PGCD est le plus grand diviseur commun (facteurs communs avec plus petit exposant)
- Le PPCM est le plus petit multiple commun (tous les facteurs avec plus grand exposant)
- L’algorithme d’Euclide calcule le PGCD par divisions successives
Questions fréquentes (FAQ)
Quelle est la différence entre un diviseur et un multiple ?
Si \( a = b \times n \), alors b est un diviseur de a (b est plus petit) et a est un multiple de b (a est plus grand). Par exemple : 12 = 3 × 4, donc 3 est un diviseur de 12, et 12 est un multiple de 3.
Comment trouver rapidement si un nombre est divisible par 3 ou 9 ?
Il suffit d’additionner tous les chiffres du nombre. Si la somme est divisible par 3, le nombre est divisible par 3. Si la somme est divisible par 9, le nombre est divisible par 9. Exemple : 4725 → 4+7+2+5 = 18, et 18 est divisible par 3 et par 9, donc 4725 l’est aussi.
Pourquoi l’algorithme d’Euclide est-il plus efficace que la factorisation ?
L’algorithme d’Euclide est beaucoup plus rapide pour les grands nombres car il ne nécessite que quelques divisions, tandis que la décomposition en facteurs premiers peut être très longue. Par exemple, pour deux nombres de 100 chiffres, l’algorithme d’Euclide trouve le PGCD en quelques secondes, alors que la factorisation prendrait des années !
Que signifie « nombres premiers entre eux » ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Attention : ils n’ont pas besoin d’être des nombres premiers individuellement ! Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux (PGCD = 1), mais ni 8 ni 15 ne sont des nombres premiers.
Comment calculer le PPCM à partir du PGCD ?
Il existe une formule très pratique : PPCM(a; b) × PGCD(a; b) = a × b. Donc si vous connaissez le PGCD, vous pouvez calculer le PPCM en faisant : PPCM(a; b) = (a × b) / PGCD(a; b). Cette formule évite de décomposer les nombres en facteurs premiers.
Combien y a-t-il de nombres premiers ?
Il y a une infinité de nombres premiers ! Cette découverte a été démontrée par Euclide il y a plus de 2000 ans. Cependant, les nombres premiers deviennent de plus en plus rares à mesure que les nombres augmentent. Le plus grand nombre premier connu actuellement possède plus de 24 millions de chiffres !
Applications pratiques d’arithmétique dans N
L’arithmétique dans N n’est pas qu’un sujet théorique ! Elle a de nombreuses applications concrètes :
- Cryptographie : Les nombres premiers sont la base du chiffrement RSA utilisé pour sécuriser vos transactions bancaires en ligne
- Informatique : Les algorithmes de PGCD sont utilisés pour simplifier les fractions et optimiser les calculs
- Calendriers : Le PPCM permet de résoudre des problèmes de cycles (quand deux événements se reproduisent ensemble)
- Musique : Les rapports de fréquences entre les notes utilisent la divisibilité et les fractions simplifiées