Géométrie complexe et racines de l’unité Terminale : 10 exercices corrigés

Le cours de Géométrie complexe et racines de l'unité installe le lien entre affixe d'un vecteur, distance complexe et angle orienté avant toute conclusion géométrique.

Les exercices font justifier l'alignement de points, décrire un lieu, résoudre avec les racines de l'unité et reconnaître un polygone régulier.

Affixes, longueurs et angles

Traduire chaque conclusion complexe en géométrie.

Exercice 1 : Affixe d’un vecteur

Facile

A, B et C ont pour affixes a=1+ia=1+i, b=3−2ib=3-2i et c=−1+4ic=-1+4i.

  1. Calculer les affixes de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
  2. Que peut-on conclure ?
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  1. b−a=2−3ib-a=2-3i et c−a=−2+3ic-a=-2+3i.
  2. Comme c−a=−(b−a)c-a=-(b-a), A est le milieu de [BC].

Exercice 2 : Distance dans le plan complexe

Facile

A et B ont pour affixes 2−i2-i et −1+3i-1+3i.

  1. Calculer l'affixe de AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Calculer AB.
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  1. b−a=−3+4ib-a=-3+4i.
  2. AB=∣b−a∣=5AB=|b-a|=5.

Exercice 3 : Alignement par quotient

Moyen

A, B et C ont pour affixes 1, 2+i2+i et 4+3i4+3i.

  1. Calculer (c−a)/(b−a)(c-a)/(b-a).
  2. Conclure sur les points.
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  1. 3+3i1+i=3\frac{3+3i}{1+i}=3.
  2. Le quotient est réel positif, donc A, B et C sont alignés et B se situe entre A et C.

Exercice 4 : Triangle rectangle isocèle

Moyen

A, B et C ont pour affixes 0, 1 et i.

  1. Calculer (c−a)/(b−a)(c-a)/(b-a).
  2. Interpréter son argument.
  3. Interpréter son module.
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  1. Le quotient vaut i.
  2. Son argument vaut π/2\pi/2, donc AB et AC sont perpendiculaires.
  3. Son module vaut 1, donc AB = AC ; le triangle est rectangle isocèle en A.

Racines de l’unité et polygones

Utiliser les arguments régulièrement espacés.

Exercice 5 : Racines quatrièmes

Facile

Résoudre z4=1z^4=1.

  1. Donner la forme générale des solutions.
  2. Les écrire sous forme algébrique.
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  1. zk=e2ikπ/4z_k=e^{2ik\pi/4}, pour k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
  2. Les solutions sont 1,i,−1,−i1,i,-1,-i.

Exercice 6 : Racines sixièmes

Moyen

On étudie les solutions de z6=1z^6=1.

  1. Donner leurs arguments dans [0,2π[[0,2\pi[.
  2. Décrire la figure formée.
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  1. 0,π/3,2π/3,π,4π/3,5π/30,\pi/3,2\pi/3,\pi,4\pi/3,5\pi/3.
  2. Ce sont les sommets d'un hexagone régulier centré en O et de rayon 1.

Exercice 7 : Somme des racines

Moyen

On note z0,…,z4z_0,\ldots,z_4 les racines cinquièmes de l'unité.

  1. Calculer leur somme.
  2. Retrouver ce résultat géométriquement.
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  1. Comme elles sont les racines de X5−1X^5-1 et que le coefficient de X4X^4 est nul, leur somme vaut 0.
  2. Les cinq vecteurs régulièrement répartis sur le cercle se compensent par symétrie de rotation.

Exercice 8 : Carré construit par rotation

Difficile

A a pour affixe a=1+2ia=1+2i. On définit successivement b=iab=ia, c=−ac=-a et d=−iad=-ia.

  1. Comparer les modules des quatre affixes.
  2. Comparer les arguments successifs.
  3. Identifier le quadrilatère ABCD.
Indication
Interpréter la multiplication par i comme une rotation.
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  1. Multiplier par i ou -1 conserve le module ; OA = OB = OC = OD.
  2. Chaque multiplication par i ajoute π/2\pi/2.
  3. Les sommets sont régulièrement espacés sur un même cercle : ABCD est un carré de centre O.

Lieux et configurations

Faire correspondre une condition complexe à une figure précise.

Exercice 9 : Un cercle défini par un module

Moyen

Décrire l'ensemble des points M d'affixe z tels que ∣z−(1+i)∣=2|z-(1+i)|=2.

  1. Identifier le point fixe et la distance.
  2. Décrire l'ensemble recherché.
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  1. Si A a pour affixe 1+i1+i, alors ∣z−(1+i)∣=AM|z-(1+i)|=AM.
  2. Il s'agit du cercle de centre A, de coordonnées (1,1)(1,1), et de rayon 2.

Exercice 10 : Racines d’un complexe et triangle

Difficile

Résoudre z3=−8z^3=-8, puis interpréter les solutions dans le plan complexe.

  1. Écrire -8 sous forme exponentielle.
  2. Déterminer les trois solutions.
  3. Identifier la figure formée.
Indication
Les arguments des racines sont espacés régulièrement de 2π/3.
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  1. On peut écrire −8=8eiπ-8=8e^{i\pi}.
  2. Les solutions sont 2eiπ/32e^{i\pi/3}, 2eiπ2e^{i\pi} et 2e5iπ/32e^{5i\pi/3}, soit 1+i31+i\sqrt3, −2-2 et 1−i31-i\sqrt3.
  3. Les trois points sont sur le cercle de centre O et de rayon 2, avec des arguments espacés de 2π/32\pi/3 : ils forment un triangle équilatéral.
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