Équations polynomiales complexes : cours Terminale

Dans les complexes, toute équation du second degré à coefficients réels possède des solutions comptées avec multiplicité. Pour les degrés supérieurs, une racine connue permet d'abaisser le degré par factorisation.

Le chapitre ne consiste pas à appliquer mécaniquement un discriminant : il faut vérifier les racines, organiser les factorisations et distinguer une identité polynomiale d'une équation.

Table des Matières

Résoudre le second degré dans C

Discriminant réel

Pour $az^2+bz+c=0$ , avec $a\neq0$ et coefficients réels, si $\Delta=b^2-4ac\lt 0$ , les solutions sont $z=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

Lorsque le discriminant est positif ou nul, les solutions sont les mêmes que dans les réels. Lorsque le discriminant est négatif, les deux solutions sont conjuguées.

Exploiter une racine connue

Théorème de factorisation

Si $P(a)=0$ , alors il existe un polynôme Q tel que $P(z)=(z-a)Q(z)$ .

On détermine Q par identification, division euclidienne ou schéma de Horner. Une substitution finale contrôle la factorisation avant de résoudre l'équation de degré inférieur.

Factoriser z puissance n moins a puissance n

z^n-a^n=(z-a)(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-2}z+a^{n-1})

Cette identité prouve directement que z - a est facteur. Elle intervient aussi dans l'étude des racines de l'unité et dans la preuve qu'un polynôme non nul de degré n ne peut pas avoir plus de n racines.

Compter les racines sans les inventer

Borne sur le nombre de racines

Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines distinctes.

Cette propriété permet de conclure qu'une liste de n solutions distinctes est complète. Elle ne dit pas qu'un polynôme réel possède toujours n racines réelles. Le passage aux complexes garantit l'existence avec multiplicité, résultat qui dépasse la démonstration exigée ici.

Une racine abaisse le degré — Chaque racine connue fournit un facteur et réduit le problème restant.

Organiser une résolution de degré trois

vérifier la racine annoncée
factoriser par le facteur linéaire correspondant
résoudre le second degré restant dans C
vérifier le nombre et la distinction des solutions

Si les coefficients sont réels, toute racine complexe non réelle entraîne la présence de son conjugué. Cette symétrie est un contrôle, pas un substitut à la factorisation.

Exemple avec une racine double

Pour $P(z)=z^3-3z^2+4$ , on vérifie que $P(2)=0$ . La division par $z-2$ donne $z^2-z-2$ , qui se factorise en $(z-2)(z+1)$ . Ainsi $P(z)=(z-2)^2(z+1)$ . L'équation possède deux solutions distinctes, 2 et -1, mais la racine 2 a une multiplicité égale à 2. Le degré compte les racines avec leur multiplicité, ce qui explique les trois facteurs linéaires.

Reconstruire un polynôme à partir de ses racines

Pour construire un polynôme unitaire ayant des racines imposées, on multiplie les facteurs (z-r). Lorsque les coefficients doivent être réels, les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées.

Exemple avec une paire conjuguée

Les racines (1), (2+i) et (2-i) donnent ((z-1)((z-2)^2+1)), soit (z^3-5z^2+9z-5). La somme des racines vaut 5, ce qui retrouve l'opposé du coefficient de (z^2) et contrôle le développement.

Vérifier le résultat

Erreur fréquente : prendre $\sqrt{\Delta}$ comme un réel lorsque $\Delta\lt 0$ produit une écriture sans sens dans R et incomplète dans C.

Contrôle utile : le produit et la somme des deux racines d'un second degré contrôlent respectivement $c/a$ et $-b/a$ .

Les calculs utilisent la forme algébrique. Les racines de l'unité fournissent des exemples structurés.

Le périmètre des équations polynomiales est défini par le programme officiel de mathématiques expertes en Terminale.