Formules d'Euler et de Moivre : cours Terminale

Les formules d'Euler relient exponentielle complexe, cosinus et sinus. Elles transforment des identités trigonométriques en calculs algébriques et donnent une méthode compacte pour les puissances.

La technique exige cependant de conserver les signes et les facteurs $2$ ou $2i$ . Chaque transformation doit pouvoir être relue dans les deux sens.

Table des Matières

Exprimer cosinus et sinus avec des exponentielles

Formules d’Euler

Pour tout réel x, $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2$ et $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ .

Ces égalités viennent de $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ et de son conjugué. La somme isole la partie réelle ; la différence isole la partie imaginaire.

Élever un complexe unitaire à une puissance

Formule de Moivre

Pour tout entier n, $(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$ .

Cette formule permet de calculer une puissance sans développements successifs. Si le module n'est pas 1, il faut conserver le facteur $r^n$ .

Retrouver des formules trigonométriques

En développant $(\cos x+i\sin x)^2$ puis en identifiant parties réelle et imaginaire, on obtient les formules de duplication. La méthode généralise ce calcul à un entier n, mais la comparaison des deux parties doit intervenir seulement après développement complet.

\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x,\qquad \sin(2x)=2\sin x\cos x

Linéariser une puissance

Linéariser consiste à exprimer une puissance de sinus ou de cosinus comme combinaison de fonctions trigonométriques sans puissance. On remplace chaque cosinus ou sinus par les exponentielles d'Euler, on développe, puis on regroupe les termes conjugués.

\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}4

Un second exemple avec une puissance paire

Pour $\sin^4x$ , on peut appliquer deux fois l'identité $\sin^2x=(1-\cos 2x)/2$ , puis linéariser $\cos^2(2x)$ . On obtient $\sin^4x=(3-4\cos 2x+\cos 4x)/8$ . La valeur en $x=0$ donne zéro dans les deux membres ; en $x=\pi/2$ , les deux membres valent 1. Ces contrôles ne prouvent pas l'identité, mais détectent un signe ou un coefficient erroné.

Aller-retour entre trigonométrie et complexes — Euler traduit les lignes trigonométriques ; Moivre traite les puissances.

Calculer une somme trigonométrique et contrôler la méthode

Une somme de cosinus peut être vue comme la partie réelle d'une somme géométrique de complexes. Cette approche est utile lorsque les angles suivent une progression régulière. Il faut traiter séparément le cas où la raison vaut 1.

On choisit Euler pour convertir sinus et cosinus en exponentielles, et Moivre pour une puissance d'un même angle. Nommer ce choix avant le calcul évite les développements inutiles et clarifie la rédaction.

introduire la somme complexe associée
appliquer la formule de somme géométrique
simplifier le quotient
prendre la partie réelle ou imaginaire demandée

Erreur fréquente : remplacer $e^{ix}$ par $e^i e^x$ est faux : l'exponentielle d'une somme se factorise, pas celle d'un produit.

Contrôle utile : tester l'identité obtenue en x = 0 ou x = $\pi/2$ détecte vite un facteur manquant.

Revoir module et argument avant les puissances. Les puissances complexes interviennent dans les équations polynomiales.

Les formules d'Euler et de Moivre figurent dans le programme officiel de mathématiques expertes en Terminale.