Sommes de variables aléatoires Terminale : 8 exercices corrigés

La linéarité de l’espérance permet d’étudier des sommes de variables aléatoires sans construire leur loi complète. Pour la variance, les coefficients et l’indépendance demandent davantage de vigilance.

Un contre-exemple avec deux variables dépendantes précède une application à une commande et une moyenne d’échantillon. On sépare ainsi les identités générales des formules soumises à hypothèses.

Coefficients et dépendance

Exercice 1 : Combinaison de deux mesures

Facile
X et Y sont indépendantes, avec E(X)=4E(X)=4, E(Y)=7E(Y)=7, V(X)=9V(X)=9 et V(Y)=16V(Y)=16. On pose S=2X−YS=2X-Y.
  1. Calculer l’espérance de S.
  2. Calculer sa variance et son écart-type.
  3. Quel calcul reste valable si l’indépendance n’est plus supposée ?
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  1. E(S)=2E(X)−E(Y)=1E(S)=2E(X)-E(Y)=1.
  2. L’indépendance donne V(S)=22V(X)+(−1)2V(Y)=36+16=52V(S)=2^2V(X)+(-1)^2V(Y)=36+16=52. L’écart-type vaut 52=213\sqrt{52}=2\sqrt{13}.
  3. Le calcul de l’espérance reste valable sans indépendance. L’addition des variances n’est plus garantie.

Exercice 2 : Une somme constante

Moyen
X suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,4 et Y=1−XY=1-X.
  1. Calculer les espérances et variances de X et Y.
  2. Déterminer l’espérance et la variance de X+Y.
  3. Expliquer pourquoi additionner les deux variances donnerait ici une erreur.
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  1. E(X)=0,4E(X)=0,4, E(Y)=0,6E(Y)=0,6, et V(X)=V(Y)=0,4(0,6)=0,24V(X)=V(Y)=0,4(0,6)=0,24.
  2. X+Y=1X+Y=1 toujours. Son espérance est 1 et sa variance est 0.
  3. Les variables sont dépendantes : connaître X détermine Y. La somme 0,24+0,24=0,480,24+0,24=0,48 ne représente donc pas la variance de X+Y.

Accumulation et moyenne

Exercice 3 : Préparer une commande

Moyen
Chaque client commande 0, 1 ou 2 articles avec probabilités respectives 1/4, 1/2 et 1/4. Les commandes de 80 clients sont indépendantes. S est le nombre total d’articles.
  1. Calculer l’espérance et la variance de la commande d’un client.
  2. Calculer celles de S.
  3. Faut-il connaître toutes les probabilités P(S=k) pour ces deux calculs ?
Indication
Calculer le moment d’ordre deux d’une commande avant de passer au total.
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  1. Pour une commande Z, E(Z)=0/4+1/2+2/4=1E(Z)=0/4+1/2+2/4=1. E(Z2)=1/2+4/4=3/2E(Z^2)=1/2+4/4=3/2, donc V(Z)=3/2−1=1/2V(Z)=3/2-1=1/2.
  2. Par linéarité et indépendance, E(S)=80E(S)=80 et V(S)=80(1/2)=40V(S)=80(1/2)=40.
  3. Non. Les espérances des termes suffisent, et l’indépendance permet ici d’ajouter leurs variances sans calculer la loi de S.

Exercice 4 : Précision de la moyenne

Difficile
Les mesures X1,…,XnX_1,\ldots,X_n sont indépendantes et de même loi, d’espérance 50 et de variance 36. On pose Mn=(X1+⋯+Xn)/nM_n=(X_1+\cdots+X_n)/n.
  1. Donner l’espérance, la variance et l’écart-type de M_n.
  2. Calculer l’écart-type pour n=144.
  3. Quelle taille permet de diviser cet écart-type par deux ?
Indication
Un coefficient devant une variable est élevé au carré dans sa variance.
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  1. E(Mn)=50E(M_n)=50, V(Mn)=36/nV(M_n)=36/n et σ(Mn)=6/n\sigma(M_n)=6/\sqrt n.
  2. Pour n=144n=144, l’écart-type vaut 6/12=0,56/12=0,5.
  3. Il faut 6/n=0,256/\sqrt n=0,25, donc n=24\sqrt n=24 et n=576n=576. Diviser l’écart-type par deux exige de multiplier la taille par quatre.

Transformer une variable

L'espérance est linéaire, tandis que la variance réagit au carré du coefficient.

Exercice 5 : Changement d’échelle affine

Facile
Une variable aléatoire X vérifie E(X)=4E(X)=4 et V(X)=2V(X)=2. On définit Y=3X−2Y=3X-2.
  1. Calculer E(Y).
  2. Calculer V(Y).
  3. Expliquer pourquoi la constante -2 n'intervient pas dans la variance.
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  1. E(Y)=3E(X)−2=10E(Y)=3E(X)-2=10.
  2. V(Y)=32V(X)=18V(Y)=3^2V(X)=18.
  3. Ajouter une constante déplace toutes les valeurs de la même quantité sans modifier leurs écarts à la moyenne. La dispersion reste donc inchangée.

Exercice 6 : Centrer et réduire

Moyen
Une variable X a pour espérance μ\mu et pour variance σ2>0\sigma^2\gt 0. On pose Z=(X−μ)/σZ=(X-\mu)/\sigma.
  1. Calculer E(Z).
  2. Calculer V(Z).
  3. Interpréter les deux résultats.
Indication
Appliquer séparément les règles pour une translation puis pour une multiplication.
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  1. E(Z)=[E(X)−μ]/σ=0E(Z)=[E(X)-\mu]/\sigma=0.
  2. V(Z)=V(X)/σ2=1V(Z)=V(X)/\sigma^2=1.
  3. La variable Z est centrée autour de zéro et son écart-type vaut 1. Les valeurs de Z mesurent les écarts à la moyenne en nombre d'écarts-types.

Additionner avec ou sans indépendance

La loi d'une somme et sa variance exigent de regarder la relation entre les variables.

Exercice 7 : Somme de deux indicatrices indépendantes

Moyen
Les variables X et Y sont indépendantes, prennent les valeurs 0 ou 1, avec P(X=1)=0,3P(X=1)=0,3 et P(Y=1)=0,4P(Y=1)=0,4. On pose S=X+YS=X+Y.
  1. Déterminer la loi de S.
  2. Calculer E(S) à partir de cette loi puis par linéarité.
  3. Calculer V(S) grâce à l'indépendance.
Indication
Pour S=1S=1, distinguer les deux succès exclusifs : X seul ou Y seul.
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  1. P(S=0)=0,7×0,6=0,42P(S=0)=0,7\times0,6=0,42, P(S=2)=0,3×0,4=0,12P(S=2)=0,3\times0,4=0,12, et P(S=1)=1−0,42−0,12=0,46P(S=1)=1-0,42-0,12=0,46.
  2. La loi donne E(S)=0,46+2×0,12=0,70E(S)=0,46+2\times0,12=0,70. Par linéarité, E(S)=E(X)+E(Y)=0,3+0,4=0,7E(S)=E(X)+E(Y)=0,3+0,4=0,7.
  3. V(S)=0,3×0,7+0,4×0,6=0,45V(S)=0,3\times0,7+0,4\times0,6=0,45.

Exercice 8 : Une dépendance entièrement connue

Difficile
Une variable X vérifie E(X)=3E(X)=3 et V(X)=4V(X)=4. On définit Y=2X+1Y=2X+1, puis S=X+YS=X+Y.
  1. Exprimer S uniquement en fonction de X.
  2. Calculer E(S) et V(S).
  3. Montrer pourquoi la formule des variances de variables indépendantes donnerait ici un résultat faux.
Indication
X et Y ne peuvent pas être indépendantes puisque Y est déterminée dès que X est connue.
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  1. S=X+(2X+1)=3X+1S=X+(2X+1)=3X+1.
  2. E(S)=3E(X)+1=10E(S)=3E(X)+1=10 et V(S)=9V(X)=36V(S)=9V(X)=36.
  3. La formule erronée donnerait V(X)+V(Y)=4+16=20V(X)+V(Y)=4+16=20. Elle ne s'applique pas : Y dépend parfaitement de X, et leur variation commune renforce celle de la somme.
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