Calcul intégral Terminale : 8 exercices corrigés

Le calcul intégral relie primitive, aire algébrique et valeur moyenne. Les exercices distinguent ces notions avant d’utiliser une technique de calcul.

Les dernières questions demandent une intégration par parties et un encadrement par rectangles. Une réponse exacte, une aire et une approximation ne s’expriment pas de la même manière.

Primitive et signe

Exercice 1 : Calcul exact

Facile
Calculer I=∫02(3x2−2x+1) dxI=\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx.
  1. Choisir une primitive de l’intégrande.
  2. Calculer I.
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  1. On peut choisir F(x)=x3−x2+xF(x)=x^3-x^2+x.
  2. I=F(2)−F(0)=8−4+2=6I=F(2)-F(0)=8-4+2=6.

Exercice 2 : Intégrale nulle, aire non nulle

Moyen
La courbe de f(x)=x−1f(x)=x-1 est étudiée sur [0,2][0,2], dans un repère orthonormé d’unité 1 cm sur les deux axes.
  1. Calculer l’intégrale de f entre 0 et 2.
  2. Calculer l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses.
  3. Expliquer la différence entre les deux résultats.
Indication
Repérer d’abord l’endroit où f change de signe.
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  1. ∫02(x−1) dx=[x2/2−x]02=0\int_0^2(x-1)\,dx=[x^2/2-x]_0^2=0.
  2. f est négative sur [0,1][0,1] et positive sur [1,2][1,2]. L’aire est −∫01f+∫12f=1/2+1/2=1-\int_0^1f+\int_1^2f=1/2+1/2=1 cm².
  3. L’intégrale additionne des contributions signées qui se compensent. L’aire géométrique additionne deux quantités positives.

Moyenne et intégration par parties

Exercice 3 : Valeur moyenne sur une durée

Moyen
La puissance, en kilowatts, est P(t)=2+t2P(t)=2+t^2 pendant 0≤t≤30\leq t\leq3, où t est en heures.
  1. Calculer l’énergie consommée sur cette durée.
  2. Calculer la puissance moyenne.
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  1. L’énergie est ∫03P(t) dt=[2t+t3/3]03=15\int_0^3P(t)\,dt=[2t+t^3/3]_0^3=15 kWh.
  2. La puissance moyenne vaut 15/(3−0)=515/(3-0)=5 kW.

Exercice 4 : Un produit à intégrer

Moyen
On veut calculer J=∫01xex dxJ=\int_0^1xe^x\,dx.
  1. Effectuer une intégration par parties en précisant les fonctions choisies.
  2. Donner la valeur exacte de J.
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  1. Choisissons u(x)=xu(x)=x et v′(x)=exv'(x)=e^x, donc u′=1u'=1 et v=exv=e^x, fonctions de classe C1C^1. Alors J=[xex]01−∫01ex dxJ=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx.
  2. J=e−(e−1)=1J=e-(e-1)=1.

Un encadrement sans primitive

Exercice 5 : Rectangles pour une fonction croissante

Difficile
On approche K=∫01x2 dxK=\int_0^1x^2\,dx par quatre rectangles de même largeur.
  1. Calculer la somme des rectangles à gauche et celle des rectangles à droite.
  2. Justifier l’encadrement de K.
  3. Comparer avec la valeur exacte et donner la largeur de l’encadrement.
Indication
Pour une fonction croissante, quelle extrémité d’un petit intervalle fournit la hauteur la plus basse ?
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  1. La largeur vaut 1/41/4. À gauche, L=14(02+(1/4)2+(1/2)2+(3/4)2)=7/32L=\tfrac14(0^2+(1/4)^2+(1/2)^2+(3/4)^2)=7/32. À droite, R=14((1/4)2+(1/2)2+(3/4)2+12)=15/32R=\tfrac14((1/4)^2+(1/2)^2+(3/4)^2+1^2)=15/32.
  2. x2x^2 est croissante sur [0,1][0,1]. Sur chaque sous-intervalle, les rectangles à gauche minorent l’aire et ceux à droite la majorent. Donc 7/32≤K≤15/327/32\leq K\leq15/32.
  3. K=[x3/3]01=1/3K=[x^3/3]_0^1=1/3, compris entre les bornes. La largeur est R−L=1/4R-L=1/4, et non l’erreur de chacune des deux approximations.

Symétrie, aire entre deux courbes et fonction intégrale

Chaque exercice distingue la valeur algébrique de l'objet géométrique ou fonctionnel associé.

Exercice 6 : Exploiter la parité

Moyen
Calculer I=∫−22(x3+2x2) dxI=\int_{-2}^{2}(x^3+2x^2)\,dx.
  1. Identifier la partie impaire et la partie paire de l'intégrande.
  2. Calculer I sans chercher une primitive de toute l'expression.
Indication
Sur un intervalle symétrique, l'intégrale d'une fonction impaire est nulle.
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  1. La fonction x↦x3x\mapsto x^3 est impaire et x↦2x2x\mapsto2x^2 est paire.
  2. L'intégrale du terme impair est nulle. Ainsi I=2∫022x2 dx=4[x3/3]02=32/3I=2\int_0^2 2x^2\,dx=4[x^3/3]_0^2=32/3.

Exercice 7 : Aire entre une droite et une parabole

Moyen
On considère f(x)=xf(x)=x et g(x)=x2g(x)=x^2 sur [0,1]. Les unités graphiques valent 1 cm.
  1. Comparer f et g sur l'intervalle.
  2. Calculer l'aire comprise entre les deux courbes.
  3. Préciser l'unité du résultat.
Indication
Factoriser f(x)−g(x)f(x)-g(x) avant d'écrire l'intégrale d'aire.
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  1. f(x)−g(x)=x(1−x)≥0f(x)-g(x)=x(1-x)\geq0 sur [0,1], donc la droite est au-dessus de la parabole.
  2. L'aire vaut ∫01(x−x2) dx=[x2/2−x3/3]01=1/6\int_0^1(x-x^2)\,dx=[x^2/2-x^3/3]_0^1=1/6.
  3. Avec les unités indiquées, l'aire est 1/61/6 cm².

Exercice 8 : Une fonction définie par une intégrale

Difficile
Pour x>0x\gt 0, on définit F(x)=∫1xln⁡t dtF(x)=\int_1^x\ln t\,dt.
  1. Donner F'(x) et étudier les variations de F.
  2. Calculer F(x) explicitement par intégration par parties.
  3. En déduire F(e) et le minimum de F.
Indication
Pour l'intégration par parties, dériver ln⁡t\ln t et intégrer la fonction constante 1.
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  1. Le théorème fondamental donne F′(x)=ln⁡xF'(x)=\ln x. F décroît sur ]0,1] puis croît sur [1,+∞[[1,+\infty[.
  2. ∫ln⁡t dt=tln⁡t−t\int\ln t\,dt=t\ln t-t. Donc F(x)=xln⁡x−x+1F(x)=x\ln x-x+1.
  3. F(e)=e−e+1=1F(e)=e-e+1=1. Le minimum est atteint en 1 et vaut F(1)=0F(1)=0.
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